2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第一篇集合與常用邏輯用語第2講 命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件教案 理【xx年高考會(huì)這樣考】1考查四種命題的意義及相互關(guān)系2考查對(duì)充分條件、必要條件、充要條件等概念的理解3考查題型主要以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，常與集合、幾何等知識(shí)結(jié)合命題【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】復(fù)習(xí)時(shí)一定要緊扣概念，聯(lián)系具體數(shù)學(xué)實(shí)例，理清命題之間的相互關(guān)系，重點(diǎn)解決：(1)命題的概念及命題構(gòu)成；(2)四種命題及四種命題間的相互關(guān)系；(3)充分條件、必要條件、充要條件的概念的理解及判定基礎(chǔ)梳理1命題的概念在數(shù)學(xué)中用語言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句叫做命題其中判斷為真的語句叫真命題，判斷為假的語句叫假命題2四種命題及其關(guān)系(1)四種命題命題表述形式原命題若p，則q逆命題若q，則p否命題若綈p，則綈q逆否命題若綈q，則綈p(2)四種命題間的逆否關(guān)系(3)四種命題的真假關(guān)系兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個(gè)命題互為逆命題或互為否命題，它們的真假性沒有關(guān)系3充分條件、必要條件與充要條件(1)如果pq，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；(2)如果pq，qp，則p是q的充要條件一個(gè)區(qū)別否命題與命題的否定是兩個(gè)不同的概念：否命題是將原命題的條件否定作為條件，將原命題的結(jié)論否定作為結(jié)論構(gòu)造的一個(gè)新的命題；命題的否定只是否定命題的結(jié)論，常用于反證法兩條規(guī)律(1)逆命題與否命題互為逆否命題；(2)互為逆否命題的兩個(gè)命題同真假三種方法充分條件、必要條件的判斷方法(1)定義法：直接判斷“若p則q”、“若q則p”的真假并注意和圖示相結(jié)合，例如“pq”為真，則p是q的充分條件(2)等價(jià)法：利用pq與綈q綈p，qp與綈p綈q，pq與綈q綈p的等價(jià)關(guān)系，對(duì)于條件或結(jié)論是否定式的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法(3)集合法：若AB，則A是B的充分條件或B是A的必要條件；若AB，則A是B的充要條件雙基自測(cè)1(人教A版教材習(xí)題改編)以下三個(gè)命題：“ab”是“a2b2”的充分條件；“|a|b|”是“a2b2”的必要條件；“ab”是“acbc”的充要條件其中真命題的序號(hào)是_解析由23/ 22(3)2知，該命題為假；a2b2|a|2|b|2|a|b|，該命題為真；abacbc，又acbcab；“ab”是“acbc”的充要條件為真命題答案2(xx·陜西)設(shè)a，b是向量，命題“若ab，則|a|b|”的逆命題是()A若ab，則|a|b| B若ab，則|a|b|C若|a|b|，則ab D若|a|b|，則ab解析“若ab，則|a|b|”的逆命題是“若|a|b|，則ab”答案D3(xx·山東)對(duì)于函數(shù)yf(x)，xR，“y|f(x)|的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱”是“yf(x)是奇函數(shù)”的()A充分而不必要條件 B必要而不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析若yf(x)是奇函數(shù)，則f(x)f(x)，|f(x)|f(x)|f(x)|，y|f(x)|的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，但若y|f(x)|的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，如yf(x)x2，而它不是奇函數(shù)，故選B.答案B4(xx·安徽)命題“所有能被2整除的整數(shù)都是偶數(shù)”的否定是()A所有不能被2整除的整數(shù)都是偶數(shù)B所有能被2整除的整數(shù)都不是偶數(shù)C存在一個(gè)不能被2整除的整數(shù)是偶數(shù)D存在一個(gè)能被2整除的整數(shù)不是偶數(shù)解析原命題是全稱命題，則其否定是特稱命題，故選D.答案D5命題“若ab，則2a2b1”的否命題為 .答案 若ab，則有2a2b1考向一命題正誤的判斷【例1】(xx·海南三亞)設(shè)集合A、B，有下列四個(gè)命題：AB對(duì)任意xA都有xB；ABAB；ABBA；AB存在xA，使得xB.其中真命題的序號(hào)是_(把符合要求的命題序號(hào)都填上)審題視點(diǎn) 對(duì)于假命題，舉出恰當(dāng)?shù)姆蠢且浑y點(diǎn)解析不正確，如A1,2,3，B2,3,4，有AB但2A且2B.不正確，如A1,2，B2,3，有AB而AB2不正確，如A1,2，B2，有AB但BA.正確答案 正確的命題要有充分的依據(jù)，不一定正確的命題要舉出反例，這是最基本的數(shù)學(xué)思維方式，也是兩種不同的解題方向，有時(shí)舉出反例可能比進(jìn)行推理論證更困難，二者同樣重要【訓(xùn)練1】 給出如下三個(gè)命題：四個(gè)非零實(shí)數(shù)a，b，c，d依次成等比數(shù)列的充要條件是adbc；設(shè)a，bR，且ab0，若1，則1；若f(x)log2x，則f(|x|)是偶函數(shù)其中不正確命題的序號(hào)是()A BC D解析對(duì)于，可舉反例：如a，b，c，d依次取值為1,4,2,8，故錯(cuò)；對(duì)于，可舉反例：如a、b異號(hào)，雖然1，但0，故錯(cuò)；對(duì)于，yf(|x|)log2|x|，顯然為偶函數(shù)，故選B.答案B考向二四種命題的真假判斷【例2】已知命題“若函數(shù)f(x)exmx在(0，)上是增函數(shù)，則m1”，則下列結(jié)論正確的是()A否命題是“若函數(shù)f(x)exmx在(0，)上是減函數(shù)，則m1”，是真命題B逆命題是“若m1，則函數(shù)f(x)exmx在(0，)上是增函數(shù)”，是假命題C逆否命題是“若m1，則函數(shù)f(x)exmx在(0，)上是減函數(shù)”，是真命題D逆否命題是“若m1，則函數(shù)f(x)exmx在(0，)上不是增函數(shù)”，是真命題審題視點(diǎn) 分清命題的條件和結(jié)論，理解四種命題間的關(guān)系是解題關(guān)鍵解析f(x)exm0在(0，)上恒成立，即mex在(0，)上恒成立，故m1，這說明原命題正確，反之若m1，則f(x)0在(0，)上恒成立，故逆命題正確，但對(duì)增函數(shù)的否定不是減函數(shù)，而是“不是增函數(shù)”，故選D.答案D 判斷四種形式的命題真假的基本方法是先判斷原命題的真假，再判斷逆命題的真假，然后根據(jù)等價(jià)關(guān)系確定否命題和逆否命題的真假如果原命題的真假不好判斷，那就首先判斷其逆否命題的真假【訓(xùn)練2】 已知命題“函數(shù)f(x)、g(x)定義在R上，h(x)f(x)·g(x)，如果f(x)、g(x)均為奇函數(shù)，則h(x)為偶函數(shù)”的原命題、逆命題、否命題、逆否命題中正確命題的個(gè)數(shù)是()A0 B1 C2 D3解析由f(x)、g(x)均為奇函數(shù)，可得h(x)f(x)·g(x)為偶函數(shù)，反之則不成立，如h(x)x2是偶函數(shù)，但函數(shù)f(x)，g(x)ex都不是奇函數(shù)，故逆命題不正確，故其否命題也不正確，即只有原命題和逆否命題正確答案C考向三充要條件的判斷【例3】指出下列命題中，p是q的什么條件(在“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充要條件”“既不充分也不必要條件”中選出一種作答)(1)在ABC中，p：AB，q：sin Asin B；(2)對(duì)于實(shí)數(shù)x、y，p：xy8，q：x2或y6；(3)非空集合A、B中，p：xAB，q：xB；(4)已知x、yR，p：(x1)2(y2)20，q：(x1)(y2)0.審題視點(diǎn) 結(jié)合充分條件，必要條件的定義判斷所給命題間的關(guān)系解(1)在ABC中，ABsin Asin B，反之，若sin Asin B，因?yàn)锳與B不可能互補(bǔ)(因?yàn)槿切稳齻€(gè)內(nèi)角和為180°)，所以只有AB.故p是q的充要條件(2)易知，綈p：xy8，綈q：x2且y6，顯然綈q綈p，但綈p/ 綈q，即綈q是綈p的充分不必要條件，根據(jù)原命題和逆否命題的等價(jià)性知，p是q的充分不必要條件(3)顯然xAB不一定有xB，但xB一定有xAB，所以p是q的必要不充分條件(4)條件p：x1且y2，條件q：x1或y2，所以pq但q/ p，故p是q的充分不必要條件 判斷p是q的什么條件，需要從兩方面分析：一是由條件p能否推得條件q，二是由條件q能否推得條件p.對(duì)于帶有否定性的命題或比較難判斷的命題，除借助集合思想把抽象、復(fù)雜問題形象化、直觀化外，還可利用原命題和逆否命題、逆命題和否命題的等價(jià)性，轉(zhuǎn)化為判斷它的等價(jià)命題【訓(xùn)練3】 (xx·山東)設(shè)an是首項(xiàng)大于零的等比數(shù)列，則“a1a2”是“數(shù)列an是遞增數(shù)列”的()A充分而不必要條件 B必要而不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件解析a1a2且a10，則a1(1q)0，a10且q1，則數(shù)列an遞增；反之亦然答案：C難點(diǎn)突破2高考中充要條件的求解從近幾年課改區(qū)高考試題可以看出，高考主要以選擇題或填空題的形式對(duì)充分條件、必要條件內(nèi)容進(jìn)行考查，一般難度不大，屬中檔題，常與不等式、數(shù)列、向量、三角函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、立體幾何等內(nèi)容結(jié)合考查考查形式主要有兩種：一是判斷指定的條件與結(jié)論之間的關(guān)系；二是探求某結(jié)論成立的充要條件、充分不必要條件或必要不充分條件判斷充分、必要條件要從兩方面考慮：一是必須明確哪個(gè)是條件，哪個(gè)是結(jié)論；二是看由條件推出結(jié)論和由結(jié)論推出條件哪個(gè)成立，該類問題雖然屬于容易題，但有時(shí)會(huì)因顛倒條件與結(jié)論或因忽視某些隱含條件等細(xì)節(jié)而失分一、充要條件與不等式的解題策略【示例】(xx·天津)設(shè)x，yR，則“x2且y2”是“x2y24”的()A充分而不必要條件 B必要而不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件二、充要條件與方程結(jié)合的解題策略【示例】 (xx·陜西)設(shè)nN*，一元二次方程x24xn0有整數(shù)根的充要條件是n_.三、充要條件與數(shù)列結(jié)合的解題策略【示例】 (xx·山東)設(shè)an是等比數(shù)列，則“a1a2a3”是“數(shù)列an是遞增數(shù)列”的()A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件四、充要條件與向量結(jié)合的解題策略【示例】(xx·福建)若向量a(x,3)(xR)，則“x4”是“|a|5”的()A充分而不必要條件 B必要而不充分條件C充要條件 D既不充分又不必要條件五、充要條件與三角函數(shù)結(jié)合的解題策略【示例】 (xx·上海)“x2k(kZ)”是“tan x1”成立的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件