2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)、解三角形 第6講 正弦定理、余弦定理及解三角形習(xí)題 理 新人教A版(I)一、填空題1.(xx·哈爾濱模擬)在ABC中，AB，AC1，B30°，ABC的面積為，則C_.解析法一SABC|AB|AC|sin A，即××1×sin A，sin A1，A90°，C60°.法二由正弦定理，得，即，C60°或C120°.當(dāng)C120°時(shí)，A30°，SABC(舍去).而當(dāng)C60°時(shí)，A90°，SABC，符合條件，故C60°.答案60°2.設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcos Cccos Basin A，則角A的大小為_.解析由正弦定理，得sin Bcos Csin Ccos Bsin2A，sin(BC)sin2 A，即sin(A)sin2A，sin Asin2A.A(0，)，sin A0，sin A1，即A.答案3.(xx·哈爾濱、長春、沈陽、大連四市聯(lián)考)已知ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a2b2c2bc，bc4，則ABC的面積為_.解析a2b2c2bc，cos A，A，又bc4，ABC的面積為bcsin A.答案4.(xx·泰州調(diào)研)張曉華同學(xué)騎電動(dòng)自行車以24 km/h的速度沿著正北方向的公路行駛，在點(diǎn)A處望見電視塔S在電動(dòng)車的北偏東30°方向上，15 min后到點(diǎn)B處望見電視塔在電動(dòng)車的北偏東75°方向上，則電動(dòng)車在點(diǎn)B時(shí)與電視塔S的距離是_km.解析畫出示意圖如圖，由條件知AB24×6(km).在ABS中，BAS30°，AB6(km)，ABS180°75°105°，所以ASB45°.由正弦定理知，所以BS3(km).答案35.(xx·河南六市聯(lián)考)在銳角ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若sin A，a2，SABC，則b的值為_.解析由SABCbcsin A，得bc3，又由余弦定理知a2b2c22bccos A，可得b2c26.由解得b.答案6.(xx·北京卷)在ABC中，a3，b，A，則B_.解析由正弦定理知sin B，又因?yàn)閍b，所以AB，所以B.答案7.(xx·重慶卷)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a2，cos C，3sin A2sin B，則c_.解析由3sin A2sin B及正弦定理，得3a2b，又a2，所以b3，故c2a2b22abcos C492×2×3×16，所以c4.答案48.(xx·江蘇卷)若ABC的內(nèi)角滿足sin Asin B2sin C，則cos C的最小值是_.解析由sin Asin B2sin C，結(jié)合正弦定理得ab2c.由余弦定理得cos C，故cos C<1，故cos C的最小值為.答案二、解答題9.(xx·四川卷)已知A，B，C為ABC的內(nèi)角，tan A，tan B是關(guān)于x的方程x2pxp10(pR)的兩個(gè)實(shí)根.(1)求C的大??；(2)若AB3，AC，求p的值.解(1)由已知，方程x2pxp10的判別式(p)24(p1)3p24p40，所以p2，或p，由根與系數(shù)的關(guān)系，有tan Atan Bp，tan Atan B1p，于是1tan Atan B1(1p)p0，從而tan(AB)，所以tan Ctan(AB)，所以C60°.(2)由正弦定理，得sin B，解得B45°，或B135°(舍去)，于是A180°BC75°，則tan Atan 75°tan(45°30°)2，所以p(tan Atan B)(21)1.10.(xx·蘇北四市一檢)在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足a2b2c2bc0，2bsin Aa，BC邊上中線AM的長為.(1)求角A和角B的大??；(2)求ABC的面積.解(1)由a2b2c2bc0，得b2c2a2bc，cos A，A，由2bsin Aa，得ba，BA.(2)設(shè)ACBCx，由余弦定理，得AM2x22x··()2，解得x2，故SABC×2×2×2.(建議用時(shí)：20分鐘)11.已知鈍角ABC的面積為，AB1，BC，則AC等于_.解析SAB·BCsin B×1×sin B，sin B，B或.當(dāng)B時(shí)，根據(jù)余弦定理有AC2AB2BC22AB·BCcos B1225，AC，此時(shí)ABC為鈍角三角形，符合題意；當(dāng)B時(shí)，根據(jù)余弦定理有AC2AB2BC22AB·BCcos B1221，AC1，此時(shí)AB2AC2BC2，ABC為直角三角形，不符合題意.故AC.答案12.(xx·南京師大附中模擬)在ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若SABC2，ab6，2cos C，則c_.解析2cos C，由正弦定理，得sin Acos Bcos Asin B2sin Ccos C，sin(AB)sin C2sin Ccos C，由于0C，sin C0，cos C，C，SABC2absin Cab，ab8，又ab6，或c2a2b22abcos C416812，c2.答案213.(xx·全國卷)在平面四邊形ABCD中，ABC75°，BC2，則AB的取值范圍是_.解析如圖，延長BA與CD相交于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CFAD交AB于點(diǎn)F，則BF<AB<BE.在等腰CFB中，F(xiàn)CB30°，CFBC2，所以BF.在等腰ECB中，CEB30°，ECB75°，BECE，BC2，BE×.<AB<.答案(，)14.在ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊，且acbcos C.(1)求角B的大??；(2)若SABC，b，求ac的值.解(1)由正弦定理，得sin Asin Csin Bcos C，又因?yàn)锳(BC)，所以sin Asin(BC)，可得sin Bcos Ccos Bsin Csin Csin Bcos C，即cos B，又B(0，)，所以B.(2)因?yàn)镾ABC，所以acsin，所以ac4，由余弦定理可知b2a2c2ac，所以(ac)2b23ac131225，即ac5.