2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 8.1空間幾何體及其表面積、體積試題 理 蘇教版一、填空題1已知三棱錐的正視圖與俯視圖如圖所示，俯視圖是邊長為2的正三角形，那么該三棱錐的側(cè)視圖可能為_解析 這個空間幾何體的直觀圖如圖所示，由題知這個空間幾何體的側(cè)視圖的底面邊長是，故其側(cè)視圖只可能是中的圖形答案 2在正方體上任意選擇4個頂點，它們可能是如下各種幾何形體的四個頂點，這些幾何形體是_(寫出所有正確結(jié)論的編號)矩形；不是矩形的平行四邊形；有三個面為等腰直角三角形，有一個面為等邊三角形的四面體；每個面都是等邊三角形的四面體；每個面都是直角三角形的四面體解析顯然可能；不可能；取一個頂點處的三條棱，連接各棱端點構(gòu)成的四面體；取正方體中對面上的兩條異面對角線的四個端點構(gòu)成的幾何體；正方體ABCD A1B1C1D1中，三棱錐D1DBC滿足條件答案3在三棱錐SABC中，面SAB，SBC，SAC都是以S為直角頂點的等腰直角三角形，且ABBCCA2，則三棱錐SABC的表面積是_解析設(shè)側(cè)棱長為a，則a2，a，側(cè)面積為3××a23，底面積為×22，表面積為3.答案34在直觀圖(如圖所示)中，四邊形OABC為菱形且邊長為2 cm，則在xOy坐標(biāo)系中，四邊形ABCO為_，面積為_cm2.解析 由斜二測畫法的特點，知該平面圖形的直觀圖的原圖，即在xOy坐標(biāo)系中，四邊形ABCO是一個長為4 cm，寬為2 cm的矩形，所以四邊形ABCO的面積為8 cm2.答案 矩形85. 如圖所示，已知一個多面體的平面展開圖由一個邊長為1的正方形和4個邊長為1的正三角形組成，則該多面體的體積是_解析由題知該多面體為正四棱錐，底面邊長為1，側(cè)棱長為1，斜高為，連接頂點和底面中心即為高，可求得高為，所以體積V×1×1×.答案6. 如圖所示，三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長均為a，A1ABA1AC60°，則其全面積為_解析如題圖，過B作BDAA1于D，連接CD，則BADCAD，所以ADBADC90°，所以ADCD，ADBD，所以BCD為垂直于側(cè)棱AA1的截面又因為BAD60°，ABa，所以BDa.所以BDC的周長為(1)a，從而S側(cè)(1)a2，S底×a2sin 60°a2.故S全S側(cè)2S底a2.答案a27正方體ABCD A1B1C1D1的棱長為2，點M是BC的中點，點P是平面ABCD內(nèi)的一個動點，且滿足PM2，P到直線A1D1的距離為，則點P的軌跡是_解析由PM2，知點P在以M為圓心，2為半徑的圓上又由P到直線A1D1的距離為，知點P在與BC平行且過AB中點的直線上，故點P的軌跡是它們的交點，即為兩點答案兩個點8已知矩形ABCD的面積為8，當(dāng)矩形ABCD周長最小時，沿對角線AC把ACD折起，則三棱錐DABC的外接球表面積等于_解析 設(shè)矩形的兩鄰邊長度分別為a，b，則ab8，此時2a2b48，當(dāng)且僅當(dāng)ab2時等號成立此時四邊形ABCD為正方形，其中心到四個頂點的距離相等，均為2，無論怎樣折疊，其四個頂點都在一個半徑為2的球面上，這個球的表面積是4×2216.答案 169已知點P，A，B，C是球O表面上的四個點，且PA、PB、PC兩兩成60°角，PAPBPC1 cm，則球的表面積為_cm2.解析如圖，取AB的中點M，連接PM、CM，過P作棱錐的高PN，則垂足N必在CM上，連接AN.棱錐的四個側(cè)面都是邊長為1的正三角形，故可得CMPM，從而CNCM，在RtPCN中，可求得PN，連接AO，則ANCN，設(shè)AOPOR，則在RtOAN中，有R222，解得R.球的表面積S4R2(cm2)答案10已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積和體積分別為_，_.解析 由三視圖可知，該幾何體的下部是一底邊長為2，高為4的長方體，上部為一球，球的直徑等于正方形的邊長所以長方體的表面積為S12×2×24×2×440，長方體的體積為V12×2×416，球的表面積和體積分別為S24××124，V2××13，故該幾何體的表面積為SS1S2404，該幾何體的體積為VV1V216.答案 404；16二、解答題11. 如圖，四邊形ABCD為正方形，QA平面ABCD，PDQA，QAABPD.(1)證明：PQ平面DCQ；(2)求棱錐QABCD的體積與棱錐PDCQ的體積的比值(1)證明由條件知四邊形PDAQ為直角梯形因為QA平面ABCD，所以平面PDAQ平面ABCD，交線為AD.又四邊形ABCD為正方形，DCAD，所以DC平面PDAQ，可得PQDC.在直角梯形PDAQ中可得DQPQPD，則PQQD.又DQDCD，所以PQ平面DCQ.(2)解設(shè)ABa.由題設(shè)知AQ為棱錐QABCD的高，所以棱錐QABCD的體積V1a3.由(1)知PQ為棱錐PDCQ的高，而PQa，DCQ的面積為a2，所以棱錐PDCQ的體積V2a3.故棱錐QABCD的體積與棱錐PDCQ的體積的比值為1.12如圖，把邊長為2的正六邊形ABCDEF沿對角線BE折起，使AC.(1)求證：平面ABEF平面BCDE；(2)求五面體ABCDEF的體積解 設(shè)原正六邊形中，ACBEO，OFBEO，由正六邊形的幾何性質(zhì)可知OAOC，ACBE，DFBE.(1)證明：在五面體ABCDE中，OA2OC26AC2，OAOC，又OAOB，OA平面BCDE.OA平面ABEF，平面ABEF平面BCDE.(2)由BEOA，BEOC知BE平面AOC，同理BE平面FOD，平面AOC平面FOD，故AOCFOD是側(cè)棱長(高)為2的直三棱柱，且三棱錐BAOC和EFOD為大小相同的三棱錐，VABCDEF2VBAOCVAOCFOD2×××()2×1×()2×24.13. 如圖所示，在平行四邊形ABCD中，DAB60°，AB2，AD4.將CBD沿BD折起到EBD的位置，使平面EBD平面ABD.(1)求證：ABDE；(2)求三棱錐EABD的側(cè)面積(1)證明在ABD中，因為AB2，AD4，DAB60°，所以BD2，所以AB2BD2AD2，所以ABBD.又因為平面EBD平面ABD，平面EBD平面ABDBD，AB平面ABD，所以AB平面EBD.又因為DE平面EBD，所以ABDE.(2)解由(1)知ABBD，因為CDAB，所以CDBD，從而DEBD，在RtDBE中，由DB2，DEDCAB2，得SBDEDB·DE2.又因為AB平面EBD，BE平面EBD，所以ABBE.因為BEBCAD4，所以SABEAB·BE4，因為DEBD，平面EBD平面ABD，所以ED平面ABD，而AD平面ABD，所以EDAD，所以SADEAD·DE4.綜上，三棱錐EABD的側(cè)面積S82.14如圖(1)所示，在直角梯形ABEF中(圖中數(shù)字表示線段的長度)，將直角梯形DCEF沿CD折起，使平面DCEF平面ABCD，連結(jié)部分線段后圍成一個空間幾何體，如圖(2)所示(1)求證：BE平面ADF；(2)求三棱錐FBCE的體積(1)證明法一取DF的中點G，連結(jié)AG，EG，CE綉DF，EG綉CD.又AB綉CD，EG綉AB.四邊形ABEG為平行四邊形BEAG.又BE平面ADF，AG平面ADF，BE平面ADF.法二由題圖(1)可知BCAD，CEDF，折疊之后平行關(guān)系不變BCAD，BC平面ADF，AD平面ADF，BC平面ADF.同理CE平面ADF.BCCEC，BC、CE平面BCE，平面BCE平面ADF.BE平面BCE，BE平面ADF，BE平面ADF.(2)解法一VFBCEVBCEF，由題圖(1)，可知BCCD，又平面DCEF平面ABCD，平面DCEF平面ABCDCD，BC平面ABCD，BC平面DCEF.由題圖(1)可知，DCCE1，SCEFCE×DC，VFBCEVBvCEF×BC×SCEF.法二由題圖(1)，可知CDBC，CDCE，BCCEC，CD平面BCE.DFCE，點F到平面BCE的距離等于點D到平面BCE的距離為1，由題圖(1)，可知BCCE1，SBCEBC×CE，VFBCE×CD×SBCE.法三如圖所示，過E作EHFC，垂足為H，由圖可知BCCD，平面DCEF平面ABCD，平面DCEF平面ABCDCD，BCDC，BC平面ABCD，BC平面DCEF.又EH平面DCEF，BCEH，EH平面BCF.由BCFC，F(xiàn)C，SBCFBC×CF，在CEF中，由等面積法可得EH，VFBCEVEBCF×EH×SBCF.