2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 滾動(dòng)測試卷四 文 一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1.已知集合A={x|x2-3x+2<0},B=,則(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.A?B B.B?A C.A∩?RB=R D.A∩B=? 2.下列函數(shù)中周期為π且為偶函數(shù)的是(　　) A.y=sin B.y=cos C.y=sin D.y=cos 3.設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,a1=2,a5=3a3,則S9=(　　) A.90 B.54 C.-54 D.-72 4.已知m,n為兩條不同的直線,α,β為兩個(gè)不同的平面,則下列命題中正確的是(　　) A.若l⊥m,l⊥n,且m,n?α,則l⊥α B.若平面α內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到平面β的距離相等,則α∥β C.若m⊥α,m⊥n,則n∥α D.若m∥n,n⊥α,則m⊥α 5.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,其中俯視圖與側(cè)視圖均為半徑是2的圓,則這個(gè)幾何體的表面積是(　　) A.16π B.14π C.12π D.8π 6.(xx廣東廣州三校聯(lián)考)?x∈R,x2-ax+1≤0為假命題,則a的取值范圍為(　　) A.(-2,2) B.[-2,2] C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-2]∪[2,+∞) 7.若兩個(gè)非零向量a,b滿足|a+b|=|a-b|=2|a|,則向量a+b與b-a的夾角為(　　) A. B. C. D. 8.(xx福建三明模擬)已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F恰好是雙曲線=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn),且兩條曲線的交點(diǎn)的連線過點(diǎn)F,則該雙曲線的離心率為(　　) A. B.2 C.+1 D.-1 9.已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn),且在第一象限,PA⊥l,垂足為A,|PF|=4,則直線AF的傾斜角等于(　　) A. B. C. D. 10.已知函數(shù)f(x)=若函數(shù)g(x)=f(x)-m有三個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍為(　　) A. B. C. D. 11.已知函數(shù)f(x)對(duì)定義域R內(nèi)的任意x都有f(x)=f(4-x),且當(dāng)x≠2時(shí)其導(dǎo)函數(shù)f'(x)滿足xf'(x)>2f'(x),若2<a<4,則(　　) A.f(2a)<f(3)<f(log2a) B.f(3)<f(log2a)<f(2a) C.f(log2a)<f(3)<f(2a) D.f(log2a)<f(2a)<f(3) 12.設(shè)雙曲線4x2-y2=1的兩條漸近線與直線x=圍成的三角形區(qū)域(包含邊界)為D,P(x,y)為D內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則目標(biāo)函數(shù)z=x-y的最小值為(　　) A.-2 B.- C.0 D.- 二、填空題(本大題共4小題,每小題4分,共16分.將答案填在題中橫線上) 13.若曲線y=x2+x-的某一切線與直線y=4x+3平行,則切線方程為　　　　　.  14.直線l1:y=x+a和l2:y=x+b將單位圓C:x2+y2=1分成長度相等的四段弧,則a2+b2=　　　　.  15.設(shè)函數(shù)f(x)=數(shù)列{an}滿足an=f(n),n∈N*,且數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　　　　　.  16.設(shè)f(x)是R上的奇函數(shù),且f(-1)=0,當(dāng)x>0時(shí),(x2+1)·f'(x)+2xf(x)<0,則不等式f(x)>0的解集為　　　　　.  三、解答題(本大題共6小題,共74分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟) 17.(12分)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,a3+a7=18,且an-1+an+1=2an(n≥2). (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)若cn=2n-1·an,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn. 18.(12分)(xx福建泉州模擬)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)應(yīng)邊分別為a,b,c,已知a=1,b=2,cos C=. (1)求△ABC的邊c的長; (2)求cos(A-C)的值. 19.(12分)(xx北京西城一模)如圖,在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD是矩形,AD=2AB,SA=SD,SA⊥AB,N是棱AD的中點(diǎn). (1)求證:AB∥平面SCD; (2)求證:SN⊥平面ABCD; (3)在棱SC上是否存在一點(diǎn)P,使得平面PBD⊥平面ABCD?若存在,求出的值;若不存在,說明理由. 20.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓P在x軸上截得線段長為2,在y軸上截得線段長為2. (1)求圓心P的軌跡方程; (2)若P點(diǎn)到直線y=x的距離為,求圓P的方程. 21.(12分)已知向量m=(ex,ln x+k),n=(1,f(x)),m∥n(k為常數(shù),e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與y軸垂直,F(x)=xexf'(x). (1)求k的值及F(x)的單調(diào)區(qū)間; (2)已知函數(shù)g(x)=-x2+2ax(a為正實(shí)數(shù)),若對(duì)于任意x2∈[0,1],總存在x1∈(0,+∞),使得g(x2)<F(x1),求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 22.(14分)已知F1,F2分別是橢圓E:+y2=1的左、右焦點(diǎn),F1,F2關(guān)于直線x+y-2=0的對(duì)稱點(diǎn)是圓C的一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn). (1)求圓C的方程; (2)設(shè)過點(diǎn)F2的直線l被橢圓E和圓C所截得的弦長分別為a,b,當(dāng)ab最大時(shí),求直線l的方程. 答案：1.D　解析:∵x2-3x+2<0,∴1<x<2. 又∵log4x>=log42, ∴x>2,∴A∩B=?,故選D. 2.A　解析:因?yàn)閥=sin=-cos 2x為偶函數(shù),且周期是π,故選A. 3.C　解析:由a1=2,a5=3a3得a1+4d=3(a1+2d),即d=-a1=-2,所以S9=9a1+d=9×2-9×8=-54,故選C. 4.D　解析:依次判斷各選項(xiàng),A錯(cuò)誤,只有直線m,n相交時(shí)命題才成立;B錯(cuò)誤,其中兩點(diǎn)與另一點(diǎn)在平面異側(cè)時(shí),α與β相交;C錯(cuò)誤,直線n可在平面α內(nèi);D正確. 5.A　解析:由三視圖可知,該幾何體是一個(gè)球挖去.其中兩個(gè)半圓的面積為π×22=4π,個(gè)球的表面積為×4π×22=12π,所以這個(gè)幾何體的表面積是12π+4π=16π,故選A. 6.A　解析:?x∈R,x2-ax+1≤0為假命題,即對(duì)?x∈R,x2-ax+1>0為真命題. 需Δ=(-a)2-4<0,即a2-4<0,解得-2<a<2,故a的取值范圍為(-2,2). 7.B　解析:由|a+b|=|a-b|得a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2,即a·b=0. 由|a+b|=2|a|, 得a2+2a·b+b2=4a2,即b2=3a2, 所以|b|=|a|, 所以(a+b)·(b-a)=b2-a2=3a2-a2=2a2,所以向量a+b與b-a的夾角的余弦值為cos θ=,所以θ=,故選B. 8.C　解析:因?yàn)閮蓷l曲線交點(diǎn)的連線過點(diǎn)F,所以兩條曲線交點(diǎn)為,代入雙曲線方程得=1, 又=c,所以-4×=1,化簡得c4-6a2c2+a4=0,所以e4-6e2+1=0, 所以e2=3+2=(1+)2,所以e=+1,故選C. 9.B　解析:拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-1. 由題意知|PF|=|PA|=4, 則xP-(-1)=4,即xP=3, 所以=4×3, 即yP=2(點(diǎn)P在第一象限,故負(fù)值舍去),所以A(-1,2). 設(shè)直線AF的傾斜角為θ, 則tan θ==-, 所以θ=,故選B. 10.C　解析:由g(x)=f(x)-m=0得f(x)=m,作出函數(shù)y=f(x)的圖象,當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x2-x=≥-,所以要使函數(shù)g(x)=f(x)-m有三個(gè)不同的零點(diǎn),只需直線y=m與函數(shù)y=f(x)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)即可,如圖只需-<m<0,故選C. 11.C　解析:由f(x)=f(4-x)可知函數(shù)圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱. 由xf'(x)>2f'(x)?(x-2)f'(x)>0,故當(dāng)x>2時(shí),f'(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增; 當(dāng)x<2時(shí),f'(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減. 若2<a<4,則1<log2a<2; 22<2a<24,即4<2a<16. 又f(log2a)=f(4-log2a), 2<4-log2a<3, 所以2<4-log2a<3<2a, 所以由函數(shù)的單調(diào)性得f(4-log2a)<f(3)<f(2a), 即f(log2a)<f(3)<f(2a),故選C. 12.B　解析:雙曲線4x2-y2=1的兩條漸近線方程為y=±2x,作出由y=±2x和x=圍成的三角形區(qū)域,由y=x-z,所以經(jīng)過點(diǎn)(,2)時(shí),z取得最小值-. 13.y=4x-2　解析:設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0),切線的斜率k=y'=3x0+1,3x0+1=4,∴x0=1. 又y0=+x0-=2,則切點(diǎn)為(1,2),故切線的方程為y-2=4(x-1),∴y=4x-2. 14.2　解析:由題意,得圓心(0,0)到兩條直線的距離相等,且每段弧的長度都是圓周的,即=cos 45°=,所以a2=b2=1,故a2+b2=2. 15.2<a<3　解析:∵數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,又an=f(n)(n∈N*), ∴?2<a<3. 16.(-∞,-1)∪(0,1)　解析:令g(x)=(x2+1)f(x), 則g'(x)=(x2+1)f'(x)+2xf(x). x>0時(shí)有g(shù)'(x)<0成立, 即g(x)在(0,+∞)上為減函數(shù). 又g(1)=2f(1)=-2f(-1)=0知x∈(0,1)時(shí)g(x)>0, 又因?yàn)閤2+1>0, 所以x∈(0,1)時(shí),f(x)>0; x∈(1,+∞)時(shí)g(x)<0, 即f(x)<0. 根據(jù)f(x)是奇函數(shù)可得當(dāng)x∈(-∞,-1)時(shí)f(x)>0, 當(dāng)x∈(-1,0)時(shí),f(x)<0. 可知f(x)>0的解集為(-∞,-1)∪(0,1). 17.解:(1)由an-1+an+1=2an(n≥2)知,數(shù)列{an}是等差數(shù)列, 設(shè)其公差為d, 則a5=(a3+a7)=9, 所以d==2, an=a1+(n-1)d=2n-1, 即數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n-1. (2)cn=(2n-1)·2n-1, Tn=c1+c2+c3+…+cn =1×20+3×21+5×22+…+(2n-1)×2n-1. 2Tn=1×21+3×22+…+(2n-3)×2n-1+(2n-1)×2n, 相減得-Tn=1+2×(21+22+23+…+2n-1)-(2n-1)·2n, 整理得-Tn=1+2×-(2n-1)·2n=-(2n-3)·2n-3, 所以Tn=(2n-3)·2n+3. 18.解:(1)由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C=1+4-2×1×2×=4, 因?yàn)閏>0,所以c=2. (2)sin2C=1-cos2C=1-. 因?yàn)?<C<π,所以sin C=. 由正弦定理,得,即, 解得sin A=,cos2A=1-sin2A=1-, 在△ABC中,因?yàn)閍<b,所以A<B. 所以A為銳角,所以cos A=,cos(A-C)=cos Acos C+sin Asin C=. 19.(1)證明:因?yàn)榈酌鍭BCD是矩形, 所以AB∥CD, 又因?yàn)锳B?平面SCD,CD?平面SCD, 所以AB∥平面SCD. (2)證明:因?yàn)锳B⊥SA,AB⊥AD,SA∩AD=A, 所以AB⊥平面SAD, 又因?yàn)镾N?平面SAD, 所以AB⊥SN. 因?yàn)镾A=SD,且N為AD中點(diǎn), 所以SN⊥AD. 又因?yàn)锳B∩AD=A, 所以SN⊥平面ABCD. (3)解:存在點(diǎn)P,使得平面PBD⊥平面ABCD.理由如下: 如圖,連接BD交NC于點(diǎn)F, 在平面SNC中過F作FP∥SN交SC于點(diǎn)P,連接PD,PB. 因?yàn)镾N⊥平面ABCD, 所以FP⊥平面ABCD. 又因?yàn)镕P?平面PBD, 所以平面PBD⊥平面ABCD. 在矩形ABCD中,因?yàn)镹D∥BC, 所以. 在△SNC中,因?yàn)镕P∥SN, 所以. 所以在棱SC上存在點(diǎn)P,使得平面PBD⊥平面ABCD, 此時(shí). 20.解:(1)設(shè)P(x,y),圓P的半徑為r. 由題設(shè)y2+2=r2,x2+3=r2. 從而y2+2=x2+3. 故P點(diǎn)的軌跡方程為y2-x2=1. (2)設(shè)P(x0,y0). 由已知得. 又P點(diǎn)在雙曲線y2-x2=1上, 從而得 由 此時(shí),圓P的半徑r=. 由 此時(shí),圓P的半徑r=. 故圓P的方程為x2+(y-1)2=3或x2+(y+1)2=3. 21.解:(1)由已知可得f(x)=, ∴f'(x)=, 由已知,f'(1)==0,∴k=1, ∴F(x)=xexf'(x) =x=1-xln x-x, 故F'(x)=-ln x-2. 由F'(x)=-ln x-2≥0?0<x≤,由F'(x)=-ln x-2<0?x>, ∴F(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為. (2)∵對(duì)于任意x2∈[0,1],總存在x1∈(0,+∞),使得g(x2)<F(x1), ∴g(x)max<F(x)max. 由(1)知,當(dāng)x=時(shí),F(x)取得最大值F=1+, 對(duì)于g(x)=-x2+2ax,其對(duì)稱軸為x=a. 當(dāng)0<a≤1時(shí),g(x)max=g(a)=a2, ∴a2<1+,從而0<a≤1; 當(dāng)a>1時(shí),g(x)max=g(1)=2a-1, ∴2a-1<1+,從而1<a<1+,綜上可知0<a<1+. 22.解:(1)由題設(shè)知,F1,F2的坐標(biāo)分別為(-2,0),(2,0),圓C的半徑為2,圓心為原點(diǎn)O關(guān)于直線x+y-2=0的對(duì)稱點(diǎn). 設(shè)圓心的坐標(biāo)為(x0,y0),由解得 所以圓C的方程為(x-2)2+(y-2)2=4. (2)由題意,可設(shè)直線l的方程為x=my+2,則圓心到直線l的距離d=. 所以b=2. 由 得(m2+5)y2+4my-1=0. 設(shè)l與E的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),則 y1+y2=-,y1y2=-. 于是a= = = = =. 從而ab= = = ≤=2. 當(dāng)且僅當(dāng), 即m=±時(shí),等號(hào)成立. 故當(dāng)m=±時(shí),ab最大,此時(shí),直線l的方程為x=y+2或x=-y+2,即x-y-2=0或x+y-2=0.