2022年高考數學專題復習導練測 第三章 導數及其應用階段測試（四）理 新人教A版一、選擇題1設曲線y在點(3,2)處的切線與直線axy30垂直，則a等于()A2 B2C. D答案B解析因為y的導數為y，所以曲線在(3,2)處的切線斜率為k，又直線axy30的斜率為a，所以a·()1，解得a2.2已知函數f(x)x3ax2x1在R上是單調減函數，則實數a的取值范圍是()A(，)B，C(，)(，)D(，)答案B解析由題意，知f(x)3x22ax10在R上恒成立，所以(2a)24×(3)×(1)0，解得a.3已知aln x對任意x，2恒成立，則a的最大值為()A0 B1C2 D3答案A解析令f(x)ln x，則f(x)，當x，1)時，f(x)<0，當x(1,2時，f(x)>0，f(x)在，1)上單調遞減，在(1,2上單調遞增，f(x)minf(1)0，a0，即a的最大值為0.4設f(x)(e為自然對數的底數)，則f(x)dx等于()A BC. D.答案D解析依題意得，f(x)dxx2dxdxx3|ln x|1.5已知函數f(x)對定義域R內的任意x都有f(x)f(4x)，且當x2時，其導函數f(x)滿足xf(x)>2f(x)，若2<a<4，則()Af(2a)<f(3)<f(log2a)Bf(3)<f(log2a)<f(2a)Cf(log2a)<f(3)<f(2a)Df(log2a)<f(2a)<f(3)答案C解析由f(x)f(4x)，可知函數圖象關于x2對稱由xf(x)>2f(x)，得(x2)f(x)>0，所以當2<x<4時，f(x)>0恒成立，函數f(x)單調遞增由2<a<4，得1<log2a<2,22<2a<24，即4<2a<16.因為f(log2a)f(4log2a)，所以2<4log2a<3，即2<4log2a<3<2a，所以f(4log2a)<f(3)<f(2a)，即f(log2a)<f(3)<f(2a)二、填空題6函數yx2cos x在區(qū)間0，上的最大值是_答案解析y12sin x，令y0，又x0，得x，則x0，)時，y>0；x(，時，y<0，故函數yx2cos x在0，)上遞增，在(，上遞減，所以當x時，函數取得最大值，為.7函數f(x)x33axb(a>0)的極大值為6，極小值為2，則f(x)的單調遞減區(qū)間是_答案(1,1)解析令f(x)3x23a0，得x±.f(x)，f(x)隨x的變化情況如下表：x(，)(，)(，)f(x)00f(x)極大值極小值解得所以f(x)的單調遞減區(qū)間是(1,1)8已知f(x)2x36x23，對任意的x2,2都有f(x)a，則a的取值范圍為_答案3，)解析由f(x)6x212x0，得x0或x2.又f(2)37，f(0)3，f(2)5，f(x)max3，又f(x)a，a3.三、解答題9已知函數f(x)x2aln x(aR)(1)若函數f(x)的圖象在x2處的切線方程為yxb，求a，b的值；(2)若函數f(x)在(1，)上為增函數，求a的取值范圍解(1)因為f(x)x(x>0)，又f(x)在x2處的切線方程為yxb，所以解得a2，b2ln 2.(2)若函數f(x)在(1，)上為增函數，則f(x)x0在(1，)上恒成立，即ax2在(1，)上恒成立所以有a1.10(xx·大綱全國)函數f(x)ln(x1)(a>1)(1)討論f(x)的單調性；(2)設a11，an1ln(an1)，證明：<an.(1)解f(x)的定義域為(1，)，f(x).當1<a<2時，若x(1，a22a)，則f(x)>0，f(x)在(1，a22a)是增函數；若x(a22a,0)，則f(x)<0，f(x)在(a22a,0)是減函數；若x(0，)，則f(x)>0，f(x)在(0，)是增函數當a2時，f(x)0，f(x)0成立當且僅當x0，f(x)在(1，)是增函數當a>2時，若x(1,0)，則f(x)>0，f(x)在(1,0)是增函數；若x(0，a22a)，則f(x)<0，f(x)在(0，a22a)是減函數；若x(a22a，)，則f(x)>0，f(x)在(a22a，)是增函數(2)證明由(1)知，當a2時，f(x)在(1，)是增函數當x(0，)時，f(x)>f(0)0，即ln(x1)>(x>0)又由(1)知，當a3時，f(x)在0,3)是減函數當x(0,3)時，f(x)<f(0)0，即ln(x1)<(0<x<3)下面用數學歸納法證明<an.當n1時，由已知<a11，故結論成立；假設當nk時結論成立，即<ak.當nk1時，ak1ln(ak1)>ln(1)>.ak1ln(ak1)ln(1)<，即當nk1時有<ak1，結論成立根據、可知對任何nN*結論都成立