2022年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)導(dǎo)練測 第九章 第5講 雙曲線 理 新人教A版一、選擇題1設(shè)雙曲線1(a0)的漸近線方程為3x±2y0，則a的值為()A4 B3 C2 D1解析雙曲線1的漸近線方程為3x±ay0與已知方程比較系數(shù)得a2.答案C2已知雙曲線C：1的焦距為10，點P(2,1)在C的漸近線上，則C的方程為 ()A.1 B.1C.1 D.1解析不妨設(shè)a>0，b>0，c.據(jù)題意，2c10，c5.雙曲線的漸近線方程為y±x，且P(2,1)在C的漸近線上，1.由解得b25，a220，故正確選項為A.答案A3已知雙曲線x21的左頂點為A1，右焦點為F2，P為雙曲線右支上一點，則·的最小值為 ()A2 B C1 D0解析設(shè)點P(x，y)，其中x1.依題意得A1(1,0)，F(xiàn)2(2,0)，則有x21，y23(x21)，·(1x，y)·(2x，y)(x1)(x2)y2x23(x21)x24x2x542，其中x1.因此，當(dāng)x1時，·取得最小值2，選A.答案A4過雙曲線1(a>0，b>0)的左焦點F(c,0)(c>0)作圓x2y2的切線，切點為E，延長FE交雙曲線右支于點P，若2，則雙曲線的離心率為 ()A. B. C. D.解析設(shè)雙曲線的右焦點為A，則，故2，即OEAP.所以E是PF的中點，所以AP2OE2×a.所以PF3a.在RtAPF中，a2(3a)2(2c)2，即10a24c2，所以e2，即離心率為e ，選C.答案C5已知雙曲線1的右焦點與拋物線y212x的焦點重合，則該雙曲線的焦點到其漸近線的距離等于 ()A. B4 C3 D5解析易求得拋物線y212x的焦點為(3,0)，故雙曲線1的右焦點為(3,0)，即c3，故324b2，b25，雙曲線的漸近線方程為y±x，雙曲線的右焦點到其漸近線的距離為.答案A6如圖，已知點P為雙曲線1右支上一點，F(xiàn)1、F2分別為雙曲線的左、右焦點，I為PF1F2的內(nèi)心，若SIPF1SIPF2SIF1F2成立，則的值為()A. B. C. D.解析 根據(jù)SIPF1SIPF2SIF1F2，即|PF1|PF2|F1F2|，即2a2c，即.答案 B二、填空題7雙曲線1的右焦點到漸近線的距離是_解析 由題意得：雙曲線1的漸近線為y±x.焦點(3,0)到直線y±x的距離為.答案 8在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線1的離心率為，則m的值為_解析由題意得m0，a，b.c，由e，得5，解得m2.答案29如圖，已知雙曲線以長方形ABCD的頂點A、B為左、右焦點，且雙曲線過C、D兩頂點若AB4，BC3，則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_解析設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a0，b0)由題意得B(2,0)，C(2,3)，解得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x21.答案x2110如圖，雙曲線1(a，b0)的兩頂點為A1，A2，虛軸兩端點為B1，B2，兩焦點為F1，F(xiàn)2.若以A1A2為直徑的圓內(nèi)切于菱形F1B1F2B2，切點分別為A，B，C，D.則(1)雙曲線的離心率e_；(2)菱形F1B1F2B2的面積S1與矩形ABCD的面積S2的比值_.解析(1)由題意可得a bc，a43a2c2c40，e43e210，e2，e.(2)設(shè)sin ，cos ，e2.答案(1)(2)三、解答題11中心在原點，焦點在x軸上的一橢圓與一雙曲線有共同的焦點F1，F(xiàn)2，且|F1F2|2，橢圓的長半軸與雙曲線半實軸之差為4，離心率之比為37.(1)求這兩曲線方程；(2)若P為這兩曲線的一個交點，求cosF1PF2的值解(1)由已知：c，設(shè)橢圓長、短半軸長分別為a，b，雙曲線半實、虛軸長分別為m，n，則解得a7，m3.b6，n2.橢圓方程為1，雙曲線方程為1.(2)不妨設(shè)F1，F(xiàn)2分別為左、右焦點，P是第一象限的一個交點，則|PF1|PF2|14，|PF1|PF2|6，所以|PF1|10，|PF2|4.又|F1F2|2，cosF1PF2.12已知雙曲線的中心在原點，焦點F1，F(xiàn)2在坐標(biāo)軸上，離心率為，且過點(4，)(1)求雙曲線方程；(2)若點M(3，m)在雙曲線上，求證：·0；(3)求F1MF2的面積(1)解e，設(shè)雙曲線方程為x2y2.又雙曲線過(4，)點，16106，雙曲線方程為x2y26.(2)證明法一由(1)知ab，c2，F(xiàn)1(2，0)，F(xiàn)2(2，0)，kMF1，kMF2，kMF1·kMF2，又點(3，m)在雙曲線上，m23，kMF1·kMF21，MF1MF2，·0.法二(32，m)，(23，m)，·(32)(32)m23m2.M在雙曲線上，9m26，m23，·0.(3)解在F1MF2中，|F1F2|4，且|m|，SF1MF2·|F1F2|·|m|×4×6.13已知雙曲線1(a>0，b>0)的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在雙曲線上，且PF1PF2，|PF1|8，|PF2|6.(1)求雙曲線的方程；(2)設(shè)過雙曲線左焦點F1的直線與雙曲線的兩漸近線交于A，B兩點，且2，求此直線方程解(1)由題意知，在RtPF1F2中，|F1F2|，即2c10，所以c5.由橢圓的定義，知2a|PF1|PF2|862，即a1.所以b2c2a224，故雙曲線的方程為x21.(2)左焦點為F1(5,0)，兩漸近線方程為y±2x.由題意得過左焦點的該直線的斜率存在設(shè)過左焦點的直線方程為yk(x5)，則與兩漸近線的交點為和.由2，得2或者2，解得k±.故直線方程為y±(x5)14 P(x0，y0)(x0±a)是雙曲線E：1(a>0，b>0)上一點，M，N分別是雙曲線E的左，右頂點，直線PM，PN的斜率之積為.(1)求雙曲線的離心率；(2)過雙曲線E的右焦點且斜率為1的直線交雙曲線于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，C為雙曲線上一點，滿足，求的值解(1)由點P(x0，y0)(x0±a)在雙曲線1上，有1.由題意有·，可得a25b2，c2a2b26b2，e.(2)聯(lián)立得4x210cx35b20.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則設(shè)(x3，y3)，即又C為雙曲線上一點，即x5y5b2，有(x1x2)25(y1y2)25b2.化簡得2(x5y)(x5y)2(x1x25y1y2)5b2.又A(x1，y1)，B(x2，y2)在雙曲線上，所以x5y5b2，x5y5b2.由式又有x1x25y1y2x1x25(x1c)(x2c)4x1x25c(x1x2)5c210b2，式可化為240，解得0或4.