2022年高二數(shù)學 1、2-3-2拋物線的簡單幾何性質同步練習 新人教A版選修1-1一、選擇題1設拋物線的頂點在原點，其焦點F在y軸上，又拋物線上的點(k，2)與F點的距離為4，則k的值是()A4B4或4C2 D2或2答案B解析由題意，設拋物線的標準方程為：x22py，由題意得，24，p4，x28y.又點(k，2)在拋物線上，k216，k±4.2拋物線yx2(m<0)的焦點坐標是()A. B.C. D.答案A解析x2my(m<0)，2pm，p，焦點坐標為，即.3拋物線的頂點在原點，對稱軸是x軸，拋物線上的點(5,2)到焦點的距離是6，則拋物線的方程為()Ay22x By24xCy22x Dy24x或y236x答案B解析由題意，設拋物線的標準方程為：y22px(p>0)，由題意，得56，p2，拋物線方程為y24x.4直線ykx2交拋物線y28x于A、B兩點，若AB中點的橫坐標為2，則k()A2或2 B1C2 D3答案C解析由得k2x24(k2)x40，則4，即k2.5(xx·陜西文，9)已知拋物線y22px(p>0)的準線與圓(x3)2y216相切，則p的值為()A. B1C2 D4答案C解析本題考查拋物線的準線方程，直線與圓的位置關系拋物線y22px(p>0)的準線方程是x，由題意知，34，p2.6等腰RtAOB內接于拋物線y22px(p>0)，O為拋物線的頂點，OAOB，則AOB的面積是()A8p2 B4p2C2p2 Dp2答案B解析拋物線的對稱軸為x軸，內接AOB為等腰直角三角形，由拋物線的對稱性，知直線AB與拋物線的對稱軸垂直，從而直線OA與x軸的夾角為45°.由方程組，得，或.A、B兩點的坐標分別為(2p,2p)和(2p，2p)|AB|4p.SAOB×4p×2p4p2.7拋物線y22px與直線axy40的一個交點是(1,2)，則拋物線的焦點到該直線的距離是()A. B.C. D.答案B解析由已知得拋物線方程為y24x，直線方程為2xy40，拋物線y24x的焦點坐標是F(1,0)，到直線2xy40的距離為d.8過拋物線焦點F的直線與拋物線相交于A、B兩點，若A、B在拋物線準線上的射影是A1、B1，則A1FB1等于()A45° B60°C90° D120°答案C解析由拋物線的定義得，|AF|AA1|，|BF|BB1|，12，34，又1234A1AFB1BF360°，且A1AFB1BF180°，1234180°，2(24)180°，即2490，故A1FB90°.9(xx·全國，5)設雙曲線1(a>0，b>0)的漸近線與拋物線yx21相切，則該雙曲線的離心率等于()A. B2C. D.答案C解析本題主要考查圓錐曲線的有關知識雙曲線的漸近線方程為y±x.漸近線與yx21相切，x2±x10有兩相等根，40，b24a2，e.10(xx·遼寧理，7)設拋物線y28x的焦點為F，準線為l，P為拋物線上一點，PAl，A為垂足如果直線AF的斜率為，那么|PF|()A4 B8C8 D16答案B解析如圖，KAF，AFO60°，|BF|4，|AB|4，即P點的縱坐標為4，(4)28x，x6，|PA|8|PF|，故選B.二、填空題11拋物線y216x上到頂點和焦點距離相等的點的坐標是_答案(2，±4)解析設拋物線y216x上的點P(x，y)由題意，得(x4)2x2y2x216x，x2，y±4.12拋物線y24x的弦AB垂直于x軸，若AB的長為4，則焦點到AB的距離為_答案2解析由題意，設A點坐標為(x,2)，則x3，又焦點F(1,0)，焦點到AB的距離為2.13已知F為拋物線y22ax(a>0)的焦點，點P是拋物線上任一點，O為坐標原點，以下四個命題：(1)FOP為正三角形(2)FOP為等腰直角三角形(3)FOP為直角三角形(4)FOP為等腰三角形其中一定不正確的命題序號是_答案解析拋物線上的點到焦點的距離最小時，恰好為拋物線頂點，錯誤若FOP為等腰直角三角形，則點P的橫縱坐標相等，這顯然不可能，故錯誤14(xx·寧夏、海南)已知拋物線C的頂點坐標為原點，焦點在x軸上，直線yx與拋物線C交于A，B兩點，若P(2,2)為AB的中點，則拋物線C的方程為_答案y24x解析設拋物線為y2kx，與yx聯(lián)立方程組，消去y，得：x2kx0，x1x2k2×2，故y24x.三、解答題15已知拋物線y24x的內接三角形OAB的一個頂點O在原點，三邊上的高都過焦點，求三角形OAB的外接圓的方程解析OAB的三個頂點都在拋物線上，且三條高都過焦點，ABx軸，故A、B關于x軸對稱，設A，則B，又F(1,0)，由OABF得，·1，解得y20，A(5,2)，B(5，2)，因外接圓過原點，且圓心在x軸上，故可設方程為：x2y2Dx0，把A點坐標代入得D9，故所求圓的方程為x2y29x0.16一拋物線拱橋跨度為52m，拱頂離水面6.5m，一竹排上載有一寬4m，高6m的大木箱，問竹排能否安全通過？解析如圖所示建立平面直角坐標系，設拋物線方程為x22py，則有A(26，6.5)，B(2，y)，由2622px×(6.5)，得p52，拋物線方程為x2104y.當x2時，4104y，y，6.5>6，能通過17若拋物線y22x上兩點A(x1，y1)、B(x2，y2)關于直線yxb對稱，且y1y21，求實數(shù)b的值解析因為A(x1，y1)，B(x2，y2)在拋物線上，所以y2x1y2x2并整理可得kAB，又因為kAB1，所以y1y22，所以1，而，因為在直線yxb上，所以1b，即b，所以b的值為.18設拋物線y22px(p>0)的焦點為F，經(jīng)過點F的直線交拋物線于A、B兩點，點C在拋物線的準線上，且BCx軸證明：直線AC經(jīng)過原點O.證明如圖，設直線方程為yk，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C，由消去x得，y2p20，y1y2p2，kOA，kOC，又y2px1，kOCkOA，即AC經(jīng)過原點O.當k不存在時，ABx軸，同理可得kOAkOC.