2022年高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí) 專題突破篇 專題五 解析幾何專題限時(shí)訓(xùn)練15 文一、選擇題(每小題5分，共25分)1(xx·新課標(biāo)全國卷)過三點(diǎn)A(1,3)，B(4,2)，C(1，7)的圓交y軸于M，N兩點(diǎn)，則|MN|()A2 B8 C4 D10答案：C解析：設(shè)圓的方程為x2y2DxEyF0，則解得 圓的方程為x2y22x4y200.令x0，得y22或y22， M(0，22)，N(0，22)或M(0，22)，N(0，22)， |MN|4.故選C.2(xx·重慶卷)已知直線l：xay10(aR)是圓C：x2y24x2y10的對稱軸過點(diǎn)A(4，a)作圓C的一條切線，切點(diǎn)為B，則|AB|()A2 B4 C6 D2答案：C解析：由于直線xay10是圓C：x2y24x2y10的對稱軸， 圓心C(2,1)在直線xay10上， 2a10， a1， A(4，1) |AC|236440.又r2， |AB|240436. |AB|6.3(xx·廣東卷)平行于直線2xy10且與圓x2y25相切的直線的方程是()A2xy50或2xy50B2xy0或2xy0C2xy50或2xy50D2xy0或2xy0答案：A解析： 所求直線與直線2xy10平行， 設(shè)所求的直線方程為2xym0. 所求直線與圓x2y25相切， ， m±5.即所求的直線方程為2xy50或2xy50.4已知過點(diǎn)P(2,2)的直線與圓(x1)2y25相切，且與直線axy10垂直，則a()A B1 C2 D.答案：C解析：因?yàn)辄c(diǎn)P(2,2)為圓(x1)2y25上的點(diǎn)，由圓的切線性質(zhì)可知，圓心(1,0)與點(diǎn)P(2,2)的連線與過點(diǎn)P(2,2)的切線垂直因?yàn)閳A心(1,0)與點(diǎn)P(2,2)的連線的斜率k2，故過點(diǎn)P(2,2)的切線斜率為，所以直線axy10的斜率為2，因此a2.5已知函數(shù)f(x)xsin x(xR)，且f(y22y3)f(x24x1)0，則當(dāng)y1時(shí)，的取值范圍是()A. B.C. D.答案：A解析：因?yàn)閒(x)xsin(x)f(x)，且f(x)1cos x0，所以函數(shù)為奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)，所以，由f(y22y3)f(x24x1)0得f(y22y3)f(x24x1)，y22y3x24x1.即x2y24x2y40，(x2)2(y1)21，其表示圓(x2)2(y1)21及其內(nèi)部表示滿足的點(diǎn)P與定點(diǎn)A(1,0)連線的斜率結(jié)合圖形分析可知，直線AC的斜率為最小，切線AB的斜率為tanBAxtan 2PAx最大二、填空題(每小題5分，共15分)6(xx·湖北卷)直線l1：yxa和l2：yxb將單位圓C：x2y21分成長度相等的四段弧，則a2b2_.答案：2解析：由題意得，直線l1截圓所得的劣弧長為，則圓心到直線l1的距離為，即a21，同理可得b21，則a2b22.7(xx·湖北卷)如圖，圓C與x軸相切于點(diǎn)T(1,0)，與y軸正半軸交于兩點(diǎn)A，B(B在A的上方)，且|AB|2.(1)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_；(2)過點(diǎn)A任作一條直線與圓O：x2y21相交于M，N兩點(diǎn)，下列三個(gè)結(jié)論：；2；2.其中正確結(jié)論的序號是_(寫出所有正確結(jié)論的序號)答案：(1)(x1)2(y)22(2)解析：(1)取AB的中點(diǎn)D，連接CD，則CDAB.由題意|AD|CD|1，故|AC|，即圓C的半徑為.又因?yàn)閳AC與x軸相切于點(diǎn)T(1,0)，所以圓心C的坐標(biāo)為(1，)，故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2(y)22.(2)在(x1)2(y)22中，令x0，得y±1，故A(0，1)，B(0，1)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，當(dāng)直線MN斜率不存在時(shí)，令M(0，1)，N(0,1)，則1，1. .當(dāng)直線MN斜率存在時(shí)，設(shè)直線MN的方程為ykx1，由得(1k2)x22(1)kx2(1)0，則x1x2，x1x2，kBMkNB2k2k0，所以kBMkNB，所以MBANBA，BA是MBN的角平分線由內(nèi)角平分線定理得，即.故恒成立當(dāng)k0時(shí)，可求得1，故1為定值所以(1)2，12，故都正確8直線axby1與圓x2y21相交于A，B兩點(diǎn)(其中a，b是實(shí)數(shù))，且AOB是直角三角形(O是坐標(biāo)原點(diǎn))，則點(diǎn)P(a，b)與點(diǎn)(0,1)之間距離的最小值為_答案：解析：根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示，過點(diǎn)O作OCAB于C，因?yàn)锳OB為等腰直角三角形，所以C為弦AB的中點(diǎn)，又|OA|OB|1，根據(jù)勾股定理得|AB|，所以|OC|AB|.所以圓心到直線的距離為，即2a2b22，即a2b210.所以2b，則點(diǎn)P(a，b)與點(diǎn)(0,1)之間距離d.設(shè)f(b)b22b2(b2)2，此函數(shù)為對稱軸為b2的開口向上的拋物線，所以當(dāng)b<2時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)因?yàn)閒()32，所以d的最小值為1.三、解答題(9題12分，10題、11題每題14分，共40分)9(xx·河南豫西五校聯(lián)考)已知M為圓C：x2y24x14y450上任意一點(diǎn)，且點(diǎn)Q(2,3)(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)若M(m，n)，求的最大值和最小值解：(1)由題意知，圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2(y7)28，圓心C的坐標(biāo)為(2,7)，半徑r2，又|QC|4>2，|MQ|max426，|MQ|min422.(2)因?yàn)楸硎局本€MQ的斜率，所以設(shè)直線MQ的方程為y3k(x2)，即kxy2k30.由題意知直線MQ與圓C有交點(diǎn)，所以2，解得2k2，所以的最大值為2，最小值為2.10.(xx·新課標(biāo)全國卷)已知點(diǎn)P(2,2)，圓C：x2y28y0，過點(diǎn)P的動直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)求M的軌跡方程；(2)當(dāng)|OP|OM|時(shí)，求l的方程及POM的面積解：(1)圓C的方程可化為x2(y4)216，所以圓心為C(0,4)，半徑為4.設(shè)M(x，y)，則(x，y4)，(2x,2y)由題設(shè)知·0，故x(2x)(y4)(2y)0，即(x1)2(y3)22.由于點(diǎn)P在圓C的內(nèi)部，所以M的軌跡方程是(x1)2(y3)22.(2)由(1)可知M的軌跡是以點(diǎn)N(1,3)為圓心，為半徑的圓由于|OP|OM|，故O在線段PM的垂直平分線上，又P在圓N上，從而ONPM.因?yàn)镺N的斜率為3，所以l的斜率為，故l的方程為yx.又|OM|OP|2，O到l的距離為，|PM|，所以POM的面積為.11(xx·廣東卷)已知過原點(diǎn)的動直線l與圓C1：x2y26x50相交于不同的兩點(diǎn)A，B.(1)求圓C1的圓心坐標(biāo)；(2)求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡C的方程；(3)是否存在實(shí)數(shù)k，使得直線L：yk(x4)與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由解：(1)把圓C1的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得(x3)2y24， 圓C1的圓心坐標(biāo)為C1(3,0)(2)設(shè)M(x，y)， A，B為過原點(diǎn)的直線l與圓C1的交點(diǎn)，且M為AB的中點(diǎn)， 由圓的性質(zhì)知：MC1MO， ·0.又 (3x，y)，(x，y)， 由向量的數(shù)量積公式得x23xy20.易知直線l的斜率存在， 設(shè)直線l的方程為ymx，當(dāng)直線l與圓C1相切時(shí)，d2，解得m±.把相切時(shí)直線l的方程代入圓C1的方程化簡得9x230x250，解得x.當(dāng)直線l經(jīng)過圓C1的圓心時(shí)，M的坐標(biāo)為(3,0)又 直線l與圓C1交于A，B兩點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)， <x3. 點(diǎn)M的軌跡C的方程為x23xy20，其中<x3，其軌跡為一段圓弧(3)由題意知直線L表示過定點(diǎn)(4,0)，斜率為k的直線，把直線L的方程代入軌跡C的方程x23xy20，其中<x3，化簡得(k21)x2(38k2)x16k20，其中<x3，記f(x)(k21)x2(38k2)x16k2，其中<x3.若直線L與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)，令f(x)0.當(dāng)0時(shí)，解得k2，即k±，此時(shí)方程可化為：25x2120x1440，即(5x12)20，解得x， k±滿足條件當(dāng)>0時(shí)，若x3是方程的解，則f(3)0k0另一根為x0<，故在區(qū)間上有且僅有一個(gè)根，滿足題意若x是方程的解，則f0k±另外一根為x，<3，故在區(qū)間上有且僅有一個(gè)根，滿足題意若x3和x均不是方程的解，則方程在區(qū)間上有且僅有一個(gè)根，只需f·f(3)<0<k<.故在區(qū)間上有且僅有一個(gè)根，滿足題意綜上所述，k的取值范圍是k或k±.