2022年高三數學12月月考試題 文（含解析）【試卷綜析】本試卷是高三文科試卷，以基礎知識和基本技能為載體，以能力測試為主導，在注重考查學科核心知識的同時，突出考查考綱要求的基本能力，重視學生科學素養(yǎng)的考查.知識考查注重基礎、注重常規(guī)、注重主干知識，兼顧覆蓋面.試題重點考查：不等式、函數的性質及圖象、三角函數的圖像與性質、解三角形、數列、平面向量、立體幾何、圓錐曲線、程序框圖、充分、必要條件、復數等；考查學生解決實際問題的綜合能力，是份較好的試卷.第卷【題文】一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的【題文】1已知是虛數單位，則= （ ） A B C D【知識點】復數的代數運算L4【答案】【解析】B 解析：因為，所以選B.【思路點撥】復數的代數運算是?？贾R點之一，熟練掌握復數的除法運算是本題解題的關鍵.【題文】2已知，則“”是“”的（ ） A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件【知識點】充分、必要條件A2【答案】【解析】A 解析：若x+y=1，當x,y異號或有一個為0時，顯然有，當x,y同號時，則x,y只能都為正數，此時1=x+y,得，所以對于滿足x+y=1的任意實數x,y都有，則充分性成立，若，不妨取x=4,y=0.001,此時x+y=1不成立，所以必要性不成立，綜上可知選A.【思路點撥】一般判斷充分、必要條件時，可先分清命題的條件與結論，若從條件能推出結論，則充分性滿足，若從結論能推出條件，則必要性滿足.【題文】3. 在區(qū)間上隨機取一個數，則事件：“”的概率為（ ）A B C D 【知識點】幾何概型K3【答案】【解析】C 解析：對于, ，由cosx0，得x,所以所求的概率為，則選C.【思路點撥】先判斷出是幾何概型，歸納為所求概率為長度之比，即可解答.【題文】4已知函數 ，若 是 的導函數，則函數 在原點附近的圖象大致是（ ）【知識點】導數的計算，函數的圖像B8 B11【答案】【解析】A 解析：因為，所以函數在R上單調遞增，則選A.【思路點撥】一般判斷函數的圖像，可結合函數的定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性及特殊位置的函數值或函數值的符號等進行判斷.【題文】5某幾何體是由直三棱柱與圓錐的組合體，其直觀圖和三視圖如圖所示，正視圖為正方形，其中俯視圖中橢圓的離心率為 （ ）A B C D （第5題）【知識點】三視圖 橢圓的性質G2 H5【答案】【解析】D 解析：設正視圖中正方形的邊長為2b，由三視圖可知，俯視圖中的矩形一邊長為2b，另一邊長為圓錐底面直徑，即為正視圖中的對角線長，計算得，所以,則選D.【思路點撥】由三視圖解答幾何問題，注意三視圖與原幾何體的長寬高的對應關系，求橢圓的離心率，抓住其定義尋求a,b,c關系即可解答.【題文】6在中，內角的對邊分別為且，則 的值為（ ）A B C D 【知識點】解三角形C8【答案】【解析】A 解析：由得,又A為三角形內角，所以A=120°,則，所以選A.【思路點撥】在解三角形中，若遇到邊角混合條件，通常先利用正弦定理或余弦定理轉化為單一的角的關系或單一的邊的關系，再進行解答.【題文】7設等比數列an的前n項和為Sn，若S10:S51:2，則 ( ) A. B. C. D. 【知識點】等比數列D3【答案】【解析】B 解析：因為S10:S51:2，所以,由等比數列的性質得成等比數列，所以,得,所以,則選B.【思路點撥】在等比數列中，若遇到等距的和時，可考慮利用等比數列的性質成等比數列進行解答.【題文】8已知x，y滿足則的取值范圍是 ( )A B C D【知識點】簡單的線性規(guī)劃E5【答案】【解析】C 解析：不等式組表示的平面區(qū)域如圖,因為，而為區(qū)域內的點與點(4，2)連線的斜率，顯然斜率的最小值為0，點(-3,-4)與點(4，2)連線的斜率最大為，所以的取值范圍為，則選C.【思路點撥】一般遇到由兩個變量滿足的不等式組求范圍問題，通常利用目標函數的幾何意義，利用數形結合進行解答.【題文】9已知橢圓C:，點為其長軸的6等分點，分別過這五點作斜率為的一組平行線，交橢圓C于，則直線這10條直線的斜率乘積為（ ）A B C D【知識點】橢圓的標準方程 橢圓的性質H5【答案】【解析】B 解析：由橢圓的性質可得，由橢圓的對稱性可得,同理可得,則直線這10條直線的斜率乘積為,所以選B.【思路點撥】抓住橢圓上的點與長軸端點的連線的斜率為定值是本題的關鍵.【題文】10. 用表示非空集合中的元素個數，定義若，設，則等于（ ）A1B4 C3D2【知識點】集合的運算A1【答案】【解析】B 解析：x2-ax-14=0對應的判別式=a2-4×（-14）=a2+560，n（A）=2，A*B=1，n（B）=1或n（B）=3由|x2+bx+xx|=xx，解得x2+bx+1=0或x2+bx+4027=0，若集合B是單元素集合，則方程有兩相等實根，無實數根，b=2或-2若集合B是三元素集合，則方程有兩不相等實根，有兩個相等且異于的實數根，即=b2-4×4027=0，且b±2，解得，綜上所述b=±2或，設S=b|A*B=1=，n（S）=4故選B【思路點撥】根據所給的定義，判斷兩個集合根的個數，由方程根的個數求b值.第卷【題文】二填空題（本大題5個小題，每題5分，共25分，請把答案填在答題卷上）【題文】11. 已知的值為_.【知識點】指數與對數的互化 對數的運算B6 B7【答案】【解析】3 解析：由得，所以.【思路點撥】由已知條件先把x,y化成同底的對數，再利用對數的運算法則進行計算.【題文】12若某程序框圖如圖所示，則該程序運行后輸出的值為（第12題）【知識點】程序框圖L1【答案】【解析】 解析：第一次執(zhí)行循環(huán)體得s=1,i=2; 第二次執(zhí)行循環(huán)體得s=,i=3; 第三次執(zhí)行循環(huán)體得s=,i=4; 第四次執(zhí)行循環(huán)體得s=,i=5; 第五次執(zhí)行循環(huán)體得s=,i=6; 第六次執(zhí)行循環(huán)體得s= 此時不滿足判斷框跳出循環(huán)，所以輸出的值為.【思路點撥】一般遇到循環(huán)結構的程序框圖問題，當運行次數較少時就能達到目的，可依次執(zhí)行循環(huán)體，直到跳出循環(huán)，若運行次數較多時，可結合數列知識進行解答.【題文】13已知函數的最大值為1， 則【知識點】三角函數的性質C3【答案】【解析】0或 解析：因為的最大值為1，所以，解得a=0或.【思路點撥】研究三角函數的性質，一般先化成一個角的三角函數再進行解答，本意注意應用asinx+bcosx的最值的結論進行作答.【題文】14過點作圓的弦，其中弦長為整數的共有 條?！局R點】圓的方程H3【答案】【解析】32 解析：由題意可知過點的最短的弦長為10，最長的弦長為26,所以共有弦長為整數有2+2×(26101)=32.【思路點撥】可先求出弦長的范圍，弦與點A與圓心連線垂直時弦長最短，弦過圓心時弦長為圓的直徑，此時長度最大，取得最值的兩個位置只有一條，中間的整數值都有兩條.15.已知為線段上一點，為直線外一點，為上一點，滿足，且，則的值為 【知識點】向量的數量積F3【答案】【解析】3 解析：，而，又，即，所以I在BAP的角平分線上，由此得I是ABP的內心，過I作IHAB于H，I為圓心，IH為半徑，作PAB的內切圓，如圖，分別切PA,PB于E、F，在直角三角形BIH中，所以,所以選B.【思路點撥】理解向量是與向量共線同向的單位向量即可確定I的位置，再利用向量的減法及數量積計算公式進行轉化求解.【題文】三解答題（本大題6個小題，共75分，請把答案填在答題卷上）【題文】16. （本小題滿分12分）組距頻率0.010.0775808590950.021000.040.06服務時間/小時OO某市規(guī)定，高中學生在校期間須參加不少于80小時的社區(qū)服務才合格某校隨機抽取20位學生參加社區(qū)服務的數據，按時間段（單位：小時）進行統(tǒng)計，其頻率分布直方圖如圖所示（）求抽取的20人中，參加社區(qū)服務時間不少于90小時的學生人數；（）從參加社區(qū)服務時間不少于90小時的學生中任意選取2人，求所選學生的參加社區(qū)服務時間在同一時間段內的概率【知識點】用樣本估計總體 古典概型I2 K2【答案】【解析】（）6人；（） 解析：（）由題意可知，參加社區(qū)服務在時間段的學生人數為（人），參加社區(qū)服務在時間段的學生人數為（人）所以參加社區(qū)服務時間不少于90小時的學生人數為 （人）（）設所選學生的服務時間在同一時間段內為事件由（）可知，參加社區(qū)服務在時間段的學生有4人，記為；參加社區(qū)服務在時間段的學生有2人，記為從這6人中任意選取2人有共15種情況事件包括共7種情況所以所選學生的服務時間在同一時間段內的概率【思路點撥】在頻率分布直方圖中，注意縱坐標是頻率/組距，在求概率時，一般通過列舉法尋求所求事件包含的基本事件的個數.【題文】17、（本小題滿分12分）已知函數。 （1）若，求函數的最大值和最小值，并寫出相應的x的值； （2）設的內角的對邊分別為，滿足且，求的值?！局R點】三角函數性質，解三角形C3 C8【答案】【解析】（1）時函數得最小值為；（2）a=1，b=2 解析：（1），因為，所以，則當時，函數得最大值為0，當時函數得最小值為；（2）因為f（C）=sin（2C-）-1=0，則sin（2C-）=1， 0C，02C2，2C-，2C-=，C=，sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a ，由余弦定理得c2=a2+b2-ab=3 ，由解得：a=1，b=2 【思路點撥】一般研究三角函數的性質，通常先利用公式把函數化成一個角的三角函數再進行解答，在解三角形時，注意利用正弦定理和余弦定理進行邊角的轉化和求值.【題文】18（本題滿分12分）如圖，在四棱錐中，四邊形是正方形，分別為的中點.（）求證:平面平面;（）若，求三棱錐的體積.（第18題）【知識點】平行關系 棱錐的體積G4 G7【答案】【解析】（）略；（） 解析： （）證明：因為分別為中點,所以,又因為是正方形,所以,所以平面.因為分別為中點,所以,所以平面.所以平面平面. （）.【思路點撥】證明面面平行通常利用其判定定理進行證明，求棱錐體積可結合底面積與高的關系轉化為與已知條件相關的棱錐的體積進行求值.【題文】19（本題滿分12分）已知數列的前項和為，且（）求； （）設，求數列的前項和【知識點】數列的通項公式，數列求和D1 D4【答案】【解析】（）；（） 解析：（）時, 所以 （） .【思路點撥】一般遇到數列求和問題，通常先求出數列的通項公式，再結合通項公式特征確定求和思路.【題文】20（本題滿分13分）已知橢圓：的左焦點，離心率為。（）求橢圓的標準方程；（）設，過的直線交橢圓于兩點，求的值。 【知識點】橢圓，直線與橢圓位置關系H5 H8【答案】【解析】（）；（） 解析：（）,由得,橢圓方程為（）若直線斜率不存在,則=，當直線l斜率存在時設直線,由得 所以 【思路點撥】在圓錐曲線與向量的綜合應用中，出現向量關系，一般把向量關系轉化為坐標關系，再通過聯立方程，利用韋達定理轉化為系數關系進行解答. 【題文】21. （本題滿分14分）已知為正數，記為“正數的對數平均數”。求函數的單調區(qū)間；，比較的“算術平均數”，“幾何平均數”和“對數平均數”的大小并證明。【知識點】導數的應用 不等式的證明方法B12 E7【答案】【解析】(1) (1,+ )；(2) a=b0時，當ab時，有. 解析：(1)由題意得 ，設，所以h(x)單調遞增，則h(x)h(1)=0,所以，所以函數f(x)在所給區(qū)間上單調遞增，遞增區(qū)間為(1,+ )；(2) 當a=b0時，當ab時，有，證明如下：，則G(1)=0,所以，又， ，令，所以H(t) H(1)=0，所以，綜上得當a=b0時，當ab時，有.【思路點撥】求函數的單調區(qū)間就是求導函數大于0及小于0的解集對應的區(qū)間，證明不等式可利用比較法，同時借助所證明的函數的單調性構建函數進行證明.