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1、2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 3.3平面向量及其綜合應(yīng)用專題能力訓(xùn)練
一、選擇題(本大題共7小題,每小題5分,共35分)
1.(xx四川,文2)設(shè)向量a=(2,4)與向量b=(x,6)共線,則實(shí)數(shù)x=( )
A.2 B.3 C.4 D.6
2.(xx浙江寧波鄞州5月模擬,文2)已知點(diǎn)A(-1,1),B(1,2),C(-3,2),則向量方向上的投影為( )
A.- B. C.- D.
3.(xx浙江溫州三適,文6)已知向量|a|=|b|=|a-b|=1,則|2b-a|=( )
A.2 B. C.3 D.2
4.(xx浙江寧波期末考試,文8)
2、已知a,b滿足|a|=5,|b|≤1,且|a-4b|≤,則a·b的最小值為( )
A. B.-5
C. D.-
5.已知P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),若,則△PBC與△ABC的面積的比為( )
A. B. C. D.
6.已知a,b,c滿足|a|=|b|=,a·b=,|c-a-b|=1,則|c|的最大值為( )
A.4 B.+1 C.3+ D.2
7.(xx浙江湖州第三次教學(xué)質(zhì)量調(diào)測,文8)已知向量a⊥b,|a-b|=2,定義:cλ=λa+(1-λ)b,其中0≤λ≤1.若cλ·,則|cλ|的最大值為( )
A. B. C.1 D.
二、填空題(本大題共4小題,每小題5分
3、,共20分)
8.(xx浙江嘉興教學(xué)測試(二),文10)若向量a與b滿足|a|=,|b|=2,(a-b)⊥a,則向量a與b的夾角等于 ;|a+b|= .?
9.(xx安徽,文15)△ABC是邊長為2的等邊三角形,已知向量a,b滿足=2a,=2a+b,則下列結(jié)論中正確的是 .(寫出所有正確結(jié)論的編號(hào))?
①a為單位向量;②b為單位向量;③a⊥b;④b∥;⑤(4a+b)⊥.
10.(xx浙江寧波鄞州5月模擬,文15)在△ABC中,AC=3,∠A=,點(diǎn)D滿足=2,且AD=,則BC的長為 .?
11.(xx浙江第一次五校聯(lián)考,文15)設(shè)a1,a2,…,an,…
4、是按先后順序排列的一列向量,若a1=(-2 014,13),且an-an-1=(1,1),則其中模最小的一個(gè)向量的序號(hào)n= .?
三、解答題(本大題共3小題,共45分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)
12.(本小題滿分14分)如圖,已知在△OCB中,點(diǎn)C是以A為中點(diǎn)的點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn),D是將分成2∶1的一個(gè)內(nèi)分點(diǎn),DC和OA交于點(diǎn)E,設(shè)=a,=b.
(1)用a和b表示向量;
(2)若=λ,求實(shí)數(shù)λ的值.
13.(本小題滿分15分)已知向量m=(1,3cos α),n=(1,4tan α),α∈,且m·n=5.
(1
5、)求|m+n|;
(2)設(shè)向量m與n的夾角為β,求tan(α+β)的值.
14.(本小題滿分16分)(xx陜西,文17)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.向量m=(a,b)與n=(cos A,sin B)平行.
(1)求A;
(2)若a=,b=2,求△ABC的面積.
參考答案
專題能力訓(xùn)練8 平面向量及其綜合應(yīng)用
1.B 解析:由a=(2,4),b=(x,6)共線,可得4x=12,即x=3.
2.C 解析:由題意可知=(2,1),=(-2,1),所以向量方向上的投影為=-.故選C.
3.B
6、 解析:因?yàn)閨a|=|b|=|a-b|=1,
所以|a-b|2=|a|2-2a·b+|b|2=1.所以a·b=.所以|2b-a|2=4|b|2-4a·b+|a|2=4-4×+1=3.所以|2b-a|=.故選B.
4.A 解析:因?yàn)閨a-4b|≤,所以|a|-4|b|≤,
即|b|≥.所以|b|2≥.
因?yàn)閨a-4b|2=(a-4b)2=a2-8a·b+16b2=|a|2-8a·b+16|b|2=25-8a·b+16|b|2≤21,所以a·b≥+2|b|2≥.
所以a·b的最小值是.故選A.
5.
A 解析:如圖,以B為原點(diǎn),BC所在直線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系,
設(shè)A(x
7、A,yA),P(xP,yP),C(xC,0),則,
即(xP-xA,yP-yA)=(xC,0)-(xA,yA),所以xP-xA=xC-xA,yP-yA=0-yA,yP=yA.故.
6.A 解析:∵|a|=|b|=,a·b=,
∴a與b的夾角為60°.
設(shè)=a,=b,=c,建立如圖所示的坐標(biāo)系,
則a=(,0),b=.
設(shè)c=(x,y),則c-a-b=.
又|c-a-b|=1,∴=1,
即點(diǎn)C的軌跡是以為圓心,1為半徑的圓.
∵|c|=表示點(diǎn)(x,y)到原點(diǎn)(0,0)的距離,
∴|c|max=+1=4.故選A.
7.C 解析:由題意可設(shè)a=(a,0),b=(0,b),
8、
則由|a-b|=2可得a2+b2=4,由cλ·可得a2+b2=?λa2+(1-λ)b2=1.
又|cλ|2=λ2a2+(1-λ)2b2,
且λa2+(1-λ)b2-λ2a2-(1-λ)2b2=λ(1-λ)·(a2+b2)≥0,所以|cλ|2=λ2a2+(1-λ)2b2≤1.故選C.
8. 解析:∵(a-b)⊥a,∴(a-b)·a=0.
∴a2=a·b=2.∴cos=.
∴=,|a+b|=.
9.①④⑤ 解析:在正三角形ABC中,=2a,||=2,所以|a|=1,①正確;由=2a+b,得=b,因此④正確,②不正確;由的夾角為120°,知a與b的夾角為120°,所
9、以③不正確;因?yàn)?b,所以(4a+b)·=4a·b+b2=4×1×2×+22=0,所以(4a+b)⊥.故⑤正確.
10.3 解析:因?yàn)?=,
所以|2+|·||cos 45°+|2,即13=|2+|·3··32,解得AB=3.又由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos 45°=9,所以BC=3.
11.1 001或1 002 解析:設(shè)an=(xn,yn),
∵a1=(-2 014,13),且an-an-1=(1,1),
∴數(shù)列{xn}是首項(xiàng)為-2 014,公差為1的等差數(shù)列,數(shù)列{yn}是首項(xiàng)為13,公差為1的等差數(shù)列.
∴xn=n-2 015,yn=n+12.
10、∴|an|2=(n-2 015)2+(n+12)2=2n2-4 006n+2 0152+122.
∴可知當(dāng)n=1 001或1 002時(shí),|an|取到最小值.
12.解:(1)由題意知,A是BC的中點(diǎn),且,
由平行四邊形法則,得=2.
故=2=2a-b,
=(2a-b)-b=2a-b.
(2)如題圖,.
又∵=(2a-b)-λa=(2-λ)a-b,=2a-b,∴,解得λ=.
13.解:(1)由題意知m·n=1+12cos αtan α=1+12sin α=5,
即sin α=.因?yàn)棣痢?
所以cos α=,tan α=.
所以m=(1,2),n=(1,),m+n=(2,3)
11、.
所以|m+n|=.
(2)由(1)知m=(1,2),n=(1,),
則cos β=,
sin β=,
所以tan β=.
所以tan(α+β)=.
14.解:(1)因?yàn)閙∥n,所以asin B-bcos A=0.
由正弦定理,得sin Asin B-sin Bcos A=0.
又sin B≠0,從而tan A=.
由于00,所以c=3.
故△ABC的面積為bcsin A=.
解法二:由正弦定理,得,從而sin B=.又由a>b,知A>B,所以cos B=.
故sin C=sin(A+B)=sin
=sin Bcos+cos Bsin.
所以△ABC的面積為absin C=.
2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 3.3平面向量及其綜合應(yīng)用專題能力訓(xùn)練
