2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 9.7拋物線試題 理 蘇教版一、填空題1拋物線yax2的準線方程是y2，則a_.解析拋物線的標準方程為x2y，由條件得2，a.答案2直線yx3與拋物線y24x交于A、B兩點，過A、B兩點向拋物線的準線作垂線，垂足分別為P、Q，則梯形APQB的面積為_解析 由題不妨設(shè)A在第一象限，聯(lián)立yx3和y24x可得A(9,6)，B(1，2)，而拋物線的準線方程是x1，所以AP10，QB2，PQ8，故S梯形APQB(APQB)·PQ48.答案 483直線4kx4yk0與拋物線y2x交于A、B兩點，若|AB|4，則弦AB的中點到直線x0的距離等于_解析 直線4kx4yk0，即yk(x)，即直線4kx4yk0過拋物線y2x的焦點.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|x1x24，故x1x2，則弦AB的中點的橫坐標是，所以弦AB的中點到直線x0的距離是.答案 4已知拋物線y22px(p>0)，過點E(m,0)(m0)的直線交拋物線于點M、N，交y軸于點P，若，則_.解析 由題意知，為定值，因此可以取E，此時將直線MN化為特殊直線yx，此時點P，設(shè)點M(x1，y1)、N(x2，y2)，則由得x23px0，所以x1x23p，x1x2.由，得x1，x2，則，所以1.答案 15已知拋物線C：y24x的焦點為F，準線為l，過拋物線C上的點A作準線l的垂線，垂足為M，若AMF與AOF(其中O為坐標原點)的面積之比為31，則點A的坐標為_解析 如圖所示，由題意，可得OF1，由拋物線的定義，得AFAM，AMF與AOF(其中O為坐標原點)的面積之比為31，3，AFAM3，設(shè)A，13，解得y0±2.2，點A的坐標是(2，±2)答案 (2，±2)6設(shè)F為拋物線y24x的焦點，A，B，C為該拋物線上三點，若0，則|_.解析 設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)，又F(1,0)由0知(x11)(x21)(x31)0，即x1x2x33，|x1x2x3p6.答案 67設(shè)拋物線y22px(p>0)的焦點為F，準線為l，點A(0,2)，連接FA交拋物線于點B，過B作l的垂線，垂足為M，若AMMF，則p的值為_解析 由拋物線定義可知BMBF，又由平面幾何知識得BMBA，所以點B為AF的中點，又B在拋物線上，所以122p×，即p22，又p>0，故p.答案 8. 如圖，過拋物線y22px(p>0)的焦點F的直線l交拋物線于點A、B，交其準線于點C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，則此拋物線的方程為_解析作AM，BN垂直于準線，準線與x軸交點為E，設(shè)|BF|t，則|BC|2t.則可得，即，解得t1.又，即，P.拋物線方程為y23x.答案y23x9已知拋物線y22px(p0)的焦點為F，F(xiàn)關(guān)于原點的對稱點為P，過F作x軸的垂線交拋物線于M、N兩點，有下列四個命題：PMN必為直角三角形；PMN不一定為直角三角形；直線PM必與拋物線相切；直線PM不一定與拋物線相切其中正確的命題是_(填序號)解析因為PFMFNF，故FPMFMP，F(xiàn)PNFNP，從而可知MPN90°，故正確，錯誤：令直線PM的方程為yx，代入拋物線方程可得y22pyp20，0，所以直線PM與拋物線相切，故正確，錯誤答案10已知拋物線y28x的焦點為F，拋物線的準線與x軸的交點為K，點A在拋物線上且AKAF，則AFK的面積為_解析如圖，過點A作ABl于點B(l為準線)，則由拋物線的定義，得ABAF.因為AKAF，所以AKAB，所以AKFAKB45°，設(shè)A(2t2,4t)，由K(2,0)，得1，得t1，所以SAKF×4×48.答案8二、解答題11如圖，已知中心在原點O、焦點在x軸上的橢圓T過點M(2,1)，離心率為；拋物線C頂點在原點，對稱軸為x軸且過點M.(1)當直線l0經(jīng)過橢圓T的左焦點且平行于OM時，求直線l0的方程；(2)若斜率為的直線l不過點M，與拋物線C交于A、B兩個不同的點，求證：直線MA，MB與x軸總圍成等腰三角形解(1)由e，可設(shè)橢圓T方程為1，將M(2,1)代入可得b22，橢圓T的方程為1.因此左焦點為(，0)，斜率kl0kOM，直線l0的方程為y(x)，即yx.(2)拋物線C的方程為y2x.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線MA，MB的斜率分別為k1，k2，則k1，k2，kAB，y1y22.k1k20，直線MA，MB與x軸總圍成等腰三角形12. 如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線的頂點在原點，焦點為F(1,0)，過拋物線在x軸上方的不同兩點A、B作拋物線的切線AC、BD，與x軸分別交于C、D兩點，且AC與BD交于點M，直線AD與BC交于點N.(1)求拋物線的標準方程；(2)求證：MNx軸；(3)若直線MN與x軸的交點恰為F(1,0)，求證：直線AB過定點解(1)設(shè)拋物線的標準方程為y22px(p>0)，由題意，得1，即p2.拋物線的標準方程為y24x.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，且y1>0，y2>0.由y24x(y>0)，得y2，y.切線AC的方程為yy1(xx1)，即yy1(xx1)整理，得yy12(xx1)，且C點坐標為(x1,0)同理得切線BD的方程為yy22(xx2)，且D點坐標為(x2,0)由消去y，得xM.又直線AD的方程為y(xx2)，直線BC的方程為y(xx1)由消去y，得xN.xMxN，即MNx軸(3)由題意，設(shè)M(1，y0)，代入(2)中的，得y0y12(1x1)，y0y22(1x2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)都滿足方程y0y2(1x)直線AB的方程為y0y2(1x)故直線AB過定點(1,0).13設(shè)M、N為拋物線C：yx2上的兩個動點，過M、N分別作拋物線C的切線l1、l2，與x軸分別交于A、B兩點，且l1與l2相交于點P，若AB1.(1)求點P的軌跡方程；(2)求證：MNP的面積為一個定值，并求出這個定值解 (1)設(shè)M(m，m2)，N(n，n2)，則依題意知，切線l1，l2的方程分別為y2mxm2，y2xn2，則A，B，設(shè)P(x，y)，由，得，因為AB1，所以|nm|2，即(mn)24mn4，將代入上式得：yx21，點P的軌跡方程為yx21.(2)證明：設(shè)直線MN的方程為ykxb(b>0)聯(lián)立方程，消去y得x2kxb0，所以mnk，mnb，點P到直線MN的距離d，MN|mn|，SMNPd·MN·|mn|·(mn)2·|mn|2.即MNP的面積為定值2.14拋物線y24x的焦點為F，A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1>x2，y1>0，y2<0)在拋物線上，且存在實數(shù)，使0，|.(1)求直線AB的方程；(2)求AOB的外接圓的方程解 (1)拋物線y24x的準線方程為x1.0，A，B，F(xiàn)三點共線由拋物線的定義，得|x1x22.設(shè)直線AB：yk(x1)，而k，x1>x2，y1>0，y2<0，k>0.由得k2x22(k22)xk20.|x1x222.k2.從而k，故直線AB的方程為y(x1)，即4x3y40.(2)由求得A(4,4)，B.設(shè)AOB的外接圓方程為x2y2DxEyF0，則解得故AOB的外接圓的方程為x2y2xy0.