第一章 集合與常用邏輯用語(yǔ)第一節(jié)集_合1集合的相關(guān)概念(1)集合元素的三個(gè)特性：確定性、無(wú)序性、互異性(2)元素與集合的兩種關(guān)系：屬于，記為；不屬于，記為.(3)集合的三種表示方法：列舉法、描述法、圖示法(4)五個(gè)特定的集合：集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號(hào)或N2集合間的基本關(guān)系表示關(guān)系文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言記法基本關(guān)系子集集合A的元素都是集合B的元素xAxBAB或BA真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一個(gè)元素不屬于AAB，且x0B，x0AAB或BA相等集合A，B的元素完全相同AB，BAAB空集不含任何元素的集合空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集x，x，A，B(B)3集合的基本運(yùn)算集合的并集集合的交集集合的補(bǔ)集符號(hào)表示ABAB若全集為U，則集合A的補(bǔ)集為UA圖形表示意義x|xA，或xBx|xA，且xBx|xU，且xA4集合的運(yùn)算性質(zhì)(1)并集的性質(zhì)：AA；AAA；ABBA；ABABA.(2)交集的性質(zhì)：A；AAA；ABBA；ABAAB.(3)補(bǔ)集的性質(zhì)：A(UA)；A(UA)；U(UA)；U(AB)(UA)(UB)；U(AB)(UA)(UB)1判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“×”)(1)若x2,10,1，則x0,1.()(2)x|x1t|t1()(3)x|yx21y|yx21(x，y)|yx21()(4)任何一個(gè)集合都至少有兩個(gè)子集()(5)若AB，則AB且AB.()(6)對(duì)于任意兩個(gè)集合A，B，關(guān)系(AB)(AB)恒成立()(7)若ABAC，則BC.()答案：(1)×(2)(3)×(4)×(5)(6)(7)×2(2017·全國(guó)卷)設(shè)集合A1,2,3，B2,3,4，則AB()A1,2,3,4B1,2,3C2,3,4 D1,3,4解析：選A由題意得AB1,2,3,43(2017·北京高考)若集合Ax|2<x<1，Bx|x<1或x>3，則AB()Ax|2<x<1 Bx|2<x<3Cx|1<x<1 Dx|1<x<3解析：選A由集合交集的定義可得ABx|2<x<14(2017·北京高考)已知全集UR，集合Ax|x2或x2，則UA()A(2,2) B(，2)(2，)C2,2 D(，22，)解析：選C由已知可得，集合A的補(bǔ)集UA2,25已知集合A0,1，x25x，若4A，則實(shí)數(shù)x的值為_(kāi)解析：4A，x25x4，x1或x4.答案：1或46已知集合P2,3,4,5,6，Q3,4,5,7，若MPQ，則M的子集個(gè)數(shù)為_(kāi)解析：由題意可知，M3,4,5，故M的子集個(gè)數(shù)為238.答案：8考什么·怎么考集合元素的三大特性是理解集合概念的關(guān)鍵，一般涉及元素與集合之間的關(guān)系及根據(jù)集合中元素的特性(特別是集合中元素的互異性)，來(lái)確定集合元素的個(gè)數(shù)或求參數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.1(2017·全國(guó)卷)已知集合A(x，y)|x2y21，B(x，y)|yx，則AB中元素的個(gè)數(shù)為()A3B2C1 D0解析：選B因?yàn)锳表示圓x2y21上的點(diǎn)的集合，B表示直線(xiàn)yx上的點(diǎn)的集合，直線(xiàn)yx與圓x2y21有兩個(gè)交點(diǎn)，所以AB中元素的個(gè)數(shù)為2.2(2018·南昌模擬)已知集合M1,2，N3,4,5，Px|xab，aM，bN，則集合P的元素個(gè)數(shù)為()A3 B4C5 D6解析：選B因?yàn)閍M，bN，所以a1或2，b3或4或5.當(dāng)a1時(shí)，若b3，則x4；若b4，則x5；若b5，則x6.同理，當(dāng)a2時(shí)，若b3，則x5；若b4，則x6；若b5，則x7，由集合中元素的特性知P4,5,6,7，則P中的元素共有4個(gè)3若集合AxR|ax23x20中只有一個(gè)元素，則a等于()A. B.C0 D0或解析：選D若集合A中只有一個(gè)元素，則方程ax23x20只有一個(gè)實(shí)根或有兩個(gè)相等實(shí)根當(dāng)a0時(shí)，x，符合題意當(dāng)a0時(shí)，由(3)28a0，得a，所以a的值為0或.4設(shè)a，bR，集合1，ab，a，則ba()A1 B1C2 D2解析：選C因?yàn)?，ab，a，所以a0，ab0，則1，所以a1，b1.所以ba2.5已知集合Am2,2m2m，若3A，則m的值為_(kāi)解析：由題意得m23或2m2m3，則m1或m，當(dāng)m1時(shí)，m23且2m2m3，根據(jù)集合元素的互異性可知不滿(mǎn)足題意；當(dāng)m時(shí)，m2，而2m2m3，故m.答案：怎樣快解·準(zhǔn)解1與集合中的元素有關(guān)的解題策略(1)確定集合中的代表元素是什么，即集合是數(shù)集還是點(diǎn)集(2)看這些元素滿(mǎn)足什么限制條件(3)根據(jù)限制條件列式求參數(shù)的值或確定集合中元素的個(gè)數(shù)，但要注意檢驗(yàn)集合是否滿(mǎn)足元素的互異性2常見(jiàn)易錯(cuò)探因第2題，第5題易忽視集合中元素的互異性而導(dǎo)致錯(cuò)誤；第3題集合A中只有一個(gè)元素，要分a0與a0兩種情況進(jìn)行討論，此題易忽視a0的情形集合間的關(guān)系有相等、子集(包含真子集)等，其中子集是高考考查重點(diǎn)，要能準(zhǔn)確判定一個(gè)具體集合是否是另一個(gè)具體集合的子集多以選擇題形式出現(xiàn)，屬于基礎(chǔ)題(一)直接考兩集合間基本關(guān)系的判斷1已知集合Ax|x23x20，xR，Bx|0<x<5，xN，則()ABABABCAB DBA解析：選C由x23x20得x1或x2，A1,2由題意知B1,2,3,4，比較A，B中的元素可知AB，故選C.2(2018·煙臺(tái)調(diào)研)已知集合M，集合N，則()AMN BMNCNM DMNM解析：選B由題意可知，M，N，所以MN，故選B.3(2018·云南第一次檢測(cè))設(shè)集合Ax|x2x2<0，Bx|2x5>0，則集合A與B的關(guān)系是()ABA BBACBA DAB解析：選A因?yàn)锳x|x2x2<0x|x>1或x<2，Bx|2x5>0.在數(shù)軸上標(biāo)出集合A與集合B，如圖所示，可知，BA.題型技法判斷集合間關(guān)系的3種方法列舉法根據(jù)題中限定條件把集合元素表示出來(lái)，然后比較集合元素的異同，從而找出集合之間的關(guān)系(如第1題)結(jié)構(gòu)法從元素的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)入手，結(jié)合通分、化簡(jiǎn)、變形等技巧，從元素結(jié)構(gòu)上找差異進(jìn)行判斷(如第2題)數(shù)軸法在同一個(gè)數(shù)軸上表示出兩個(gè)集合，比較端點(diǎn)之間的大小關(guān)系，從而確定集合與集合之間的關(guān)系(如第3題)(二)遷移考利用集合間關(guān)系求參數(shù)4(2018·云南師大附中模擬)集合Ax|x2a0，Bx|x<2，若AB，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(，4 B(，4)C0,4 D(0,4)解析：選B集合A就是不等式x2a0，即x2a的解集當(dāng)a<0時(shí)，不等式無(wú)解，故A.此時(shí)顯然滿(mǎn)足AB.當(dāng)a0時(shí)，不等式為x20，解得x0，所以A0顯然0x|x<2，即滿(mǎn)足AB.當(dāng)a>0時(shí)，解不等式x2a，得x.所以A， 由AB可得，<2，解得0<a<4.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(，0)0(0,4)(，4)故選B.5已知aR，bR，若a，ln(b1)，1a2，ab,0，則a2 018b2 018_.解析：由已知得a0，ln(b1)0，所以b0，于是a21，即a1或a1，又根據(jù)集合中元素的互異性可知a1應(yīng)舍去，因此a1，故a2 018b2 0181.答案：16已知集合Ax|1x<5，Bx|a<xa3，若B(AB)，則a的取值范圍為_(kāi)解析：因?yàn)锽(AB)，所以BA.當(dāng)B時(shí)，滿(mǎn)足BA，此時(shí)aa3，即a；當(dāng)B時(shí)，要使BA，則解得<a1.由可知，a的取值范圍為(，1答案：(，1題型技法利用集合間關(guān)系求解參數(shù)問(wèn)題的策略化簡(jiǎn)要分類(lèi)若參數(shù)在元素的性質(zhì)特征之中，多以一次不等式或二次不等式的形式出現(xiàn)，此時(shí)要對(duì)其進(jìn)行合理分類(lèi)，分類(lèi)的主要依據(jù)就是參數(shù)對(duì)該不等式的對(duì)應(yīng)方程的解的影響分類(lèi)的主要層次為：最高次冪系數(shù)是否為0；方程是否有解；解之間的大小關(guān)系(如第4題)關(guān)系要分類(lèi)已知兩個(gè)集合之間的關(guān)系求參數(shù)的取值，要注意對(duì)集合是否為空集進(jìn)行分類(lèi)討論，因?yàn)槭侨我庖粋€(gè)集合的子集(如第6題)“端點(diǎn)”要取舍利用集合之間的子集關(guān)系確定參數(shù)所滿(mǎn)足的條件，實(shí)際上就是比較兩個(gè)區(qū)間端點(diǎn)值的大小關(guān)系，所以集合對(duì)應(yīng)區(qū)間的端點(diǎn)的取舍對(duì)兩個(gè)集合之間的關(guān)系有制約作用，這也是區(qū)分子集與真子集的關(guān)鍵如已知A(1,3，Ba，b(a<b)，若BA，則若AB，則集合的基本運(yùn)算是歷年高考的熱點(diǎn).高考中主要考查求集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算，常與解不等式、求函數(shù)定義域和值域等知識(shí)相結(jié)合，考查題型主要是選擇題，偶爾也出現(xiàn)填空題，屬于基礎(chǔ)題.典題領(lǐng)悟1已知集合Ax|x26x50，Bx|ylog2(x2)，則AB()A(1,2)B1,2)C(2,5 D2,5解析：選C由x26x50的解集為x|1x5，得A1,5由x2>0，解得x>2，故B(2，)把兩個(gè)集合A，B在數(shù)軸上表示出來(lái)，如圖，可知AB(2,52(2018·湖南湘潭模擬)已知全集UR，集合Mx|x|<1，Ny|y2x，xR，則集合U(MN)()A(，1 B(1,2)C(，12，) D2，)解析：選A解|x|<1，得1<x<1，所以M(1,1)集合N中的代表元素為y，所以該集合是函數(shù)y2x，xR的值域，即N(0，)從而MN(1，)因?yàn)閁R，所以U(MN)(，1，故選A.3.已知全集UR，集合Ax|x23x4>0，Bx|2x2，則如圖所示陰影部分所表示的集合為()Ax|2x<4Bx|x2或x4Cx|2x1 Dx|1x2解析：選D依題意得Ax|x<1或x>4，因此RAx|1x4，題中的陰影部分所表示的集合為(RA)Bx|1x2，選D.解題師說(shuō)1掌握“4種技巧”(1)先“簡(jiǎn)”后“算”：進(jìn)行集合的基本運(yùn)算之前要先對(duì)其進(jìn)行化簡(jiǎn)，化簡(jiǎn)時(shí)要準(zhǔn)確把握元素的性質(zhì)特征，區(qū)分?jǐn)?shù)集與點(diǎn)集等如求集合P的補(bǔ)集，要先進(jìn)行化簡(jiǎn)，若直接否定集合P中元素的性質(zhì)特征，就會(huì)誤以為RP，導(dǎo)致漏解(2)遵“規(guī)”守“矩”：定義是進(jìn)行集合基本運(yùn)算的依據(jù)，交集的運(yùn)算要抓住“公共元素”，補(bǔ)集的運(yùn)算要關(guān)注“你有我無(wú)”的元素(3)活“性”減“量”：靈活利用交集與并集以及補(bǔ)集的運(yùn)算性質(zhì)，特別是摩根定律，即U(MN)(UM)(UN)，U(MN)(UM)(UN)等簡(jiǎn)化運(yùn)算，減少運(yùn)算量(4)借“形”助“數(shù)”：在進(jìn)行集合的運(yùn)算時(shí)要盡可能地借助Venn圖和數(shù)軸使抽象問(wèn)題直觀(guān)化，用數(shù)軸表示時(shí)要注意端點(diǎn)值的取舍(如典題領(lǐng)悟第1題)2謹(jǐn)防“2種失誤”(1)進(jìn)行集合基本運(yùn)算時(shí)要注意對(duì)應(yīng)不等式端點(diǎn)值的處理，尤其是求解集合補(bǔ)集的運(yùn)算，一定要注意端點(diǎn)值的取舍(如典題領(lǐng)悟第2題)(2)求集合的補(bǔ)集時(shí)，既要注意全集是什么，又要注意求補(bǔ)集的步驟，一般先求出原來(lái)的集合，然后求其補(bǔ)集，否則容易漏解(如典題領(lǐng)悟第3題、沖關(guān)演練第3題)沖關(guān)演練1(2017·天津高考)設(shè)集合A1,2,6，B2,4，CxR|1x5，則(AB)C()A2 B1,2,4C1,2,4,6 DxR|1x5解析：選BAB1,2,4,6，又CxR|1x5，則(AB)C1,2,42(2018·合肥質(zhì)量檢測(cè))已知集合A1，)，B，若AB，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A1，) B.C. D(1，)解析：選A因?yàn)锳B，所以解得a1.3(2018·皖北協(xié)作區(qū)聯(lián)考)已知集合Ay|y，Bx|ylg(x2x2)，則R(AB)()A. B(，0)C. D(，0解析：選D因?yàn)锳y|y0，)，Bx|ylg(x2x2)，所以AB，所以R(AB)(，0.以集合為載體的新定義問(wèn)題，是高考命制創(chuàng)新型試題的一個(gè)熱點(diǎn)，常見(jiàn)的命題形式有新概念、新性質(zhì)、新法則等，一般以選擇題或填空題形式出現(xiàn)，難度中等或偏上.典題領(lǐng)悟1設(shè)集合A1,0,1，集合B1,1,2,3，定義A#B，則A#B中元素的個(gè)數(shù)是()A5B7C10 D15解析：選B因?yàn)閤A，所以x可取1,0,1；因?yàn)閥B，所以y可取1,1,2,3.則z的結(jié)果如下表所示：y x112311100000111故A#B中元素有1，0，1，共7個(gè)，故選B.2已知集合M(x，y)|yf(x)，若對(duì)于任意實(shí)數(shù)對(duì)(x1，y1)M，都存在(x2，y2)M，使得x1x2y1y20成立，則稱(chēng)集合M是“垂直對(duì)點(diǎn)集”給出下列四個(gè)集合：M；M(x，y)|ylog2x；M(x，y)|yex2；M(x，y)|ysin x1其中是“垂直對(duì)點(diǎn)集”的序號(hào)是()A BC D解析：選C記A(x1，y1)，B(x2，y2)，則由x1x2y1y20得OAOB.對(duì)于，對(duì)任意AM，不存在BM，使得OAOB.對(duì)于，當(dāng)A為點(diǎn)(1,0)時(shí)，不存在BM滿(mǎn)足題意對(duì)于，對(duì)任意AM，過(guò)原點(diǎn)O可作直線(xiàn)OBOA，它們都與函數(shù)yex2及ysin x1的圖象相交，即滿(mǎn)足題意，故選C.3設(shè)集合A1,0,1，集合B0,1,2,3，定義A*B(x，y)|xAB，yAB，則A*B中元素的個(gè)數(shù)是()A7 B10C25 D52解析：選B因?yàn)锳1,0,1，B0,1,2,3，所以AB0,1，AB1,0,1,2,3由xAB，可知x可取0,1；由yAB，可知y可取1,0,1,2,3.所以元素(x，y)的所有結(jié)果如下表所示：yx101230(0，1)(0,0)(0,1)(0,2)(0,3)1(1，1)(1,0)(1,1)(1,2)(1,3)所以A*B中的元素共有10個(gè)解題師說(shuō)與集合相關(guān)的新定義問(wèn)題的解題思路(1)緊扣“新”定義：分析新定義的特點(diǎn)，把新定義所敘述的問(wèn)題的本質(zhì)弄清楚，并能夠應(yīng)用到具體的解題過(guò)程之中，這是破解新定義型集合問(wèn)題的關(guān)鍵所在(2)把握“新”性質(zhì)：集合的性質(zhì)(概念、元素的性質(zhì)、運(yùn)算性質(zhì)等)是破解新定義型集合問(wèn)題的基礎(chǔ)，也是突破口，在解題時(shí)要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素，在關(guān)鍵之處用好集合的性質(zhì)(3)遵守“新”法則：準(zhǔn)確把握新定義的運(yùn)算法則，將其轉(zhuǎn)化為集合的交集、并集與補(bǔ)集的運(yùn)算即可沖關(guān)演練1定義集合的商集運(yùn)算為，已知集合A2,4,6，B，則集合B中的元素個(gè)數(shù)為()A6 B7C8 D9解析：選B由題意知，B0,1,2，0，1，則B，共有7個(gè)元素，故選B.2(2018·武昌調(diào)研)設(shè)A，B是兩個(gè)非空集合，定義集合ABx|xA，且xB，若AxN|0x5，Bx|x27x10<0，則AB()A0,1 B1,2C0,1,2 D0,1,2,5解析：選D因?yàn)锳xN|0x5，所以A0,1,2,3,4,5解不等式x27x10<0，即(x2)(x5)<0，得2<x<5.所以B(2,5)因?yàn)锳Bx|xA，且xB，而3,4B,0,1,2,5B，所以AB0,1,2,5，故選D.3(2018·廣東揭陽(yáng)一模)非空數(shù)集A若滿(mǎn)足：(1)0A；(2)若xA，有A，則稱(chēng)A是“互倒集”給出以下數(shù)集：xR|x2ax10；x|x24x1<0；.其中“互倒集”的個(gè)數(shù)是()A4 B3C2 D1解析：選C對(duì)于，當(dāng)2<a<2時(shí)為空集，所以不是“互倒集”；對(duì)于，x|x24x1<0x|2<x<2，所以<<，即2<<2，所以是“互倒集”；對(duì)于，y0，故函數(shù)y是增函數(shù)，當(dāng)x時(shí)，ye,0)，當(dāng)x(1，e時(shí)，y，所以不是“互倒集”；對(duì)于，y且，所以是“互倒集”，故選C.(一)普通高中適用作業(yè)A級(jí)基礎(chǔ)小題練熟練快1(2017·山東高考)設(shè)函數(shù)y的定義域?yàn)锳，函數(shù)yln(1x)的定義域?yàn)锽，則AB()A(1,2)B(1,2C(2,1) D2,1)解析：選D由題意可知Ax|2x2，Bx|x<1，故ABx|2x<12(2017·全國(guó)卷)已知集合A1,2,3,4，B2,4,6,8，則AB中元素的個(gè)數(shù)為()A1 B2C3 D4解析：選BA，B兩集合中有兩個(gè)公共元素2,4，故選B.3已知集合A，則集合A中的元素個(gè)數(shù)為()A2B3C4D5解析：選CZ，2x的取值有3，1,1,3，又xZ，x的值分別為5,3,1，1，故集合A中的元素個(gè)數(shù)為4.4已知集合A1,2,3,4,5，B(x，y)|xA且yA且xyA，則B中所含元素的個(gè)數(shù)為()A3 B6C8 D10解析：選D由xA，yA，xyA，得xy1或xy2或xy3或xy4，所以集合B(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(4,3)，(5,3)，(5,4)，所以集合B有10個(gè)元素5已知集合Ax|y，xR，Bx|xm2，mA，則()AAB BBACAB DBA解析：選B因?yàn)锳x|y，xR，所以Ax|1x1，所以Bx|xm2，mAx|0x1，所以BA，故選B.6已知集合A0,1,2m，Bx|122x4，若AB1,2m，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A. B.C. D(0,1)解析：選C因?yàn)锽x|122x4，所以Bx|02x2，所以Bx|0x2在數(shù)軸上畫(huà)出集合B，集合AB，如圖1或圖2所示，從圖中可知，02m1或12m2，解得0m或m1，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.故選C.7設(shè)集合Ax|x2x20，Bx|x<1，且xZ，則AB_.解析：依題意得Ax|(x1)(x2)0x|1x2，因此ABx|1x<1，xZ1,0答案：1,08設(shè)集合Ax|(xa)21，且2A,3A，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：由題意得即所以1a2.答案：(1,29設(shè)A，B為兩個(gè)集合，下列四個(gè)命題：AB對(duì)任意xA，有xB；ABAB；ABBA；AB存在xA，使得xB.其中真命題的序號(hào)是_解析：如果對(duì)任意xA，有xB，則AB，若A中至少有一個(gè)元素不在B中，即存在xA，使得xB，則A不是B的子集所以是真命題答案：10已知集合Ax|log2x2，Bx|xa，若AB，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：由log2x2，得0x4，即Ax|0x4，而B(niǎo)x|xa，由于AB，在數(shù)軸上標(biāo)出集合A，B，如圖所示，則a4.答案：(4，)B級(jí)中檔題目練通抓牢1(2018·湘中名校高三聯(lián)考)已知集合Ax|x211x120，Bx|x2(3n1)，nZ，則AB等于()A2 B2,8C4,10 D2,8,10解析：選B因?yàn)榧螦x|x211x120x|1x12，集合B為被6整除余數(shù)為2的數(shù)又集合A中的整數(shù)有0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11，故被6整除余數(shù)為2的數(shù)有2和8，所以AB2,8，故選B.2(2018·河北衡水中學(xué)月考)設(shè)A，B是兩個(gè)非空集合，定義運(yùn)算A×Bx|x(AB)且x(AB)，已知Ax|y，By|y2x，x0，則A×B()A0,1(2，) B0,1)2，)C0,1 D0,2解析：選A由題意得Ax|2xx20x|0x2，By|y1，所以AB0，)，AB(1,2，所以A×B0,1(2，)3已知全集UAB中有m個(gè)元素，中有n個(gè)元素若AB非空，則AB的元素個(gè)數(shù)為()Amn BmnCnm Dmn解析：選D因?yàn)橹杏衝個(gè)元素，如圖中陰影部分所示，又UAB中有m個(gè)元素，故AB中有mn個(gè)元素4(2018·貴陽(yáng)監(jiān)測(cè))已知全集Ua1，a2，a3，a4，集合A是全集U的恰有兩個(gè)元素的子集，且滿(mǎn)足下列三個(gè)條件：若a1A，則a2A；若a3A，則a2A；若a3A，則a4A.則集合A_.(用列舉法表示)解析：假設(shè)a1A，則a2A，由若a3A，則a2A可知，a3A，故假設(shè)不成立；假設(shè)a4A，則a3A，a2A，a1A，故假設(shè)不成立故集合Aa2，a3答案：a2，a35已知集合Ax|1<x<3，Bx|m<x<m，若BA，則m的取值范圍為_(kāi)解析：當(dāng)m0時(shí)，B，顯然BA.當(dāng)m>0時(shí)，Ax|1<x<3當(dāng)BA時(shí)，在數(shù)軸上標(biāo)出兩集合，如圖，0<m1.綜上所述，m的取值范圍為(，1答案：(，16設(shè)全集UR，Ax|1x3，Bx|2<x<4，Cx|axa1(1)分別求AB，A(UB)；(2)若BCB，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：(1)由題意知，ABx|1x3x|2<x<4x|2<x3易知UBx|x2或x4，所以A(UB)x|1x3x|x2或x4x|x3或x4(2)由BCB，可知CB，畫(huà)出數(shù)軸(圖略)，易知2<a<a1<4，解得2<a<3.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2,3)7已知集合AxR|x2axb0，BxR|x2cx150，AB3，AB3,5(1)求實(shí)數(shù)a，b，c的值(2)設(shè)集合PxR|ax2bxc7，求集合PZ.解：(1)因?yàn)锳B3，所以3B，所以32c×3150，解得c8，所以BxR|x28x1503,5又因?yàn)锳B3，AB3,5，所以A3，所以方程x2axb0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根都是3，所以a6，b9.(2)不等式ax2bxc7，即為6x29x87，所以2x23x50，所以x1，所以P，所以PZ2，1,0,1C級(jí)重難題目自主選做1對(duì)于非空集合A，B，定義運(yùn)算：ABx|xAB，且xAB已知非空集合Mx|axb，Nx|cxd，其中a，b，c，d滿(mǎn)足abcd，abcd0，則MN()A(a，d)(b，c) B(c，a)(d，b)C(c，a)b，d) D(a，cd，b)解析：選D由Mx|axb，得ab.又ab0，a0b.同理可得c0d，由abcd0，c0，b0可得，.又abcd，acdb，c0，b0，db0，因此ac0，ac0db，MNN，MNx|axc或dxb(a，cd，b)故選D.2已知k為合數(shù)，且1k100，當(dāng)k的各數(shù)位上的數(shù)字之和為質(zhì)數(shù)時(shí)，稱(chēng)此質(zhì)數(shù)為k的“衍生質(zhì)數(shù)”(1)若k的“衍生質(zhì)數(shù)”為2，則k_；(2)設(shè)集合AP(k)|P(k)為k的“衍生質(zhì)數(shù)”，Bk|P(k)為k的“衍生質(zhì)數(shù)”，則集合AB中元素的個(gè)數(shù)是_解析：(1)依題意設(shè)k10ab(aN*，bN)，則ab2，又aN*，bN，則a2，b0，故k20；(2)由(1)知“衍生質(zhì)數(shù)”為2的合數(shù)有20，同理可推“衍生質(zhì)數(shù)”為3的合數(shù)有12,21,30，“衍生質(zhì)數(shù)”為5的合數(shù)有14,32,50，“衍生質(zhì)數(shù)”為7的合數(shù)有16,25,34,52,70，“衍生質(zhì)數(shù)”為11的合數(shù)有38,56,65,74,92，“衍生質(zhì)數(shù)”為13的合數(shù)有49,58,76,85,94，“衍生質(zhì)數(shù)”為17的合數(shù)有98，所以集合A有7個(gè)元素，集合B有23個(gè)元素，故集合AB中有30個(gè)元素答案：2030(二)重點(diǎn)高中適用作業(yè)A級(jí)保分題目巧做快做1已知集合A，則集合A中的元素個(gè)數(shù)為()A2B3C4 D5解析：選CZ，2x的取值有3，1,1,3，又xZ，x的值分別為5,3,1，1，故集合A中的元素個(gè)數(shù)為4.2已知集合Ax|y，xR，Bx|xm2，mA，則()AAB BBACAB DBA解析：選B因?yàn)锳x|y，xR，所以Ax|1x1，所以Bx|xm2，mAx|0x1，所以BA.3.(2018·湖北七市(州)協(xié)作體聯(lián)考)已知集合Pn|n2k1，kN*，k50，Q2,3,5，則集合Txy|xP，yQ中元素的個(gè)數(shù)為()A147 B140C130 D117解析：選B由題意得，y的取值一共有3種情況，當(dāng)y2時(shí)，xy是偶數(shù)，不與y3，y5時(shí)有相同的元素，當(dāng)y3，x5,15,25，95時(shí)，與y5，x3,9,15，57時(shí)有相同的元素，共10個(gè)，故所求元素個(gè)數(shù)為3×5010140.4.(2018·河北衡水調(diào)研)已知集合Ax|log2x1，Bx|0xc，若ABB，則c的取值范圍是()A(0,1 B1，)C(0,2 D2，)解析：選DAx|log2x1x|0x2，因?yàn)锳BB，所以AB，所以c2.5.(2018·河北正定中學(xué)月考)已知集合Py|y2y2>0，Qx|x2axb0若PQR，且PQ(2,3，則ab()A5 B5C1 D1解析：選APy|y2y2>0y|y>2或y<1由PQR及PQ(2,3，得Q1,3，所以a13，b1×3，即a2，b3，ab5，故選A.6設(shè)集合Ax|(xa)21，且2A,3A，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：由題意得即所以1a2.答案：(1,27設(shè)集合Ax|x2x20，Bx|x<1，且xZ，則AB_.解析：依題意得Ax|(x1)(x2)0x|1x2，因此ABx|1x<1，xZ1,0答案：1,08.設(shè)全集為R，集合Ax|x290，Bx|1x5，則A(RB)_.解析：由題意知，Ax|x290x|3x3，Bx|1x5，RBx|x1或x5A(RB)x|3x3x|x1或x5x|3x1答案：x|3x19.(2018·江西玉山一中月考)已知集合Ax|33x27，Bx|log2x>1(1)分別求AB，(RB)A；(2)已知集合Cx|1<x<a，若CA，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：(1)33x27，即313x33，1x3，Ax|1x3log2x>1，即log2x>log22，x>2，Bx|x>2ABx|2<x3RBx|x2，(RB)Ax|x3(2)由(1)知Ax|1x3，CA.當(dāng)C為空集時(shí)，滿(mǎn)足CA，a1；當(dāng)C為非空集合時(shí)，可得1<a3.綜上所述，a3.實(shí)數(shù)a的取值范圍是(，310已知集合AxR|x2axb0，BxR|x2cx150，AB3，AB3,5(1)求實(shí)數(shù)a，b，c的值(2)設(shè)集合PxR|ax2bxc7，求集合PZ.解：(1)因?yàn)锳B3，所以3B，所以32c×3150，解得c8，所以BxR|x28x1503,5又因?yàn)锳B3，AB3,5，所以A3，所以方程x2axb0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根都是3，所以a6，b9.(2)不等式ax2bxc7，即為6x29x87，所以2x23x50，所以x1，所以P，所以PZ2，1,0,1B級(jí)拔高題目穩(wěn)做準(zhǔn)做1對(duì)于非空集合A，B，定義運(yùn)算：ABx|xAB，且xAB已知非空集合Mx|axb，Nx|cxd，其中a，b，c，d滿(mǎn)足abcd，abcd0，則MN()A(a，d)(b，c) B(c，a)(d，b)C(c，a)b，d) D(a，cd，b)解析：選D由Mx|axb，得ab.又ab0，a0b.同理可得c0d，由abcd0，c0，b0可得，.又abcd，acdb，c0，b0，db0，因此ac0，ac0db，MNN，MNx|axc或dxb(a，cd，b)故選D.2.設(shè)平面點(diǎn)集A，B(x，y)|(x1)2(y1)21，則AB所表示的平面圖形的面積為()A. B.C. D.解析：選D不等式(yx)·0可化為或集合B表示圓(x1)2(y1)21上以及圓內(nèi)部的點(diǎn)所構(gòu)成的集合，AB所表示的平面區(qū)域如圖所示曲線(xiàn)y，圓(x1)2(y1)21均關(guān)于直線(xiàn)yx對(duì)稱(chēng)，所以陰影部分占圓面積的一半，即為.3.已知集合Ax|a1xa1，Bx|x25x40，若AB，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：因?yàn)锳x|a1xa1，B(，14，)，由已知AB，所以所以2a3.答案：2,34(2018·貴陽(yáng)監(jiān)測(cè))已知全集Ua1，a2，a3，a4，集合A是全集U的恰有兩個(gè)元素的子集，且滿(mǎn)足下列三個(gè)條件：若a1A，則a2A；若a3A，則a2A；若a3A，則a4A.則集合A_.(用列舉法表示)解析：假設(shè)a1A，則a2A，由若a3A，則a2A可知，a3A，故假設(shè)不成立；假設(shè)a4A，則a3A，a2A，a1A，故假設(shè)不成立故集合Aa2，a3答案：a2，a35.已知集合Ax|x22x30，Bx|x22mxm240，xR，mR(1)若AB0,3，求實(shí)數(shù)m的值；(2)若ARB，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解：由已知得Ax|1x3，Bx|m2xm2(1)因?yàn)锳B0,3，所以所以m2.(2)RBx|x<m2或x>m2，因?yàn)锳RB，所以m2>3或m2<1，即m>5或m<3.因此實(shí)數(shù)m的取值范圍是(，3)(5，)6.若集合Mx|3x4，集合Px|2m1xm1(1)證明M與P不可能相等；(2)若集合M與P中有一個(gè)集合是另一個(gè)集合的真子集，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解：(1)證明：若MP，則32m1且4m1，解得m1且m3，不成立故M與P不可能相等(2)若PM，當(dāng)P時(shí)，有或解得1m2；當(dāng)P時(shí)，有2m1>m1，解得m>2，即m1；若MP，則或無(wú)解綜上可知，當(dāng)有一個(gè)集合是另一個(gè)集合的真子集時(shí)，只能是PM，此時(shí)必有m1，即實(shí)數(shù)m的取值范圍為1，)第二節(jié)命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件1命題的概念用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句叫做命題其中判斷為真的語(yǔ)句叫做真命題，判斷為假的語(yǔ)句叫做假命題2四種命題及其關(guān)系(1)四種命題間的相互關(guān)系(2)四種命題的真假關(guān)系兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒(méi)有關(guān)系3充要條件充分條件與必要條件的定義從集合角度理解若pq，則p是q的充分條件，q是p的必要條件p成立的對(duì)象的集合為A，q成立的對(duì)象的集合為Bp是q的充分不必要條件pq且qpA是B的真子集集合與充要條件的關(guān)系p是q的必要不充分條件p q且qpB是A的真子集p是q的充要條件pqABp是q的既不充分也不必要條件p q且qpA，B互不包含1判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“×”)(1)“x22x8<0”是命題()(2)一個(gè)命題非真即假()(3)四種形式的命題中，真命題的個(gè)數(shù)為0或2或4.()(4)命題“若p，則q”的否命題是“若p，則綈q”()(5)若p是q成立的充分條件，則q是p成立的必要條件()答案：(1)×(2)(3)(4)×(5)2命題“若a>b，則ac>bc”的否命題是()A若ab，則acbcB若acbc，則abC若ac>bc，則a>b D若a>b，則acbc解析：選A命題的否命題是將原命題的條件和結(jié)論均否定，所以題中命題的否命題為“若ab，則acbc”3在ABC中，“A>B”是“sin A>sin B”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：選C由正弦定理知2R(R為ABC外接圓半徑)若sin A>sin B，則>，即a>b，所以A>B；若A>B，則a>b，所以2Rsin A>2Rsin B，即sin A>sin B，所以“A>B”是“sin A>sin B”成立的充要條件4(2018·唐山一模)若xR，則“x>1”是“<1”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：選A當(dāng)x>1時(shí)，<1成立，而當(dāng)<1時(shí)，x>1或x<0，所以“x>1”是“<1”的充分不必要條件，選A.5“若a<b，則ac2<bc2”，則命題的原命題、逆命題、否命題和逆否命題中真命題的個(gè)數(shù)是_解析：原命題：“若a<b，則ac2<bc2”，這是假命題，因?yàn)槿鬰0時(shí)，由a<b，得到ac2bc20，不能推出ac2<bc2.逆命題：“若ac2<bc2，則a<b”，這是真命題，因?yàn)橛蒩c2<bc2得到c2>0，所以?xún)蛇呁詂2，得a<b，因?yàn)樵}和逆否命題的真假性相同，逆命題和否命題的真假性相同，所以真命題的個(gè)數(shù)是2.答案：26設(shè)向量a(x1，x)，b(x2，x4)，則“ab”是“x2”的_條件解析：a(x1，x)，b(x2，x4)，若ab，則a·b0，即(x1)(x2)x(x4)0，解得x2或x，x2ab，反之a(chǎn)bx2或x，“ab”是“x2”的必要不充分條件答案：必要不充分考什么·怎么考四種命題的關(guān)系及其真假判斷是高考的熱點(diǎn)之一，一是對(duì)“若p，則q”形式命題的改寫(xiě)要熟練，二是弄清命題的四種形式之間的真假關(guān)系.一般以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，屬于基礎(chǔ)題.1(2018·武漢模擬)對(duì)于原命題“正弦函數(shù)不是分段函數(shù)”，下列敘述正確的是()A否命題是“正弦函數(shù)是分段函數(shù)”B逆命題是“分段函數(shù)不是正弦函數(shù)”C逆否命題是“分段函數(shù)是正弦函數(shù)”D以上都不正確解析：選D原命題可寫(xiě)成“若一個(gè)函數(shù)是正弦函數(shù)，則該函數(shù)不是分段函數(shù)”，否命題為“若一個(gè)函數(shù)不是正弦函數(shù)，則該函數(shù)是分段函數(shù)”，逆命題為“若一個(gè)函數(shù)不是分段函數(shù)，則該函數(shù)是正弦函數(shù)”，逆否命題為“若一個(gè)函數(shù)是分段函數(shù)，則該函數(shù)不是正弦函數(shù)”，可知A、B、C都是錯(cuò)誤的，故選D.2設(shè)原命題：若ab2，則a，b中至少有一個(gè)不小于1，則原命題與其逆命題的真假情況是()A原命題真，逆命題假B原命題假，逆命題真C原命題與逆命題均為真命題D原命題與逆命題均為假命題解析：選A可以考慮原命題的逆否命題，即a，b都小于1，則ab<2，顯然為真其逆命題，即若a，b中至少有一個(gè)不小于1，則ab2為假，如a1.2，b0.2，則ab<2.3命題“已知a>1，若x>0，則ax>1”的否命題為()A已知0<a<1，若x>0，則ax>1B已知a>1，若x0，則ax>1C已知a>1，若x0，則ax1D已知0<a<1，若x0，則ax1解析：選C命題中，“已知a>1”是大前提，在四種命題中不能改變；“x>0”是條件，“ax>1”是結(jié)論由于命題“若p，則q”的否命題為“若綈p，則綈q”，故該命題的否命題為“已知a>1，若x0，則ax1”故選C.怎樣快解·準(zhǔn)解1判斷命題真假的2種方法(1)直接判斷：判斷一個(gè)命題是真命題，需經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的推理證明；而要說(shuō)明它是假命題，只需舉一反例即可(如第2題逆命題的真假判斷)(2)間接判斷(等價(jià)轉(zhuǎn)化)：由于原命題與其逆否命題為等價(jià)命題，如果原命題的真假不易直接判斷，那么可以利用這種等價(jià)性間接地判斷命題的真假(如第2題原命題的真假判斷)2謹(jǐn)防3類(lèi)失誤(1)如果原命題是“若p，則q”，則否命題是“若綈p，則綈q”，而命題的否定是“若p，則綈q”，即否命題是對(duì)原命題的條件和結(jié)論同時(shí)否定，命題的否定僅僅否定原命題的結(jié)論(條件不變)(2)對(duì)于不是“若p，則q”形式的命題，需先改寫(xiě)(如第1題)(3)當(dāng)命題有大前提時(shí)，寫(xiě)其他三種命題時(shí)需保留大前提(如第3題)充分條件、必要條件以其獨(dú)特的表達(dá)形式成為高考命題的熱點(diǎn).高考主要考查充分條件、必要條件的判斷，常以選擇題的形式出現(xiàn)，難度不大，屬于基礎(chǔ)題.,充分條件、必要條件作為一個(gè)重要載體，考查的數(shù)學(xué)知識(shí)面較廣，幾乎涉及數(shù)學(xué)知識(shí)各個(gè)方面.典題領(lǐng)悟1(2017·北京高考)設(shè)m，n為非零向量，則“存在負(fù)數(shù)，使得mn”是“m·n<0”的()A充分而不必要條件 B必要而不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件解析：選Amn，m·nn·n|n|2.當(dāng)<0，n0時(shí)，m·n<0.反之，由m·n|m|n|cosm，n<0cosm，n<0m，n，當(dāng)m，n時(shí)，m，n不共線(xiàn)故“存在負(fù)數(shù)，使得mn”是“m·n<0”的充分而不必要條件2(2017·天津高考)設(shè)xR，則“2x0”是“|x1|1”的()A充分而不必要條件 B必要而不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：選B由2x0，得x2，由|x1|1，得0x2.0x2x2，x2/ 0x2，故“2x0”是“|x1|1”的必要而不充分條件3已知條件p：xy2，條件q：x，y不都是1，則p是q的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：選A因?yàn)閜：xy2，q：x1，或y1，所以綈p：xy2，綈q：x1，且y1，因?yàn)榻恞綈p但綈p綈q，所以綈q是綈p的充分不必要條件，即p是q的充分不必要條件4(2018·江西鷹潭中學(xué)月考)設(shè)f(x)x24x(xR)，則f(x)>0的一個(gè)必要不充分條件是()Ax<0 Bx<0或x>4C|x1|>1 D|x2|>3解析：選C依題意，f(x)>0x24x>0x<0或x>4.又|x1|>1x1<1或x1>1，即x<0或x>2，而x|x<0或x>4x|x<0或x>2，因此選C.解題師說(shuō)1熟記判斷充分、必要條件的3種方法方法解讀適合題型定義法第一步，分清條件和結(jié)論：分清誰(shuí)是條件，誰(shuí)是結(jié)論；第二步，找推式：判斷“pq”及“qp”的真假；第三步，下結(jié)論：根據(jù)推式及定義下結(jié)論定義法是判斷充分、必要條件最根本、最適用的方法(如典題領(lǐng)悟第1題)等價(jià)法利用pq與綈q綈p；qp與綈p綈q；pq與綈q綈p的等價(jià)關(guān)系適用于“直接正面判斷不方便”的情況，可將命題轉(zhuǎn)化為另一個(gè)等價(jià)的又便于判斷真假的命題，再去判斷常用的是逆否等價(jià)法(如典題領(lǐng)悟第3題)集合法記條件p，q對(duì)應(yīng)的集合分別為A，B.若AB，則p是q的充分不必要條件；若AB，則p是q的必要不充分條件；若AB，則p是q的充要條件適用于“當(dāng)所要判斷的命題與方程的根、不等式的解集以及集合有關(guān)，或所描述的對(duì)象可以用集合表示時(shí)”的情況(如典題領(lǐng)悟第2題及第4題)2把握探求某結(jié)論成立的充分、必要條件的3個(gè)方面(1)準(zhǔn)確化簡(jiǎn)條件，也就是求出每個(gè)條件對(duì)應(yīng)的充要條件；(2)注意問(wèn)題的形式，看清“p是q的”還是“p的是q”，如果是第二種形式，要先轉(zhuǎn)化為第一種形式，再判斷；(3)靈活利用各種方法判斷兩個(gè)條件之間的關(guān)系，充分、必要條件的判斷常通過(guò)“”來(lái)進(jìn)行，即轉(zhuǎn)化為兩個(gè)命題關(guān)系的判斷，當(dāng)較難判斷時(shí)，可借助兩個(gè)集合之間的關(guān)系來(lái)判斷沖關(guān)演練1(2018·安徽兩校階段性測(cè)試)設(shè)aR，則“a4”是“直線(xiàn)l1：ax8y80與直線(xiàn)l2：2xaya0平行”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：選D當(dāng)a0時(shí)，直線(xiàn)l1與直線(xiàn)l2重合，無(wú)論a取何值，直線(xiàn)l1與直線(xiàn)l2均不可能平行，當(dāng)a4時(shí)，l1與l2重合故選D.2對(duì)于直線(xiàn)m，n和平面，m成立的一個(gè)充分條件是()Amn，nBm，Cm，