2022年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第二次統(tǒng)練試題 文（含解析）新人教A版【試卷綜評】突出考查數(shù)學(xué)主干知識 ,側(cè)重于中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科的基礎(chǔ)知識和基本技能的考查；側(cè)重于知識交匯點的考查。全面考查了考試說明中要求的內(nèi)容，如復(fù)數(shù)、簡易邏輯試卷都有所考查。在全面考查的前提下，高中數(shù)學(xué)的主干知識如函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、立體幾何、導(dǎo)數(shù)、圓錐曲線、概率統(tǒng)計等仍然是支撐整份試卷的主體內(nèi)容，尤其是解答題，涉及內(nèi)容均是高中數(shù)學(xué)的重點知識。明確了中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)方向和考生的學(xué)習(xí)方向。 2.適度綜合考查，提高試題的區(qū)分度  本次數(shù)學(xué)試卷的另一個特點是具有一定的綜合性，很多題目是由多個知識點構(gòu)成的，這有利于考查考生對知識的綜合理解能力，有利于提高區(qū)分度，在適當?shù)囊?guī)劃和難度控制下，效果明顯。通過考查知識的交匯點，對考生的數(shù)學(xué)能力提出了較高的要求，提高了試題的區(qū)分度.第卷（選擇題部分 共50分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.【題文】1定義，若，則（）A B C D 【知識點】補集及其運算A1 【答案解析】C 解析：集合M=1，2，3，4，5，N=2，3，6，MN=1，4，5故選C【思路點撥】根據(jù)題中的新定義，找出屬于M不屬于N的元素，即可確定出MN【題文】2“”是“”的（）A充分不必要條件B必要不充分條件 C充要條件D既不充分也不必要條件【知識點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷A2 【答案解析】B 解析：log2alog2b，0ab，“ab”是“l(fā)og2alog2b”的必要不充分條件，故選：B【思路點撥】根據(jù)對數(shù)的基本運算和充分條件和必要條件的定義即可得到結(jié)論【題文】3直線與圓相交于兩點,則弦的長度等于（）AB.CD1【知識點】直線與圓相交的性質(zhì)H4 【答案解析】B 解析：圓心（0，0）到直線x+2=0的距離d=由直線與圓相交的性質(zhì)可知，即，故選B?！舅悸伏c撥】由直線與圓相交的性質(zhì)可知，要求AB，只要先求圓心（0，0）到直線x+2=0的距離d，即可求解?！绢}文】4已知為等比數(shù)列，下面結(jié)論中正確的是（）AB ABCO（第5題）C若,則D若,則【知識點】等比數(shù)列的性質(zhì)D3 【答案解析】B 解析：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則a1+a3=，當且僅當a2，q同為正時，a1+a32a2成立，故A不正確；，故B正確；若a1=a3，則a1=a1q2，q2=1，q=±1，a1=a2或a1=a2，故C不正確；若a3a1，則a1q2a1，a4a2=a1q（q21），其正負由q的符號確定，故D不正確故選B【思路點撥】a1+a3=，當且僅當a2，q同為正時，a1+a32a2成立；，所以；若a1=a3，則a1=a1q2，從而可知a1=a2或a1=a2；若a3a1，則a1q2a1，而a4a2=a1q（q21），其正負由q的符號確定，故可得結(jié)論【題文】5設(shè)點O是邊長為1的正ABC的中心（如圖所示），則（）A B C D【知識點】平面向量數(shù)量積的運算F3 【答案解析】D 解析：因為點O是邊長為1的等邊ABC的中心，D為BC的中點，兩兩夾角為120°所以=所以（）（）=+=故選D【思路點撥】由題意求出的長度，推出夾角大小，直接利用向量的數(shù)量積求解即可【題文】6. 已知直線、與平面下列命題正確的是（）A BC D【知識點】空間中直線與直線之間的位置關(guān)系；空間中直線與平面之間的位置關(guān)系；平面與平面之間的位置關(guān)系 【答案解析】D 解析：A、由面面平行的判定定理知，m與n可能相交，故A不對；B、當m與n都與和的交線平行時，也符合條件，但是mn，故B不對；C、由面面垂直的性質(zhì)定理知，必須有mn，n時，n，否則不成立，故C不對；D、由n且，得n或n，又因m，則mn，故D正確故選D【思路點撥】由面面平行的判定定理知A不對，用當m與n都與和的交線平行時判斷B不對，由面面垂直的性質(zhì)定理知C不對，故D正確由面面垂直和線面垂直以及平行簡單證明【題文】7如果函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱，那么的最小值為()A B C D【知識點】函數(shù)y=Asin（x+）的圖象變換；余弦函數(shù)的對稱性 【答案解析】A 解析：函數(shù)y=3cos（2x+）的圖象關(guān)于點中心對稱由此易得故選A【思路點撥】先根據(jù)函數(shù)y=3cos（2x+）的圖象關(guān)于點中心對稱，令x=代入函數(shù)使其等于0，求出的值，進而可得|的最小值【題文】8對于函數(shù)，若存在非零常數(shù)，使得當取定義域內(nèi)的每一個值時，都有，則稱為準偶函數(shù). 下列函數(shù)中是準偶函數(shù)的是（）A B C D【知識點】抽象函數(shù)及其應(yīng)用B10 【答案解析】D 解析：對于函數(shù)f（x），若存在常數(shù)a0，使得x取定義域內(nèi)的每一個值，都有f（x）=f（2ax），則稱f（x）為準偶函數(shù)，函數(shù)的對稱軸是x=a，a0，選項A函數(shù)沒有對稱軸；選項B、函數(shù)的對稱軸是x=0，選項C，函數(shù)沒有對稱軸函數(shù)f（x）=cos（x+1），有對稱軸，且x=0不是對稱軸，選項D正確故選：D【思路點撥】由題意判斷f（x）為準偶函數(shù)的對稱軸，然后判斷選項即可【題文】9 設(shè)定義在區(qū)間上的函數(shù)是奇函數(shù)（），則的取值范圍是（） AB CD【知識點】對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用；函數(shù)奇偶性的性質(zhì)B7B4 【答案解析】A 解析：定義在區(qū)間（b，b）上的函數(shù)是奇函數(shù)f（x）+f（x）=0；1a2x2=14x2；a2；a=2；令，可得，a=2，ab的取值范圍是；故選A【思路點撥】根據(jù)定義在區(qū)間（b，b）上的函數(shù)是奇函數(shù)，可確定a=2，及b的取值范圍，從而可求ab的取值范圍【題文】10已知. 、分別是橢圓的左、右焦點，是橢圓上一動點，圓與的延長線、的延長線以及線段相切，若為其中一個切點，則()A BC D與的大小關(guān)系不確定【知識點】圓與圓錐曲線的綜合H9 【答案解析】A 解析：由題意知，圓C是AF1F2的旁切圓，點M是圓C與x軸的切點，設(shè)圓C與直線F1A的延長線、AF2分別相切于點P，Q，則由切線的性質(zhì)可知：AP=AQ，F(xiàn)2Q=F2M，F(xiàn)1P=F1M，MF2=QF2=（AF1+AF2）（AF1+AQ）=2aAF1AP=2aF1P=2aF1MMF1+MF2=2a，t=a=2故選A【思路點撥】由題意知，圓C是AF1F2的旁切圓，點M是圓C與x軸的切點，設(shè)圓C與直線F1A的延長線、AF2分別相切于點P，Q，則由切線的性質(zhì)可知：AP=AQ，F(xiàn)2Q=F2M，F(xiàn)1P=F1M，由此能求出t的值第卷（非選擇題部分 共100分）二、填空題：本大題共7小題，每小題4分，共28分【題文】11雙曲線的兩條漸近線的方程為 .【知識點】雙曲線的簡單性質(zhì)H6 【答案解析】 解析：雙曲線的a=4，b=3，焦點在x軸上 而雙曲線的漸近線方程為y=±x雙曲線的漸近線方程為故答案為：【思路點撥】先確定雙曲線的焦點所在坐標軸，再確定雙曲線的實軸長和虛軸長，最后確定雙曲線的漸近線方程【題文】12設(shè),則的值是 .【知識點】二倍角的正弦；同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系；二倍角的正切C2 C6 【答案解析】 解析：sin2=2sincos=sin，（，），cos=，sin=，tan=，則tan2=故答案為：343322正視圖(第13題)側(cè)視圖俯視圖【思路點撥】已知等式左邊利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，根據(jù)sin不為0求出cos的值，由的范圍，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sin的值，進而求出tan的值，所求式子利用二倍角的正切函數(shù)公式化簡后，將tan的值代入計算即可求出值【題文】13. 已知某個幾何體的三視圖 (單位：cm) 如圖所示，則這個幾何體的體積是 cm3【知識點】由三視圖求面積、體積G2 【答案解析】 解析：三視圖復(fù)原的幾何體是上部為長方體三度為：4，3，2；下部為放倒的四棱柱，底面是等腰梯形其下底為9，上底為3高為2，棱柱的高為4，幾何體的體積為：4×3×2+=72 cm3故答案為：72【思路點撥】利用三視圖判斷幾何體的形狀，通過三視圖的數(shù)據(jù)求出幾何體的體積即可【題文】14已知等比數(shù)列中，公比，且， 則= 【知識點】等比數(shù)列的性質(zhì)D3 【答案解析】3 解析：由題意可得：數(shù)列an為等比數(shù)列，所以=q5因為數(shù)列an為等比數(shù)列，a3a4=12，所以a3a4=a1a6=12因為a1+a6=8，公比q1，解得a1=2，a6=6，所以q5=3故答案為：3【思路點撥】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)對所求進行化簡可得：=q5結(jié)合題中條件a1+a6=8，a3a4=12可得a1=2，a6=6，進而得到答案【題文】15已知點的坐標滿足，設(shè)，則（為坐標原點）的最大值為 【知識點】簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用E5 【答案解析】2 解析：滿足的可行域如圖所示，又，由圖可知，平面區(qū)域內(nèi)x值最大的點為（2，3）故答案為：2【思路點撥】先畫出滿足的可行域，再根據(jù)平面向量的運算性質(zhì)，對進行化簡，結(jié)合可行域，即可得到最終的結(jié)果【題文】16.若關(guān)于的不等式在區(qū)間上有解,則實數(shù)的取值范圍為 【知識點】一元二次不等式的解法E3 【答案解析】 解析：令f（x）=x2+ax2，則f（0）=2，頂點橫坐標0，要使關(guān)于x的不等式x2+ax20在區(qū)間1，5上有解，則應(yīng)滿足f（5）0，解得；時，要使關(guān)于x的不等式x2+ax20在區(qū)間1，5上有解，也應(yīng)滿足f（5）0，解得綜上可知：實數(shù)a的取值范圍是故答案為：【思路點撥】令f（x）=x2+ax2，則f（0）=2，無論頂點橫坐標0，還是時，要使關(guān)于要使關(guān)于x的不等式x2+ax20在區(qū)間1，5上有解，則應(yīng)滿足f（5）0，解出即可【題文】17若正實數(shù)滿足，且不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 _【知識點】基本不等式E6 【答案解析】 解析：正實數(shù)x，y滿足x+2y+4=4xy，可得x+2y=4xy4，不等式（x+2y）a2+2a+2xy340恒成立，即（4xy4）a2+2a+2xy340恒成立，變形可得2xy（2a2+1）4a22a+34恒成立，即xy恒成立，x0，y0，x+2y2，4xy=x+2y+44+2，即220，解不等式可得，或（舍負）可得xy2，要使xy恒成立，只需2恒成立，化簡可得2a2+a150，即（a+3）（2a5）0，解得a3或a，故答案為：【思路點撥】原不等式恒成立可化為xy恒成立，由基本不等式結(jié)合不等式的解法可得xy2，故只需2恒成立，解關(guān)于a的不等式可得三、解答題：本大題共5小題，共72分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18. （本小題滿分14分）在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足（1）求角C的值；（2）若，且ABC的面積為，求的值【知識點】正弦定理；余弦定理C8 【答案解析】（1）（2）解析：（1）a（sinAsinB）+bsinB=csinC，由正弦定理得a2ab+b2=c2，故cosC=，0C，所以C=（2）absinC=，a=1，所以b=4，則由余弦定理得c2=a2+b22abcosC=1+162×1×4×cos=13，即c=【思路點撥】（1）已知a（sinAsinB）+bsinB=csinC由正弦定理化簡得a2ab+b2=c2，由余弦定理得cosC=，0C，所以C=（2）若a=1，且ABC的面積為=absinC，求出b的值，從而由余弦定理求出c的值【題文】19. （本小題滿分14分）已知數(shù)列an是公差不為零的等差數(shù)列，其前n項和為Sn，且S5=30，又a1，a3，a9成等比數(shù)列（）求Sn；（）若對任意nt，nN，都有+，求t的最小值【知識點】數(shù)列與不等式的綜合；等比數(shù)列的性質(zhì)D3D5 【答案解析】（）;（）48解析：（）設(shè)公差為d，由條件得，得a1=d=2an=2n，；（）， 即 ，的最小值為48 14分【思路點撥】（）由a1，a3，a9成等比數(shù)列列方程組求出首項和公差，則Sn可求；（）把an，Sn代入，整理后列項，求和后得到使+成立的t的最小值【題文】20（本小題滿分14分）如圖，矩形ABCD中，E為邊AB的中點，將ADE沿直線DE翻折成A1DE（1）設(shè)M為線段A1C的中點，求證： BM / 平面A1DE；（2）當平面A1DE平面BCD時，求直線CD與平面A1CE所成角的正弦值【知識點】直線與平面所成的角；直線與平面平行的判定G4 G11 【答案解析】（1）見解析；（2）解析：（1）取的中點F，連結(jié)MF，則MF/CD，且MFCD，即MFBE，MF= BE，故四邊形BEFM是平行四邊形，則BM/EF，BM平面A1DE，EF平面A1DE，所以BM / 平面A1DE；7分（2）由矩形ABCD中，AB=2BC=4，E為邊AB的中點，可得ED2=22+22=8=CE2，CD2=42=16，CE2+ED2=CD2，CED=90°，CEED又平面A1DE平面BCD，CE平面A1DE，CEDA1又DA1A1E，A1EEC=E，DA1平面A1CE，A1CE即為直線CD與平面A1CE所成的角在RtA1CD中，sinA1CD，即直線CD與平面A1CE所成角的正弦值為 14分【思路點撥】（1）取CD中點N，并連接MN，BN，容易證明平面BMN平面A1DE，所以便得到BM平面A1DE；（2）容易說明CE平面A1DE，所以DA1CE，又DA1A1E，所以DA1平面A1CE，所以A1CD便是直線CD與平面A1CE所成角，所以該角的正弦值為【題文】21.（本小題滿分15分）已知動圓過定點,且與直線相切 （1）求動圓圓心的軌跡的方程；（2）過點作曲線的兩條弦, 設(shè)所在直線的斜率分別為, 當變化且滿足時，證明直線恒過定點，并求出該定點坐標.【知識點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程菁優(yōu)B12 【答案解析】（1）；（2）直線經(jīng)過這個定點 解析：(1)設(shè)圓心, 則由題意得 ，化簡得，即動圓圓心的軌跡的方程為7分 (2) 解法一：由題意可知直線AB的斜率存在且不為零, 可設(shè)的方程為,并設(shè)，聯(lián)立: 代入整理得 從而有 , 9分又 , 又， 11分Þ，展開即得，將代入得,得：，14分故直線經(jīng)過這個定點 15分解法二：設(shè)，設(shè)，與聯(lián)立，得，則，同理，即由: 代入，整理得恒成立則 故直線經(jīng)過這個定點15分【思路點撥】（1）設(shè)出圓心坐標，由題意列，整理后得到動圓圓心的軌跡C的方程；（2）由題意可知直線AB的斜率存在且不為零，可設(shè)AB的方程為x=my+a，和（1）中求得軌跡聯(lián)立后利用根與系數(shù)關(guān)系得到A，B兩點的橫縱坐標的和，結(jié)合k1+k2=1求得直線方程，由線系方程得答案【題文】22（本小題滿分15分）已知函數(shù).（1）若函數(shù)為偶函數(shù)，求實數(shù)的值；（2）若，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間； （3）當時，若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【知識點】函數(shù)恒成立問題B14 【答案解析】（1）a=0；（2）及；（3）解析：（1）解法一：因為函數(shù)f（x）=x2+2|xa|又函數(shù)y=f（x）為偶函數(shù)，所以任取xR，則f（x）=f（x）恒成立，即（x）2+2|xa|=x2+2|xa|恒成立（3分）所以|xa|=|x+a|恒成立，兩邊平方得：x22ax+a2=x2+2ax+a2所以4ax=0，因為x為任意實數(shù)，所以a=0（5分） 解法二（特殊值法）：因為函數(shù)y=f（x）為偶函數(shù)，所以f（1）=f（1），得|1a|=|1+a|，得：a=0所以f（x）=x2+2|x|，故有f（x）=f（x），即f（x）為偶函數(shù)（5分）（2）若，則（8分）由函數(shù)的圖像可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為及10分(3)不等式化為即： (*)對任意的恒成立因為，所以分如下情況討論：13分0xa時，不等式（*）化為4（xa）+2x（1+a）x2+2x1，即x2+4x+12a0對任意的x0，a恒成立，因為函數(shù)g（x）=x2+4x+12a在區(qū)間0，a上單調(diào)遞增，則g（0）最小，所以只需g（0）0即可，得，又a0所以（12分）ax1+a時，不等式（*）化為4（xa）+2x（1+a）x2+2x1，即x24x+1+6a0對任意的x（a，1+a恒成立，由，知：函數(shù)h（x）=x24x+1+6a在區(qū)間（a，1+a上單調(diào)遞減，則只需h（1+a）0即可，即a2+4a20，得或因為所以，由得（14分）x1+a時，不等式（*）化為4（xa）2x（1+a）x2+2x1，即x2+2x30對任意的x（a+1，+）恒成立，因為函數(shù)（x）=x2+2x3在區(qū)間（a+1，+）上單調(diào)遞增，則只需（a+1）0即可，即a2+4a20，得或，由得綜上所述得，a的取值范圍是（16分）【思路點撥】（）因為函數(shù)y=f（x）為偶函數(shù)，所以可由定義得f（x）=f（x）恒成立，然后化簡可得a=0；也可取特殊值令x=1，得f（1）=f（1），化簡即可，但必須檢驗（）分x，x，將絕對值去掉，注意結(jié)合圖象的對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，寫出單調(diào)增區(qū)間，注意之間用“和” （）先整理f（x1）2f（x）的表達式，有絕對值的放到左邊，然后分0xaax1+ax1+a討論，首先去掉絕對值，然后整理成關(guān)于x的一元二次不等式恒成立的問題，利用函數(shù)的單調(diào)性求出最值，從而求出a的范圍，最后求它們的交集臺州中學(xué)xx學(xué)年第一學(xué)期第二次統(tǒng)練試題 高三數(shù)學(xué)（文科）參考答案（2）， 即 ，的最小值為48 14分20解：（1）取的中點F，連結(jié)MF，則MF/CD，且MFCD，即MFBE，MF= BE，故四邊形BEFM是平行四邊形，則BM/EF，BM平面A1DE，EF平面A1DE，所以BM / 平面A1DE；7分（2）由矩形ABCD中，AB=2BC=4，E為邊AB的中點，可得ED2=22+22=8=CE2，CD2=42=16，CE2+ED2=CD2，CED=90°，CEED又平面A1DE平面BCD，CE平面A1DE，CEDA1又DA1A1E，A1EEC=E，DA1平面A1CE，A1CE即為直線CD與平面A1CE所成的角在RtA1CD中，sinA1CD，即直線CD與平面A1CE所成角的正弦值為 14分21解： (1)設(shè)圓心, 則由題意得 ，化簡得，即動圓圓心的軌跡的方程為7分 (2) 解法一：由題意可知直線AB的斜率存在且不為零, 可設(shè)的方程為,并設(shè)，聯(lián)立: 代入整理得 從而有 , 9分又 , 又， 11分Þ，展開即得，將代入得,得：，14分故直線經(jīng)過這個定點 15分解法二：設(shè)，設(shè)，與聯(lián)立，得，則，同理，即由: 代入，整理得恒成立則 故直線經(jīng)過這個定點15分22（）解法一：因為函數(shù)f（x）=x2+2|xa|又函數(shù)y=f（x）為偶函數(shù)，所以任取xR，則f（x）=f（x）恒成立，即（x）2+2|xa|=x2+2|xa|恒成立（3分）所以|xa|=|x+a|恒成立，兩邊平方得：x22ax+a2=x2+2ax+a2所以4ax=0，因為x為任意實數(shù)，所以a=0（5分） 解法二（特殊值法）：因為函數(shù)y=f（x）為偶函數(shù)，所以f（1）=f（1），得|1a|=|1+a|，得：a=0所以f（x）=x2+2|x|，故有f（x）=f（x），即f（x）為偶函數(shù)（5分）（）若，則（8分）由函數(shù)的圖像可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為及10分(3)不等式化為即： (*)對任意的恒成立因為，所以分如下情況討論：13分150xa時，不等式（*）化為4（xa）+2x（1+a）x2+2x1，即x2+4x+12a0對任意的x0，a恒成立，因為函數(shù)g（x）=x2+4x+12a在區(qū)間0，a上單調(diào)遞增，則g（0）最小，所以只需g（0）0即可，得，又a0所以（12分）ax1+a時，不等式（*）化為4（xa）+2x（1+a）x2+2x1，即x24x+1+6a0對任意的x（a，1+a恒成立，由，知：函數(shù)h（x）=x24x+1+6a在區(qū)間（a，1+a上單調(diào)遞減，則只需h（1+a）0即可，即a2+4a20，得或因為所以，由得（14分）x1+a時，不等式（*）化為4（xa）2x（1+a）x2+2x1，即x2+2x30對任意的x（a+1，+）恒成立，因為函數(shù)（x）=x2+2x3在區(qū)間（a+1，+）上單調(diào)遞增，則只需（a+1）0即可，即a2+4a20，得或，由得綜上所述得，a的取值范圍是（16分）