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1、2022年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 專題09 圓錐曲線分項(xiàng)練習(xí)（含解析）文 一．基礎(chǔ)題組 1. 【xx課標(biāo)全國(guó)Ⅱ，文5】設(shè)橢圓C：(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P是C上的點(diǎn)，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，則C的離心率為(　　) A． B． C． D． 【答案】：D ∴，∴. 2. 【xx全國(guó)新課標(biāo)，文4】設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓E：(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，P為直線上一點(diǎn)，△F2PF1是底角為30°的等腰三角形，則E的離心率為(　　) A． B． C． D． 【答案】C　 【解析】設(shè)直線與x軸交于點(diǎn)M，

2、則∠PF2M＝60°，在Rt△PF2M中，PF2＝F1F2＝2c，，故，解得，故離心率． 3. 【xx全國(guó)新課標(biāo)，文5】中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的一條漸近線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4，－2)，則它的離心率為(　　) A. B. C. D. 【答案】D　 【解析】＝＝＝＝e＝. 4. 【xx全國(guó)2，文5】已知的頂點(diǎn)B、C在橢圓上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上，則的周長(zhǎng)是( ) （A）　　　?。˙）6　　　　（C）　　　?。―）12 【答案】C 【解析】由橢圓的定義橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和等于長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a，可得△ABC的周長(zhǎng)為，所以選C. 5.

3、 【xx全國(guó)2，文5】拋物線上一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，則點(diǎn)與拋物線焦點(diǎn)的距離為（ ） (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 【答案】D 6. 【xx全國(guó)2，文6】雙曲線的漸近線方程是（ ） (A) (B) (C) (D) 【答案】C 【解析】由題意知：，∴雙曲線的漸近線方程是. 7. 【xx新課標(biāo)2，文5】若，則雙曲線的離心率的取值范圍是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由題意，因?yàn)?，所以，則，故選C. 【考點(diǎn)】雙曲線離心率 【名師點(diǎn)睛】解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問(wèn)題的關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于

4、的方程或不等式，再根據(jù)的關(guān)系消掉得到的關(guān)系式，而建立關(guān)于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等. 8. 【xx新課標(biāo)2文數(shù)】已知雙曲線過(guò)點(diǎn),且漸近線方程為,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ． 【答案】 【解析】 【考點(diǎn)定位】本題主要考查雙曲線幾何性質(zhì)及計(jì)算能力. 【名師點(diǎn)睛】本題是求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,若設(shè)標(biāo)準(zhǔn)形式,需先判斷焦點(diǎn)是在x軸上,還是在y軸上,而此題解法通過(guò)設(shè)共漸近線的雙曲線的方程,就不需要判斷雙曲線焦點(diǎn)是在x軸上,還是在y軸上.一般的結(jié)論是：以為漸近線的雙曲線的方程可設(shè)為. 二．能力題組 1. 【xx全國(guó)2，文10】設(shè)為拋物線的焦

5、點(diǎn)，過(guò)且傾斜角為的直線交于,兩點(diǎn)，則 （ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】C 【解析】由題意，得．又因?yàn)?，故直線AB的方程為，與拋物線聯(lián)立，得，設(shè)，由拋物線定義得， ，選C． 2. 【xx課標(biāo)全國(guó)Ⅱ，文10】設(shè)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，直線l過(guò)F且與C交于A，B兩點(diǎn)．若|AF|＝3|BF|，則l的方程為(　　)． A．y＝x－1或y＝－x＋1 B．y＝或y＝ C．y＝或y＝ D．y＝或y＝ 【答案】：C 設(shè)|AM|＝|AF|＝3t(t＞0)，|BN|＝|BF|＝t，|BK|＝

6、x，而|GF|＝2， 在△AMK中，由，得， 解得x＝2t，則cos∠NBK＝， ∴∠NBK＝60°，則∠GFK＝60°，即直線AB的傾斜角為60°. ∴斜率k＝tan 60°＝，故直線方程為y＝． 當(dāng)直線l的斜率小于0時(shí)，如圖所示，同理可得直線方程為y＝，故選C. 3. 【xx全國(guó)新課標(biāo)，文10】等軸雙曲線C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，C與拋物線y2＝16x的準(zhǔn)線交于A，B兩點(diǎn)，，則C的實(shí)軸長(zhǎng)為(　　) A． B． C．4 D．8 【答案】 C　 4. 【xx全國(guó)2，文9】已知雙曲線的一條漸近線方程為，則雙曲線的離心率為( ) （A）　

7、　　?。˙）　　　?。–）　　　?。―） 【答案】A 【解析】雙曲線的一條漸近線方程為，與相同，∴， ∴. 5. 【xx全國(guó)3，文9】已知雙曲線的焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)M在雙曲線上且則點(diǎn)M到x軸的距離為 （ ） A． B． C． D． 【答案】C ∴. 6.【xx新課標(biāo)2，文12】過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且斜率為的直線交于點(diǎn)（在的 軸上方），為的準(zhǔn)線，點(diǎn)在上且,則到直線的距離為 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由題知，與拋物線聯(lián)立得，解得， 所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所? 所以到直線的距離為.

8、 【考點(diǎn)】直線與拋物線位置關(guān)系 【名師點(diǎn)睛】直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，一般轉(zhuǎn)化為直線方程與圓錐曲線方程組成的方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系或求根公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，涉及弦長(zhǎng)的問(wèn)題中，應(yīng)熟練地利用根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)而不求法計(jì)算弦長(zhǎng)；涉及垂直關(guān)系時(shí)也往往利用根與系數(shù)的關(guān)系、設(shè)而不求法簡(jiǎn)化運(yùn)算；涉及過(guò)焦點(diǎn)的弦的問(wèn)題，可考慮用圓錐曲線的定義求解；涉及中點(diǎn)弦問(wèn)題往往利用點(diǎn)差法. 7.【xx新課標(biāo)2文數(shù)】設(shè)F為拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，曲線y=（k>0）與C交于點(diǎn)P，PF⊥x軸，則k= （A） （B）1 （C） （D）2 【答案】D 【解析】 試題分析：因?yàn)槭菕佄锞€

9、的焦點(diǎn)，所以， 又因?yàn)榍€與交于點(diǎn)，軸，所以，所以，選D. 【考點(diǎn)】 拋物線的性質(zhì)，反比例函數(shù)的性質(zhì) 【名師點(diǎn)睛】拋物線方程有四種形式，注意焦點(diǎn)的位置. 對(duì)于函數(shù)y= ，當(dāng)時(shí)，在，上是減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在，上是增函數(shù). 三．拔高題組 1. 【xx全國(guó)2，文12】已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，過(guò)右焦點(diǎn)F且斜率為k(k＞0)的直線與C相交于A、B兩點(diǎn)，若＝3，則k等于(　　) A．1 B. C. D．2 【答案】：B　 又∵＝3， ∴＝3， ∴|AA1|＝， ∴|AM|＝|AA1|－|MA1|＝|AA1|－|BB1|＝，而|AB|＝|AF|＋|FB|＝

10、4|FB|， 在Rt△BAM中，cos∠BAM＝＝＝＝， ∴sin∠BAM＝，∴k＝tan∠BAM＝. 2. 【xx全國(guó)2，文11】已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍,則橢圓的離心率為( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】：D 3. 【xx全國(guó)2，文12】設(shè)F1,F2分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，若點(diǎn)P在雙曲線上,且，則( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】：B 【解析】∵，∴，∴， ∴. 4. 【xx全國(guó)2，文11】過(guò)點(diǎn)（－1，0）作拋物線的切線，則其中一條切線為( ) （A） （B） （C） （D

11、） 【答案】D 【解析】 5. 【xx全國(guó)3，文10】設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、、F2，過(guò)F2作橢圓長(zhǎng)軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，若△F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 6. 【xx全國(guó)2，文15】已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的準(zhǔn)線為l，過(guò)M(1,0)且斜率為的直線與l相交于點(diǎn)A，與C的一個(gè)交點(diǎn)為B，若＝，則p＝________. 【答案】：2 【解析】：l：x＝－，過(guò)M(1,0)且斜率為的直線為y＝ (x－1)，聯(lián)立得 解得∴A(－，－ (＋1))． 又∵＝

12、，∴M點(diǎn)為AB的中點(diǎn)．∴B點(diǎn)坐標(biāo)為(＋2， (＋1))． 將B(＋2， (＋1))代入y2＝2px(p＞0)，得3(＋1)2＝2p(＋2)， 解得p＝2或p＝－6(舍)． 7. 【xx全國(guó)2，文22】已知斜率為1的直線l與雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)相交于B、D兩點(diǎn)，且BD的中點(diǎn)為M(1,3)． (1)求C的離心率； (2)設(shè)C的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，|DF|·|BF|＝17，證明過(guò)A、B、D三點(diǎn)的圓與x軸相切． ×＝1，即b2＝3a2， ② 故c＝＝2a，所以C的離心率e＝＝2. (2)由①②知，C的方程為3x2－y

13、2＝3a2， A(a,0)，F(xiàn)(2a,0)，x1＋x2＝2，x1·x2＝－＜0， 故不妨設(shè)x1≤－a，x2≥a. |BF|＝＝＝a－2x1， |FD|＝＝＝2x2－a. 所以過(guò)A、B、D三點(diǎn)的圓與x軸相切． 8. 【xx全國(guó)2，文22】（本小題滿分１２分） 已知拋物線的焦點(diǎn)為F，A、B是拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn)，且過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，設(shè)其交點(diǎn)為M。 （I）證明為定值； （II）設(shè)的面積為S，寫(xiě)出的表達(dá)式，并求S的最小值。 【解析】：(Ⅰ)由已知條件，得F(0，1)，λ＞0． 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．由＝λ， 即得　　(－x1，1－y)＝λ(x2，y

14、2－1)， 將①式兩邊平方并把y1＝x12，y2＝x22代入得　　y1＝λ2y2 ③ 解②、③式得y1＝λ，y2＝，且有x1x2＝－λx22＝－4λy2＝－4， 拋物線方程為y＝x2，求導(dǎo)得y′＝x． 所以過(guò)拋物線上A、B兩點(diǎn)的切線方程分別是 y＝x1(x－x1)＋y1，y＝x2(x－x2)＋y2， 即y＝x1x－x12，y＝x2x－x22． 解出兩條切線的交點(diǎn)M的坐標(biāo)為(，)＝(，－1)． ……4分 所以·＝(，－2)·(x2－x1，y2－y1)＝(x22－x12)－2(x22－x12)＝0 所以·為定值，其值為0．　　　……7分 9. 【xx全國(guó)2，文

15、22】(本小題滿分14分) 、、、四點(diǎn)都在橢圓上，為橢圓在軸正半軸上的焦點(diǎn)．已知與共線，與共線，且．求四邊形的面積的最小值和最大值． 【解析】：如圖，由條件知MN和PQ是橢圓的兩條弦，相交于焦點(diǎn)F(0,1)，且PQ⊥MN，直線PQ、NM中至少有一條存在斜率，不妨設(shè)PQ的斜率為K，又PQ過(guò)點(diǎn)F(0,1)，故PQ的方程為=+1 將此式代入橢圓方程得(2+)+2－1=0 設(shè)P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(，)，(，)，則 從而 亦即 (1)當(dāng)≠0時(shí)，MN的斜率為－，同上可推得 故四邊形面積 令=得 ∵=≥2 10. 【xx新課標(biāo)2文數(shù)】(本小題滿分12分) 已知A是橢圓

16、E：的左頂點(diǎn)，斜率為的直線交E于A，M兩點(diǎn)，點(diǎn)N在E上，. (Ⅰ)當(dāng)時(shí)，求的面積 (Ⅱ) 當(dāng)時(shí)，證明：. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見(jiàn)解析. 【解析】 將代入得. 解得或，所以. 因此的面積. （Ⅱ）將直線的方程代入得 . 由得，故. 由題設(shè)，直線的方程為，故同理可得. 由得，即. 設(shè)，則是的零點(diǎn)，，所以在單調(diào)遞增.又，因此在有唯一的零點(diǎn)，且零 點(diǎn)在內(nèi)，所以. 【考點(diǎn)】橢圓的性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系 【名師點(diǎn)睛】對(duì)于直線與橢圓的位置關(guān)系問(wèn)題，通常將直線方程與橢圓方程聯(lián)立進(jìn)行求解，注意計(jì)算的準(zhǔn)確性. 11. 【xx全國(guó)新課標(biāo)，文20】設(shè)拋物線C：x2＝2py(

17、p＞0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，A為C上一點(diǎn)，已知以F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓F交l于B，D兩點(diǎn)． (1)若∠BFD＝90°，△ABD的面積為，求p的值及圓F的方程； (2)若A，B，F(xiàn)三點(diǎn)在同一直線m上，直線n與m平行，且n與C只有一個(gè)公共點(diǎn)，求坐標(biāo)原點(diǎn)到m，n距離的比值． 所以F(0,1)，圓F的方程為x2＋(y－1)2＝8. (2)因?yàn)锳，B，F(xiàn)三點(diǎn)在同一直線m上， 所以AB為圓F的直徑，∠ ADB＝90°. 由拋物線定義知|AD|＝|FA|＝|AB|， 所以∠ABD＝30°，m的斜率為或. 當(dāng)m的斜率為時(shí)，由已知可設(shè)n：y＝x＋b，代入x2＝2py，得x2－px－2pb

18、＝0. 由于n與C只有一個(gè)公共點(diǎn)，故＝p2＋8pb＝0， 解得. 因?yàn)閙的截距，，所以坐標(biāo)原點(diǎn)到m，n距離的比值為3. 當(dāng)m的斜率為時(shí)，由圖形對(duì)稱性可知，坐標(biāo)原點(diǎn)到m，n距離的比值為3. 12.【xx新課標(biāo)2，文20】（12分） 設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C上，過(guò)M作x軸的垂線，垂足為N，點(diǎn)P滿足. （1）求點(diǎn)P的軌跡方程； （2）設(shè)點(diǎn)在直線上，且.證明：過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ的直線過(guò)C的左焦點(diǎn)F. 【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析. 【解析】 因?yàn)镸（）在C上，所以. 因此點(diǎn)P的軌跡方程為. （2）由題意知F（?1,0），設(shè)Q（?3，t），P（m，n），則 ， .

19、 由得，又由（1）知，故 . 所以，即.又過(guò)點(diǎn)P存在唯一直線垂直于OQ，所以過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過(guò)C的左焦點(diǎn)F. 【考點(diǎn)】求軌跡方程，直線與橢圓位置關(guān)系 【名師點(diǎn)睛】定點(diǎn)、定值問(wèn)題通常是通過(guò)設(shè)參數(shù)或取特殊值來(lái)確定“定點(diǎn)”是什么、“定值”是多少，或者將該問(wèn)題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問(wèn)題，證明該式是恒成立的. 定點(diǎn)、定值問(wèn)題同證明問(wèn)題類似，在求定點(diǎn)、定值之前已知該值的結(jié)果，因此求解時(shí)應(yīng)設(shè)參數(shù)，運(yùn)用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點(diǎn)、定值顯現(xiàn). 13.【xx新課標(biāo)2文數(shù)】（本小題滿分12分）已知橢圓 的離心率為,點(diǎn)在C上. （I）求C的方程； （II）直線l不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O,且不平

20、行于坐標(biāo)軸,l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,線段AB中點(diǎn)為M,證明：直線OM的斜率與直線l的斜率乘積為定值. 【答案】（I）（II）見(jiàn)試題解析 試題解析： 解：（I）由題意有 解得,所以橢圓C的方程為. （II）設(shè)直線,,把代入 得 故 于是直線OM的斜率 即,所以直線OM的斜率與直線l的斜率乘積為定值. 【考點(diǎn)定位】本題主要考查橢圓方程、直線與橢圓及計(jì)算能力、邏輯推理能力. 【名師點(diǎn)睛】本題第一問(wèn)求橢圓方程的關(guān)鍵是列出關(guān)于的兩個(gè)方程,通過(guò)解方程組求出,解決此類問(wèn)題要重視方程思想的應(yīng)用；第二問(wèn)是證明問(wèn)題,解析幾何中的證明問(wèn)題通常有以下幾類：證明點(diǎn)共線或直線過(guò)定點(diǎn)；證明垂直；證明定值問(wèn)題.

21、 14.【xx全國(guó)2，文20】（本小題滿分12分） 設(shè)分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)且與軸垂直，直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為. （Ⅰ）若直線的斜率為，求的離心率； （Ⅱ）若直線在軸上的截距為，且，求. 【解析】 則即代入C的方程，得，②將①及代入②得 ．解得，，故． 15. 【xx課標(biāo)全國(guó)Ⅱ，文20】(本小題滿分12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓P在x軸上截得線段長(zhǎng)為在y軸上截得線段長(zhǎng)為. (1)求圓心P的軌跡方程； (2)若P點(diǎn)到直線y＝x的距離為，求圓P的方程． 【解析】：(1)設(shè)P(x，y)，圓P的半徑為r. 16. 【xx全國(guó)新課標(biāo)，文20】設(shè)F1、F2分別是

22、橢圓E：x2＋＝1(0＜b＜1)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F1的直線l與E相交于A，B兩點(diǎn)，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差數(shù)列． (1)求|AB|； (2)若直線l的斜率為1，求b的值． 【解析】：(1)由橢圓定義知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4， 又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝. (2)l的方程為y＝x＋c，其中c＝. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程組 化簡(jiǎn)得(1＋b2)x2＋2cx＋1－2b2＝0. 則x1＋x2＝，x1x2＝. 因?yàn)橹本€AB的斜率為1，所以|AB|＝|x2－x1|， 即＝|x2－x1|. 則＝(x1＋x2)2－4x1x2＝， 解得b＝. 17. 【xx全國(guó)3，文22】 (本小題滿分14分) 設(shè)兩點(diǎn)在拋物線上，是AB的垂直平分線， （Ⅰ）當(dāng)且僅當(dāng)取何值時(shí)，直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F？證明你的結(jié)論； （Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求直線的方程. ……………7分 即的斜率存在時(shí)，不可能經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)……………………………………8分