2022年高考數(shù)學精英備考專題講座 第三講數(shù)列與不等式 第一節(jié)數(shù)列及其應(yīng)用 文 數(shù)列是高中數(shù)學重要內(nèi)容，是高考命題的熱點.縱觀近幾年的高考試題,對等差和等比數(shù)列的概念、通項公式、性質(zhì)、前項和公式,對增長率、分期付款等數(shù)列實際應(yīng)用題多以客觀題和中低檔解答題為主，對數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式、三角函數(shù)、解析幾何等相結(jié)合的綜合題的考查多屬于中高檔題,甚至是壓軸題,難度值一般控制在之間. 考試要求（1）數(shù)列的概念和簡單表示法①了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖像、通項公式）.②了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù).（2）等差數(shù)列、等比數(shù)列① 理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念.② 掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式.?、?能在具體的問題情境中，識別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題.?、?了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系. 題型一 等差、等比數(shù)列的概念與性質(zhì) 例1．已知等比數(shù)列中，各項都是正數(shù)，且、、2成等差數(shù)列，求 ; 【點撥】依據(jù)等差中項的概念先求等比數(shù)列的公比，再利用等比數(shù)列的性質(zhì)求值. 【解】依題意可得：，即，則有可得，解得或（舍） 所以; 【易錯點】（1）等差數(shù)列與等比數(shù)列只有一字之差，部分同學經(jīng)常出現(xiàn)審題不仔細的現(xiàn)象；（2）等差中項與等比中項的性質(zhì)混淆，概念模糊不清；（3）對等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)及公式的變式不熟悉，往往要先計算等量，一旦計算量大一點，解題受阻. 變式與引申1：等差數(shù)列的前n項和為，公差 . （1）求的值; （2）當為最小時，求的值. 題型二：數(shù)列的通項與求和 例2．（xx年全國卷理科第17題）等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且 （Ⅰ）求數(shù)列的通項公式. （Ⅱ ）設(shè) 求數(shù)列的前項和. 【點撥】（1）等比數(shù)列中，已知兩條件可以算出兩個基本量,再進一步求通項.（2）分組求和、倒序相加、錯位相減、裂項相消等是常用的求和方法，這里利用（1）的結(jié)論以及的關(guān)系求的通項公式，根據(jù)裂項相消求數(shù)列前 項和 . 【解】 （Ⅰ）設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由得所以。有條件可知a>0,故。 由得，所以。故數(shù)列{an}的通項式為an=。 （Ⅱ ） 故 所以數(shù)列的前n項和為 【易錯點】（1）沒有注意條件a>0，公比計算錯；（2）在求的通項公式時，遺漏了負號；不會將化為. 變式與引申2已知是數(shù)列{}的前n項和，并且=1，對任意正整數(shù)n，；設(shè)）. （1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項公式； （2）設(shè)的前n項和，求. 3. 等比數(shù)列{}的前n項和為， 已知對任意的，點，均在函數(shù)且均為常數(shù))的圖像上. （1）求r的值； （2）當b=2時，記 求數(shù)列的前項和. 題型三：數(shù)列的實際應(yīng)用 例3. 為了解某校高三學生的視力情況，隨機地抽查了該校100名高三學生的視力情況，得到頻率分布直方圖，如右圖所示；由于不慎將部分數(shù)據(jù)丟失，但知道前4組的頻數(shù)從左到右依次是等比數(shù)列的前四項，后6組的頻數(shù)從左到右依次是等差數(shù)列的前六項. (1)求數(shù)列和的通項公式； (2)求視力不小于5.0的學生人數(shù)； (3)設(shè),求數(shù)列的通項公式. 【點撥】（1）頻率分布直方圖是解決問題的關(guān)??；（2）已知前兩項的頻數(shù)，前4組的頻數(shù)從左到右依次是等比數(shù)列的前四項，可求，后6組的頻數(shù)從左到右依次是等差數(shù)列的前六項，，的前六項和可求，得，（3）求得、后，根據(jù)題設(shè)條件，按遞推公式求通項公式方法求出. 【解】(1)由題意知 因此數(shù)列是一個首項.公比為3的等比數(shù)列，所以 ，又=100—(1+3+9)， 所以=87,解得 因此數(shù)列是一個首項,公差為—5的等差數(shù)列, 所以 (2) 求視力不小于5.0的學生人數(shù)為 (3) 由① 可知，當時，② ①－②得，當時， , , 又因此數(shù)列是一個從第2項開始的公比為3的等比數(shù)列, 數(shù)列的通項公式為 . 【易錯點】（1）不理解的意義，解題找不到切入點；（2）計算數(shù)列的通項公式時忽略“全校100名學生”這個重要的已知條件，導致前兩問的結(jié)果都不正確；（3）求出、后，由題設(shè)條件不能正確地找出求的方法；（4）計算由①式變?yōu)棰谑綍r，缺少這個條件. 變式與引申4： 某地為了防止水土流失，植樹造林，綠化荒沙地，每年比上一年多植相同畝數(shù)的林木，但由于自然環(huán)境和人為因素的影響，每年都有相同畝數(shù)的土地沙化，具體情況為下表所示： xx年 xx年 xx年 新植畝數(shù) 1000 1400 1800 沙地畝數(shù) 25200 24000 22400 而一旦植完，則不會被沙化． 問：（1）每年沙化的畝數(shù)為多少； （2）到那一年可綠化完全部荒沙地. 題型四：數(shù)列綜合題 例4根據(jù)如圖所示的程序框圖，將輸出的x、y值依次分別記為，． （1）求數(shù)列的通項公式； （2）寫出，由此猜想出數(shù)列； 的一個通項公式，并證明你的結(jié)論; （3）求． 【點撥】（1）程序框圖與數(shù)列的聯(lián)系是新課標背景下的新鮮事物，因為程序框圖中循環(huán)，與數(shù)列的各項一一對應(yīng)，所以，這方面的內(nèi)容是命題的新方向，應(yīng)引起重視；（2）由循環(huán)體寫出數(shù)列的遞推公式，再由遞推公式求出數(shù)列的通項公式是解決問題 的關(guān)??；（3）掌握錯位相減法求數(shù)列的前項和及數(shù)列求和的一般方法. 【解】（1）由框圖，知數(shù)列中 ∴ （2）y1=2，y2=8，y3=26，y4=80. 由此，猜想 證明：由框圖，知數(shù)列{yn}中，， ， ∴數(shù)列{yn+1}是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列， （3） =1×3+3×32+…+（2n－1）·3n－[1+3+…+（2n－1）] 記Sn=1×3+3×32+…+（2n－1）·3n，① 則3Sn=1×32+3×33+…+（2n－1）×3n+1 ② ①－②，得－2Sn=3+2·32+2·33+…+2·3n－（2n－1）·3n+1=2（3+32+…+3n）－3－（2n－1）·3n+1 = ∴ 又1+3+…+（2n－1）=n2 ∴. 【易錯點】（1）根據(jù)框圖不能正確寫出數(shù)列的遞推公式，解題受阻，（2）對數(shù)列求和的方法及每種方法所適合的題型認識不清，盲目求和；（3）對指數(shù)運算不夠熟悉，導致利用錯位相減法計算出的結(jié)果不正確. 變式與引申5：已知數(shù)列中，在直線y=x上，其中n=1,2,3…. （1）令求證數(shù)列是等比數(shù)列; （2）求數(shù)列的通項； ⑶ 設(shè)的前n項和,是否存在實數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，試求出.若不存在,則說明理由. 本節(jié)主要考查：（1）數(shù)列的有關(guān)概念，遞推公式；等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義、判定方法、性質(zhì)、通項公式和前項和公式，數(shù)列求和及數(shù)列的應(yīng)用（2）數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，而函數(shù)又是高中數(shù)學的重要內(nèi)容，所以數(shù)列常與導數(shù)、不等式、三角、解析幾何、概率及算法等知識點交融命題，解決數(shù)列的通項公式及前項和、證明不等關(guān)系等問題（3）簡單的遞推公式求通項公式的方法，分組求和、倒序相加、裂項求和、錯位相減等數(shù)列求和方法（4）著重考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化、分類討論等重要的數(shù)學思想. 點評：（1）“巧用性質(zhì)、減少運算量”在等差、等比數(shù)列的計算問題中非常重要，樹立“目標意識”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地運用條件，又要時刻注意解題的目標； （2）數(shù)列中與的關(guān)系一直是高考的熱點，求數(shù)列的通項公式是最為常見的題型，要切實注意與之間關(guān)系的轉(zhuǎn)化.如：， =等； （3）等差、等比數(shù)列的基本知識是必考內(nèi)容，這類考題既有選擇題，填空題，又有解答題；有容易題、中等題，也有難題，在掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、性質(zhì)、通項公式、前n項和公式的基礎(chǔ)上，充分理解公式的變式及適用范圍，深化數(shù)學思想方法在解題實踐中的指導作用，靈活地運用數(shù)列知識和方法解決數(shù)學和實際生活中的有關(guān)問題； （4）求和問題也是常見的試題，等差數(shù)列、等比數(shù)列及可以轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求和問題應(yīng)掌握，還應(yīng)該掌握一些特殊數(shù)列的求和方法，如公式法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等； （5）在解決綜合題和探索性問題實踐中加深對基礎(chǔ)知識、基本技能和基本數(shù)學思想方法的認識，溝通各類知識的聯(lián)系，形成更完整的知識網(wǎng)絡(luò)， 進一步培養(yǎng)閱讀理解和創(chuàng)新能力，綜合運用數(shù)學思想方法分析問題與解決問題的能力； （6）解答數(shù)列綜合問題要善于綜合運用函數(shù)方程思想、化歸轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學思想以及特例分析法，一般遞推法，數(shù)列求和及求通項等方法來分析、解決問題．數(shù)列與解析幾何的綜合問題解決的策略往往是把綜合問題分解成幾部分，先利用解析幾何的知識以及數(shù)形結(jié)合得到數(shù)列的通項公式，然后再利用數(shù)列知識和方法求解． 習題3－1 1．（xx安徽文數(shù)）.若數(shù)列的通項公式是,則 （A） 15 (B) 12 (C ) (D) 2．等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項和分別為Sn、Tn，若=，則=_________． 3．數(shù)列中，，（是不為零的常數(shù)，），且成等比數(shù)列． （1）求的值； （2）求的通項公式； （3）求數(shù)列的前項之和． 5．已知數(shù)列滿足且 （1）求的表達式； （2）求； 【答案】 變式與引申1【解析】根據(jù)題意，點適合拋物線有以下特點①開口向上，②過原點，③對稱軸，（1）由對稱性可知，另一交點為，表明.（2）當為最小時，. 變式與引申2 【解析】（1） 兩式相減： 是以2為公比的等比數(shù)列， （2） 而 3.解 （1）因為對任意的,點，均在函數(shù)且均為常數(shù))的圖像上.所以得, 當時,, 當時,, 又因為{}為等比數(shù)列, 所以, 公比為, 所以 （2）當b=2時，, 則 相減,得= 所以 變式與引申4 變式與引申5解：（1）由已知得 又 是以為首項，以為公比的等比數(shù)列. （2）由（I）知， 將以上各式相加得： （3）存在，使數(shù)列是等差數(shù)列. 數(shù)列是等差數(shù)列的充要條件是、是常數(shù) 即 又 當且僅當，即時，數(shù)列為等差數(shù)列. 習題3－1 1. 【答案】A 【解析】法一：分別求出前10項相加即可得出結(jié)論； 法二：，故.故選A. 2. 【答案】； 【解析】==． 3. 【解析】（1），，， 因為，，成等比數(shù)列， 所以， 解得或． ∵c≠0，∴． （2）當時，由于 ，，， 所以． 又，，故．當時，上式也成立， 所以． （3）令 ……① ……② ①-②得： 4. 【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的導數(shù)求切線方程，然后再求切線與軸的交點坐標；（2）嘗試求出通項的表達式，然后再求和． 【解】（Ⅰ）設(shè)，由得點處切線方程為 由得。 （ Ⅱ），得， ①—②，得