第一講三角函數的圖象與性質考點一三角函數的定義、誘導公式及基本關系1三角函數的定義若角的終邊過點P(x，y)，則sin，cos，tan(其中r)2誘導公式(1)sin(2k)sin(kZ)，cos(2k)cos(kZ)，tan(2k)tan(kZ)(2)sin()sin，cos()cos，tan()tan.(3)sin()sin，cos()cos，tan()tan.(4)sin()sin，cos()cos，tan()tan.(5)sincos，cossin，sincos，cossin.3基本關系sin2xcos2x1，tanx.對點訓練1(2018·山東壽光一模)若角的終邊過點A(2,1)，則sin()A B C. D.解析根據三角函數的定義可知cos，則sincos，故選A.答案A2已知sin，則cos()A B. C. D解析coscossinsinsinsin.答案A3已知P(sin40°，cos140°)為銳角終邊上的點，則()A40° B50° C70° D80°解析P(sin40°，cos140°)為角終邊上的點，因而tantan50°，又為銳角，則50°，故選B.答案B4(2018·福建泉州質檢)已知為第四象限角，sin3cos1，則tan_.解析由(sin3cos)21sin2cos2，得6sincos8cos2，又因為為第四象限角，所以cos0，所以6sin8cos，所以tan.答案快速審題(1)看到終邊上點的坐標，想到三角函數的定義(2)看到三角函數求值，想到誘導公式及切弦互化誘導公式及三角函數關系式的應用策略(1)已知角求值問題，關鍵是利用誘導公式把任意角的三角函數值轉化為銳角的三角函數值求解轉化過程中注意口訣“奇變偶不變，符號看象限”的應用(2)對給定的式子進行化簡或求值時，要注意給定的角之間存在的特定關系，充分利用給定的式子，結合誘導公式將角進行轉化考點二三角函數的圖象與解析式1“五點法”作函數yAsin(x)的圖象設zx，令z0，2，求出x的值與相應的y的值，描點、連線可得2兩種圖象變換解析(1)f(x)cossinsin，只需將函數g(x)sin的圖象向左平移個單位長度即可得到f(x)的圖象故選C.(2)由，得T，又知T，2，f(x)2sin(2x)又知f2，2sin2，即sin1.2k(kZ)2k(kZ)，又<<0，.答案(1)C(2)解決三角函數圖象問題的策略(1)已知函數yAsin(x)(A>0，>0)的圖象求解析式時，常采用待定系數法，由圖中的最高點、最低點或特殊點求A；由函數的周期確定；確定常根據“五點法”中的五個點求解，其中一般把第一個零點作為突破口，可以從圖象的升降找準第一個零點的位置(2)在圖象變換過程中務必分清是先相位變換，還是先周期變換，變換只是相對于其中的自變量x而言的，如果x的系數不是1，就要把這個系數提取后再確定變換的單位長度和方向對點訓練1原創(chuàng)題將函數f(x)sin(x)圖象上每一點的橫坐標先伸長為原來的2倍(縱坐標不變)，再向左平移個單位長度得到y(tǒng)sinx的圖象，則函數f(x)的單調遞增區(qū)間為()A.，kZB.，kZC.，kZD.，kZ解析解法一：將函數f(x)sin(x)圖象上每一點的橫坐標伸長為原來的2倍(縱坐標不變)，則函數變?yōu)閥sin，再向左平移個單位長度得到的函數為ysinsinsinx，又>0，所以又<，所以2，所以f(x)sin，由2k2x2k，kZ，可得kxk，kZ.故選C.解法二：將ysinx的圖象向右平移個單位長度得到的函數為ysin，將函數ysin的圖象上每一點的橫坐標縮短為原來的(縱坐標不變)，則函數變?yōu)閥sinf(x)，由2k2x2k，kZ，可得kxk，kZ，故選C.答案C2(2018·湖北七市(州)3月聯(lián)考)函數f(x)Asin(x)的部分圖象如圖所示，若x1，x2，x1x2且f(x1)f(x2)，則f(x1x2)()A1 B. C. D.解析由題圖知A1，函數f(x)的最小正周期T2，所以，即2，所以f(x)sin(2x)，又因為點在圖象的上升段上，所以2k(kZ)，所以2k(kZ)，又|<，所以，故f(x)sin，可知在上，函數f(x)的圖象關于x對稱，因為x1，x2，f(x1)f(x2)，所以x1x2，所以f(x1x2)fsin.故選D.答案D考點三三角函數的性質1三角函數的單調區(qū)間ysinx的單調遞增區(qū)間是(kZ)，單調遞減區(qū)間是(kZ)；ycosx的單調遞增區(qū)間是2k，2k(kZ)，單調遞減區(qū)間是2k，2k(kZ)；ytanx的遞增區(qū)間是(kZ)2三角函數的奇偶性與對稱性yAsin(x)，當k(kZ)時為奇函數；當k(kZ)時為偶函數；對稱軸方程可由xk(kZ)求得yAcos(x)，當k(kZ)時為奇函數；當k(kZ)時為偶函數；對稱軸方程可由xk(kZ)求得yAtan(x)，當k(kZ)時為奇函數角度1：研究三角函數的單調性、奇偶性、周期性解析f(x)的最小正周期為，2，f(x)的圖象向右平移個單位后得到g(x)sinsin的圖象，又g(x)的圖象關于原點對稱，k，kZ，k，kZ，又|<，<，k1，f(x)sin，當x時，2x，A、C錯誤，當x時，2x，B正確，D錯誤答案B探究追問在本例中條件不變，若將“圖象關于原點對稱”改為“圖象關于y軸對稱”，則f(x)的圖象對稱性是怎樣的？解析g(x)的圖象關于y軸對稱，則k，kZ，可求，f(x)sin，2xk，kZ，可得x，kZ，令k1，則x，故選D.答案D角度2：求三角函數的單調區(qū)間及最值解(1)f(x)2cosx·sinxsin2xcos2xsin2xcos2x2sin.由f(x)圖象的一個對稱中心，到最近的對稱軸的距離為，知·，即1.所以f(x)2sin，令2k2x2k，kZ.解得kxk，kZ.所以f(x)的單調遞增區(qū)間為(kZ)(2)因為0x，所以2x，所以sin1，所以1f(x)2.即函數f(x)的值域為1,2三角函數性質問題的解題策略(1)討論三角函數的單調性，研究函數的周期性、奇偶性與對稱性，都必須首先利用輔助角公式，將函數化成一個角的一種三角函數(2)求函數yAsin(x)(A>0，>0)的單調區(qū)間，是將x作為一個整體代入正弦函數增區(qū)間(或減區(qū)間)，求出的區(qū)間即為yAsin(x)的增區(qū)間(或減區(qū)間)，但是當A>0，<0時，需先利用誘導公式變形為yAsin(x)，則yAsin(x)的增區(qū)間即為原函數的減區(qū)間，減區(qū)間即為原函數的增區(qū)間(3)求函數yAsin(x)(A>0，>0)在某一區(qū)間的最值時，將x視為整體，借助正弦函數的圖象和性質求解對點訓練1角度1(2018·內蒙古赤峰二中三模)已知函數f(x)2sin1，則下列結論中錯誤的是()Af(x)的最小正周期為Bf(x)的圖象關于直線x對稱Cf(x)在區(qū)間上是增函數D函數f(x)的圖象可由g(x)2sin2x1的圖象向右平移個單位長度得到解析對于函數f(x)2sin1，由于它的最小正周期為，故A項正確；當x時，f(x)2sin11，函數取得最大值，故f(x)的圖象關于直線x對稱，故B項正確；當x在區(qū)間上時，2x，故f(x)在區(qū)間上是增函數，故C項正確；由于把g(x)2sin2x1的圖象向右平移個單位長度得到y(tǒng)2sin212sin1的圖象，故D項錯誤故選D.答案D2角度2(2018·河南濮陽一模)先將函數f(x)sinx的圖象上的各點向左平移個單位，再將各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?其中N*)，得到函數g(x)的圖象，若g(x)在區(qū)間上單調遞增，則的最大值為_解析由題意易知g(x)sin在區(qū)間上單調遞增，所以有kZ，即12k48k，kZ.由12k48k可得k，當k1時，所以正整數的最大值為9.答案91(2018·天津卷)將函數ysin的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應的函數()A在區(qū)間上單調遞增B在區(qū)間上單調遞減C在區(qū)間上單調遞增D在區(qū)間上單調遞減解析將ysin的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應的函數為ysinsin2x，令2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)所以ysin2x的遞增區(qū)間為(kZ)，當k1時，ysin2x在上單調遞增，故選A.答案A2(2018·全國卷)若f(x)cosxsinx在a，a是減函數，則a的最大值是()A. B. C. D解析f(x)cosxsinxcos，由題意得a>0，故a<，因為f(x)cos在a，a是減函數，所以解得0<a，所以a的最大值是，故選A.答案A3(2017·全國卷)設函數f(x)cos，則下列結論錯誤的是()Af(x)的一個周期為2Byf(x)的圖象關于直線x對稱Cf(x)的一個零點為xDf(x)在單調遞減解析f(x)的最小正周期為2，易知A正確；fcoscos31，為f(x)的最小值，故B正確；f(x)coscos，fcoscos0，故C正確；由于fcoscos1，為f(x)的最小值，故f(x)在上不單調，故D錯誤答案D4(2017·山東卷)設函數f(x)sinsin，其中0<<3.已知f0.(1)求；(2)將函數yf(x)的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍(縱坐標不變)，再將得到的圖象向左平移個單位，得到函數yg(x)的圖象，求g(x)在上的最小值解(1)因為f(x)sinsin，所以f(x)sinxcosxcosxsinxcosxsin.由題設知f0，所以k，kZ.故6k2，kZ，又0<<3，所以2.(2)由(1)得f(x)sin，所以g(x)sinsin.因為x，所以x，當x，即x時，g(x)取得最小值.高考對此部分內容主要以選擇、填空題的形式考查，難度為中等偏下，大多出現(xiàn)在612或第1415題位置上，命題的熱點主要集中于三角函數的定義、圖象與性質，主要考查圖象的變換，函數的單調性、奇偶性、周期性、對稱性及最值，并常與三角恒等變換交匯命題熱點課題7函數yAsin(x)的圖象和性質的綜合應用感悟體驗1(2018·西安三模)若將函數f(x)2sin的圖象向右平移個單位長度，所得圖象關于y軸對稱，則的最小正值是()A. B. C. D解析將函數f(x)2sin的圖象向右平移個單位長度后得到函數y2sin的圖象因為所得圖象關于y軸對稱，所以2k(kZ)，所以(kZ)當k1時，.故選A.答案A2(2018·湖南湘中高三聯(lián)考)已知函數f(x)sin(2x)，其中為實數，若f(x)對xR恒成立，且f>f()，則f(x)的單調遞增區(qū)間是()A.(kZ)B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)解析因為f(x)對xR恒成立，即1，所以k(kZ)因為f>f()，所以sin()>sin(2)，即sin<0，所以2k(kZ)，所以f(x)sin，所以由三角函數的單調性知2x(kZ)，得x(kZ)，故選C.答案C專題跟蹤訓練(十四)一、選擇題1若sin，且，則sin(2)()A. B. C D解析由sincos，且，得sin，所以sin(2)sin22sincos，故選D.答案D2(2018·福州質量檢測)若將函數y3cos的圖象向右平移個單位長度，則平移后圖象的一個對稱中心是()A. B. C. D.解析將函數y3cos的圖象向右平移個單位長度，得y3cos3cos的圖象，由2xk(kZ)，得x(kZ)，當k0時，x，所以平移后圖象的一個對稱中心是，故選A.答案A3(2018·安徽江南十校聯(lián)考)已知tan，則sin·(sincos)()A. B. C. D.解析sin·(sincos)sin2sin·cos，將tan代入，得原式，故選A.答案A4(2018·太原模擬試題)已知函數f(x)sinxcosx(>0)在(0，)上有且只有兩個零點，則實數的取值范圍為()A. B.C. D.解析f(x)2sin，設tx，因為0<x<，所以<t<，因為函數f(x)在(0，)上有且僅有兩個零點，所以<2，解得<，故選B.答案B5(2018·武漢綜合測試)如圖是函數yAsin(x)在區(qū)間上的圖象，為了得到這個函數的圖象，只需將函數ysinx(xR)的圖象上所有的點()A向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變B向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變C向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變D向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變解析由圖象可知，A1，最小正周期T，所以2.將點代入ysin(2x)可得，所以ysin，故只需將ysinx的圖象上所有的點向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的即可故選D.答案D6(2018·太原質檢)已知函數f(x)sin(x)，其圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為，且函數f是偶函數，下列判斷正確的是()A函數f(x)的最小正周期為2B函數f(x)的圖象關于點對稱C函數f(x)的圖象關于直線x對稱D函數f(x)在上單調遞增解析由題意得函數f(x)sin(x)的最小正周期為2×，所以，解得2.因為函數f是偶函數，所以2×k，kZ，即k，kZ，因為|<，所以，f(x)sin.函數f(x)的最小正周期為，A錯誤；因為fsin10，所以B錯誤；因為fsin±1，所以C錯誤；由2k2x2k，kZ得kxk，kZ，即函數f(x)的單調遞增區(qū)間為，kZ，令k1得函數f(x)的一個單調遞增區(qū)間為，因為，所以D正確綜上所述，故選D.答案D二、填空題7(2018·河北滄州模擬)已知角的頂點在坐標原點，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線2xy0上，則_.解析設點P(a,2a)(a0)為角終邊上任意一點，根據三角函數的定義有tan2，再根據誘導公式，得2.答案28(2018·河北石家莊一模)若函數f(x)sin(2x)cos(2x)(0<<)的圖象關于點對稱，則函數f(x)在上的最小值為_解析f(x)sin(2x)cos(2x)2sin，則由題意，知f2sin0，又因為0<<，所以<<，所以2，所以，所以f(x)2sin2x，又因為函數f(x)在上是減函數，所以函數f(x)在上的最小值為f2sin.答案9已知函數f(x)sinxcosxm(>0，xR，m是常數)圖象上的一個最高點為，且與點距離最近的一個最低點是，則函數f(x)的解析式為_解析f(x)sinxcosxm2sinm，因為點和點分別是函數f(x)圖象上的最高點和最低點，且它們是相鄰的，所以，且m，所以2，m1.所以函數f(x)的解析式為f(x)2sin1.答案f(x)2sin1三、解答題10(2018·北京西城二模)已知函數f(x)tan.(1)求函數f(x)的定義域；(2)設(0，)，且f()2cos，求的值解(1)由xk，kZ，得xk，kZ.所以函數f(x)的定義域是.(2)依題意，得tan2cos.所以2sin.整理得sin·0，所以sin0或cos.因為(0，)，所以.由sin0，得，即；由cos，即，即.所以或.11(2018·云南曲靖一中模擬)已知函數f(x)2cosxsinsin2xsinxcosx.(1)求函數f(x)的最小正周期(2)若f(x)m0在恰有一實數根，求m的取值范圍解(1)函數f(x)2cosxsinsin2xsinxcosx2cosxsin2xsinxcosx2cosx·sin2xsinxcosx2sinxcosxcos2xsin2xsin2xcos2x2sin.故函數f(x)的最小正周期為.(2)在x時，f(x)2sin的圖象如下f(0)2sin，f2sin0，當方程f(x)m0在恰有一實數根時，m的取值范圍為，0)212原創(chuàng)題已知函數f(x)sin(2x)·sincos2x.(1)求f(x)的最小正周期和圖象的對稱軸方程；(2)當x時，求f(x)的最小值和最大值解(1)由題意，得f(x)(sinx)(cosx)cos2xsinxcosxcos2xsin2x(cos2x1)sin2xcos2xsin，所以f(x)的最小正周期T；令2xk(kZ)，則x(kZ)，故所求圖象的對稱軸方程為x(kZ)(2)當0x時，2x.由函數圖象(圖略)可知，sin1，即0sin.故f(x)的最小值為0，最大值為.20