2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 考點強化課二習(xí)題 理 新人教A版(I)一、填空題1.(xx·泰州一檢)已知a，b，c分別為ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，且(bc)(sin Bsin C)(ac)sin A，則角B的大小為_.解析由正弦定理可知(bc)(bc)(ac)a，b2c2a2ac，即a2c2b2ac.cos B，B30°.答案30°2.(xx·南通調(diào)研)在ABC中，cos A，cos B，BC4，則AB_.解析cos A，cos B，sin A，sin B，cos(AB)cos Acos Bsin Asin B0，ABC，AB5.答案53.(xx·蘇北四市模擬)在ABC中，AC·cos A3BC·cos B，且cos C，則A_.解析由題意及正弦定理，得sin Bcos A3sin Acos B，tan B3tan A，0°A，B90°，又cos C，故sin C，tan C2，而ABC180°，tan(AB)tan C2，即2，將tan B3tan A代入，得2，tan A1或tan A，而0°A90°，則A45°.答案45°4.(xx·蘇、錫、常、鎮(zhèn)模擬)已知a，b，c分別是ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊長，若a1，b，AC2B，則sin C_.解析由AC2B，且ABC，得到B，cos B，又a1，b，根據(jù)余弦定理得：b2a2c22ac·cos B，即c2c20，解得c2，c1(舍去)，又sin B，b，根據(jù)正弦定理得sin C1.答案15.(xx·石家莊模擬)在ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且滿足csin Aacos C，則sin Asin B的最大值是_.解析由csin Aacos C，得sin Csin Asin Acos C，又在ABC中sin A0，所以sin Ccos C，tan C，C(0，)，所以C.所以sin Asin Bsin Asinsin Acos Asin，A，所以當(dāng)A時，sin Asin B取得最大值.答案6.(xx·南京調(diào)研)在ABC中，角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，已知ac2b，sin Bsin C，則cos A_.解析由sin Bsin C，得bc，代入ac2b，得ac，則由余弦定理得cos A.答案7.(xx·廣東卷)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若a，sin B，C，則b_.解析因為sin B且B(0，)，所以B或B.又C，所以B，ABC.又a，由正弦定理得，即，解得b1.答案18.(xx·陜西八校聯(lián)考)設(shè)ABC的三邊長分別為a，b，c，面積為S，且滿足Sa2(bc)2，bc8，則S的最大值為_.解析Sa2(bc)2，bc8，bcsin A2bc(b2c2a2)2bc2bccos A，即sin A4cos A4.聯(lián)立解得sin A，Sbcsin Abc×，當(dāng)且僅當(dāng)bc4時取等號.答案9.(xx·南京月考) 如圖，在ABC中，D是邊AC上的點，且ABAD，2ABBD，BC2BD，則sin C的值為_.解析設(shè)BDa，則由題意可得BC2a，ABADa，在ABD中，由余弦定理得cos A，所以sin A.在ABC中，由正弦定理得，所以，解得sin C.答案二、解答題10.(xx·湖南卷)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，abtan A，且B為鈍角.(1)證明：BA；(2)求sin Asin C的取值范圍.(1)證明由abtan A及正弦定理，得，所以sin Bcos A，即sin Bsin.又B為鈍角，因此A，故BA，即BA.(2)解由(1)知，C(AB)2A0，所以A.于是sin Asin Csin Asinsin Acos 2A2sin 2Asin A12.因為0A，所以0sin A，因此2.由此可知sin Asin C的取值范圍是.11.(xx·煙臺一模)在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a3，b5，c7.(1)求角C的大??；(2)求sin的值.解(1)由余弦定理，得cos C.0C，C.(2)由正弦定理，得sin B，C，B為銳角，cos B.sinsin Bcos cos Bsin ××.12.(xx·江蘇卷) 如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點A處下山至C處有兩種路徑.一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50 m/min.在甲出發(fā)2 min后，乙從A乘纜車到B，在B處停留1 min后，再從B勻速步行到C.假設(shè)纜車勻速直線運動的速度為130 m/min，山路AC長為1 260 m，經(jīng)測量，cos A，cos C.(1)求索道AB的長；(2)問：乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？(3)為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？解(1)在ABC中，因為cos A，cos C，所以sin A，sin C.從而sin Bsin(AC)sin(AC)sin Acos Ccos Asin C××.由正弦定理，得AB·sin C×1 040(m).所以索道AB的長為1 040 m.(2)假設(shè)乙出發(fā)t min后，甲、乙兩游客距離為d，此時，甲行走了(10050t)m，乙距離A處130t m，所以由余弦定理得d2(10050t)2(130t)22×130t×(10050t)×200(37t270t50)，由于0t，即0t8，故當(dāng)t min時，甲、乙兩游客距離最短.(3)由正弦定理，得BC×sin A×500(m).乙從B出發(fā)時，甲已走了50×(281)550(m)，還需走710 m才能到達C.設(shè)乙步行的速度為v m/min，由題意得33，解得v，所以為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3 min，乙步行的速度應(yīng)控制在(單位：m/min)范圍內(nèi).