2022年高二數(shù)學 直線 平面 簡單幾何 二面角 平面圖形的“翻折”問題同步教案 新人教A版【教學內容、目標】第九章 直線 平面 簡單幾何1、二面角的概念及大小的計算2、平面圖形的“翻折”問題【知識重點與難點】1、掌握作二面角大1小的常用方法關鍵是直接作出或找出二面角的平面角，經證明后再進行計算。一般有以下三種方法：定義法 當點A在二面角-l-的棱l上時，可過A分別在、內作棱 l的垂線AB、AC，由定義可知BAC即為二面角-l-的平面 角。三垂線法 當點A在二面角-l-的一個面內時，可作AO于O，再 作OBl于B，連結AB，由三垂線定理可得ABl，故ABO 即為二面角-l-的平面角。垂面法 當點A在二面角-l-內時，可作AB于B，AC于C， 設1過AB、AC的平面與l交于點O，連結OB、OC，可證平面ABOC 是l的垂面，則lOB，lOC，BOC即為二面角-l-的平 面角。2、解平面圖形的“翻折”問題時，通常同時畫出折前的平面圖形和折后的空間圖形，進行對照分析。凡在折后的圖形中添加的輔助線，都應在折前的平面圖形中相應畫出，這樣，容易對有關線段、角的數(shù)量關系及位置關系作出正確判斷?！镜湫屠}】例1：過60°的二面角-MN-的棱上一點O，分別在、內引兩條射線OP、OQ，使PON和QON都是45°角，求POQ的余弦值。分析：關鍵作出二面角-MN-的平面角。為給已知的兩個45°的角及所求的POQ構造三角形，用定義法在MN上取一點A，作出二面角的平面角。解：在MN上取一點A，過A分別在、內作MN的垂線，與OP、OQ分別交于點P、Q，連結PQ，則PAQ即為二面角-MN-的平面角，PAQ=60°。設OA=a，則RtPAO中，PA=OA=a，PO=a同理：RtQAO中，QA=OA=a，PAQ中，PA=QA=a，PAQ=60°PQ=aPOQ中，cosPOQ=POQ的余弦值為11例2：P為矩形ABCD所在平面外一點，PA平面ABCD，M、N分別是AB、PC的中點，且MN平面PCD，求二面角P-CD-B的大小。分析：關鍵求二面角的平面角，先在圖中現(xiàn)有的角中找，發(fā)現(xiàn)ADDC，若能證明PDDC，則PDA即為所求。解：PA平面ABCD，ADDC由三垂線定理得：PDDCPDA即為二面角P-CD-B的平面角。連結PM、CMMN平面PCD，PC平面PCDMNPC又N是PC中點PM=CM由RtPMARtCMBPA=BC又BC=AD1PA=ADRtPAD中，PDA=45°二面角P-CD-B的大小為45°。點評：在找二面角的平面角時，若有線面垂直的條件，則應想到三垂線定理或其逆定理。找到后，一般在平面角所在三角形中利用三角函數(shù)或平幾知識進行計算。例3：在120°的二面角-l-內有一點P，PA于A，PB于B，PA=2，PB=3，求AB的長；P到棱l上的距離。分析：先作出表示120°的二面角的平面角。解：設平面PAB交棱l于C。 連結AC、BC PA，l l平面PAB 又AC平面PAB，11BC平面PAB lAC，lBC BCA即為二面角-l-的平面角，BCA=120° 平面四邊形PACB中，PAC=PBC=90° ACB+P=180° P=60° PAB中，AB2=PA2+PB2-2PA·PBcosP=4+9-12 AB=連結PC 中已證l平面PAB，PC平面PAB lPC，PC即為P到l的距離 P、A、C、B四點共圓，PC為直徑 由正弦定理，PC AB的長為，P到l的距離為例4：長方體ABCD-A1B1C1D1，設二面角A- B1C1- A1大小為，求證：證明：B1C1平面AB1，平面AB1平面AB1 B1C1AB1 又A1B1B1 C1 AB1A1即為二面角的平面角 A B1 A1=11 SA1B1C1= SAB1C1= 點評：題中，A1B1C1為AB1C1在底面的射影，此題的結論可以推廣：設平面內的一個封閉幾何圖形面積為S，此幾何圖形在內的射影面積為S，二面角-l-的大小為，可以證明，由于運用了射影，因此該方法也稱為射影法。若正方體ABCD-A1B1C1D1，E為棱CC1的中點，求平面AB1E和底面A1B1C1D1所成角的余弦值。分析：題中AB1E在1底面的射影為AB1C1，因此由公式可得。但是由于對使用此公式的合法性有爭議，因此我們在大題目的書寫過程中要謹慎使用。在這里我們還是作出二面角的棱，并利用三垂法定理作出平面角。解：連結AE并延長交A1C1的延長線于F，作直線B1F，在底面A1B1C1D1內作C1HB1F于H，A1GB1F于G，連結EH、AG EC1底面A1B1C1D1 由三垂線定理可得EHB1FEHC1為二面角A-B1F-A1的平面角，設為同理：AGA1=SA1B1C1= SA1B1F- SC1B1F=B1F·A1G-B1F·C1H SAB1E= SAB1F- SEB1F= B1F·AG-B1F·EH設棱長為2，則AE=3，AB1=,B1E=cosB1AE=B1AE=45°SB1AE=而SB1A1C1=211平面AB1E與底面A1B1C1D1所成角的余弦值為：cos=例5：在正方形紙片ABCD的四邊AB、AD、CD、CB上，分別取E、F、G、H四個點，使AE：EB=AF：FD=CG：GD=CH：HB=1：2，將紙片沿對角線BD折起，試證EFGH是矩形；求當二面角A-BD-C為多少度時EFGH是正方形。證明：AE:EB=AF:FD=1:2 EF 翻折之前1，圖中，EHBD=K，連結AC 由BE:BA=BH:BC=2:3 可得EH/AC ACBD EHBD 翻折之后圖中，BDEK，BDHK，EKHK=K BD平面EKH，EH平面EKH BDEH 又BD/HG HGEH 又 EFGH是矩形 設AB=a，則HG=要使EFGH是正方形，只需使EH=HG= 在圖（2）中，連結AC，則EH 折起使 取BD中點O，連結AO、CO，則AOBD，COBD AOC為A-BD-C的平面角，且AO=CO= 當AOC=60°時，AC= 當二面角A-BD-C為60°時，EFGH是正方形。點評：在翻折問題中，一定要弄清翻折前后，哪些關系未變，哪些關系有變化。翻折前后，始終處于同一平面內的。關系不會改變。如本題中，EK、HK始終垂直于BD，但EH垂直于BD就需證明，并且EH的長度變化了。例6:已知四邊形ABCD中,B=D=90°,AC=2,BAC=30°,CAD=45°，沿AC將四邊形ABCD折起，使B點在平面ACD上的射影F恰在CD邊上。（1）求證：平面ABD1平面BCD（2）求二面角B-AC-D的余弦值及二面角A-BC-D的余弦值。分析：翻折后原ABC及ADC內的邊角關系未變，把這些轉移到圖（2）中，圖（2）中多了BF平面ACD這個條件。要證面面垂直，應在其中一個面中找到另一個面的垂線，本題中發(fā)現(xiàn)ADDC且ADBF，得證。要找B-AC-D的平面角，由于BF平面ACD，因此利用三垂線定理“一作一連”（過F作棱AC的垂線，連結B與垂足）即可得。解：F是B在平面ACD內的射影 BF平面ACD 又AD平面ACD BFAD 又ADDC，DCBF=F AD平面BCD1 AD平面ABD 平面ADB平面BCD 在平面ACD內作FEAC于E，連結BE BF平面ACD 由三垂線定理得ACBE BEF即為二面角B-AC-D的平面角 RtABC中，BE= AD平面BCD，BC平面BCD ADBC 又BCAB，ABAD=A BC平面ABD RtBCD中，BC=1，DC= BCD為等腰直角三角形 BF=1 RtBFE中,sinBEF= cosBEF= BC平面ABD ABD即為二面角A-BC-D的平面角 ABD中，AB= cosABD=【同步練習】一、選擇題：1、已知二面角-a1-的大小為（），AB，CD，且ABa，CDa，若AB與CD所成的角為，則（） A、=B、=- C、=+D、=-2、已知直線m平面，二面角-l-的大小為，且m與所成角為，則（） A、B、<1 C、當>時，>當時， D、與的大小關系不能確定3、在正方體ABCD-1A1B1C1D1中，截面A1BD與底面ABCD所成二面角A1-BD-A的正切值等于（） A、B、C、D、4、在二面角-l-中，AB于B，BC于C，若AB=6，BC=3，則二面角-l-的平面角的大小為（） A、30°B、60°C、30°或150°D、60°或120°5、過正方形ABCD的頂點A作線段AP平面ABCD，且AP=AB，則半平面ABP與半平面CDP所成二面角的度數(shù)是（） 1 A、30°B、45°C、60°D、90°二、填空題：6、有一山坡，傾斜角為30°，若在斜坡平面內沿著一條與斜坡底線成45°角的直線前進1公里，則升高了 米。7、將銳角QMN=60°，邊長MN=a的菱形MNPQ沿對角線NQ折成60°的二面角，11則MP與NQ間的距離為 。8、已知RtABC的斜邊AB在平面內，AC、BC分別和成30°、45°角，則平面ABC與平面相交所成四個兩面角大小為 。三、解答題：9、在等腰梯形ABCD中，AB|CD，AB=20cm，CD=12cm，M、N分別是AB、CD的中點，MN=，沿MN把它折成120°的二面角后，求BD。101、已知-l-是60°的二面角，A，B，AB=20cm,A、B到l的距離分別為5cm和8cm，求A、B在棱l上射影之間的距離。11、已知ABC所在平面外一點P，平面PBC平面ABC，PBC是邊長為a的正三角形，ACB=90°，BAC=30°，M是BC的中點，求二面角C-PA-M的正弦值。12、已知RtABC的兩直角邊AB=2，BC=3，P為斜邊AC上的點，以BP為棱折成直二面角A-BP-C，后AC=，求二面角P-AB-C的正切值?！緟⒖即鸢浮恳?、選擇題：1、D兩1直線AB、CD所成角過C作CE|AB，DCE=，=-2、A當時，0，當<時，m與l不垂直時，AC于C，CDl于D ADC =，ABC= tanADC= tanABC= RtBCD中，CD<BC tanADC>tanABC tan>tan 、銳角 > m與l垂直時，=得上：3、C法一：取BD中點O連結A1O,AO可證：BDAO，BDA1O,A1OA即為所求二面角的平面角tanA1OA=法二1：利用公式cos=設棱長為a，SABD= SA1BD= cos= tan=4、D當二面角-l-是銳角時，連結AC并延長交l于D連結B1D，AB，l ABl同理：BCll平面ABC，AD平面ABC，BD平面ABClAD，lBDADB為二面角的平面角ADB=90°-BADRtABC中，sinBAD=，BAD=30°ADB=60°當二面角-l-是鈍角時，如圖:則二面角-l-的平面角是ADB的補角120°5、B方法一：證明DA平面PAB，CB平面PABPAB11是PDC在平面PAB內的射影設二面角大小為PA=AB=aSPAB=可證DCPD，SPDC=DC·PD=·a·a=cos= =45°方法二：把幾何體補形成正方體ABCD-PB1C1D1，平面ABP與平面CDP所成二面角即為C- PB1-B，平面角為DPA=45°二、填空1題：6、250米過B作BC于C，過C在內作CDl于D，連結BD由三垂線定1理，BDC為二面角的平面角，BDC=30°RtABD中，BD=AB·sin45°=500RtBCD中，BC=BD·sin30°=2507、 a折后PNQ，MNQ是邊長為a的等邊三角形。 PNM，PQM是腰為a的等腰三角形。取QN中點O，PM中點K，連結OKQKN中，KONQ，OPM中，OKPMOK為MP與NQ之間的距離，且POM為二面角的平面角POM=60°1，POM為等邊三角形，RtQPO中，OP=a·sin60°=，RtPOK中，OK=OPsin60°= a8、60°或120°作CO于O，連結OA、OB在內作OHAB于H，連結CH。則CAO=30°，CBO=45°CHO為二面角C-AB-O的平面角，設CO=1，OA=，AC=2，BO=1，BC=RtABC中，1AB=，CH=sinCHO=平面被AB分成兩個半平面平面ABC與平面所成的四個二面角大小為60°或120°9、18cm過D作DHAM于H，連結BHMNAM，MNBMMN平面AMBAMB為二面角的平面角AMB=120°HMB中，HM=6，MB=10HB2=HM2+BM2-2HM·BMcos120° =196DH平面AMB,RtDH B中，DB2=DH2+BH2 =324DB=181110、3解：在內作ACl于C，則AC=5，在內作BDl于D，則BD=8A、B在棱l上射影之間的距離即為CD在內過C作CEBD，連結AE、BEBDl，CE/BDCEl，又AClACE即為-l-的平面角ACE=60°BD1CE BECD BECDCDAC，CDCE，ACCE=C CD平面ACEBE平面ACE、AE平面ACE 1BEAEACE中，AC=5、CE=8，ACE=60°AE2=AC2+EC2-2AC·EC·cos60°=25+64-2×5×8×=49AE=7RtABE中，AB=20，AE=7，BE= CD=3A、B在棱l上射影之間距離為3cm11、解：1平面PBC平面ABC，交線為BC，M是正三角形PBC的邊BC上的中點，PBC是正三角形，有PMBC PM平面ABC又AC平面ABC1 PMAC又ACBC AC平面PBC 進而平面PAC平面PBC1作MHPC于H，則MH平面PAC1作MDPA于D，連結DH，由三垂線逆定理知DHPA，MDH為二面角C-PA-M的平面角，正PBC中，邊長為a，則PM=RtACB中, BAC=30°，BC=a，AC=，MA=PA=MD=11RtMHD中，sinMDH=12、1過A、C分別作直線BP的垂線交BP于E、F，連結EC二面角A-BP-C為直二面角AE平面BCP，CF平面ABP作FDAB于D，連結CD，則CDABFDC為二面角P-AB-C的1平面角設ABP=，則AE=2sin，BE=2cosFCB=ABE=，F(xiàn)C=3co s,BF=3 sinEF=|3sin-2cos|EC2=EF2+FC2=(3sin-2cos)2+(3cos)2由AE2+EC2=AC2(2sin)2+ (3sin-2cos)2+(3cos)2=7sin2=1 =45°FC=1tanFDC=即：1二面角P-AB-C的正切值為