2022年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次摸底考試試題 文（含解析）新人教A版【試卷綜評】本試卷試題主要注重基本知識、基本能力、基本方法等當面的考察，覆蓋面廣，注重數(shù)學(xué)思想方法的簡單應(yīng)用，試題有新意，符合課改和教改方向，能有效地測評學(xué)生，有利于學(xué)生自我評價，有利于指導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)，既重視雙基能力培養(yǎng)，側(cè)重學(xué)生自主探究能力，分析問題和解決問題的能力，突出應(yīng)用，同時對觀察與猜想、閱讀與思考等方面的考查。第I卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）【題文】（1）設(shè)集合M=,N=,則如圖所示的Venn圖的陰影部分所表示的集合為(A)0(B)0,1(C)0,1(D)-1,1【知識點】交集及其運算.A1 【答案解析】B 解析：M= ，N= ，則【思路點撥】先把集合化簡，再求交集即可?！绢}文】(2)“”是“”成立的（A）充分必要條件（B）必要不充分條件（C）充分不必要條件（D）既不充分也不必要條件【知識點】充要條件.A2 【答案解析】C 解析：由解得，但不能推出，所以“”是“”成立的充分不必要條件，故選C.【思路點撥】先解出，再做出雙向判斷即可?！绢}文】（3）函數(shù)的定義域為（A）-2,2(B)(0,2(C)(0,1)(1,2)(D)(0,1)(1,2【知識點】函數(shù)的定義域。B1 【答案解析】C 解析：由題意可知滿足：，解得其定義域為(0,1)(1,2)，故選C.【思路點撥】由題意列出不等式組即可。【題文】(4)下列命題中，真命題是（A）（B）（C）（D）【知識點】命題的真假的判斷.A2 【答案解析】A 解析： 為真命題；易知B,C,D為假命題，故選A.【思路點撥】利用指數(shù)函數(shù)以及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可判斷。【題文】（5）“”是“”的（A）充分不必要條件（B）必要不充分條件（C）充要條件（D）既不充分也不必要條件【知識點】充要條件A2 【答案解析】A 解析：由得：當a0時，有1a，即a1；當a0時，不等式恒成立所以a1或a0，從而a1是的充分不必要條件故應(yīng)選：A【思路點撥】可以把不等式“”變形解出a的取值范圍，然后再作判斷，具體地說，兩邊同乘以分母a要分類討論，分a0，a0兩類討論，除了用符號法則，這是解答分式不等式的另一種重要方法【題文】（6）若，則下列不等式成立的是（A）（B）（C）（D）【知識點】不等式的基本性質(zhì)E1 【答案解析】C 解析：b=，a=，則ab=，b2=，故A不正確；a2=，ab=，故D不正確；log=2，log=1，故B不正確；0ba1，21，2b2a2，故選：C【思路點撥】取特殊值，確定A，B，D不正確，0ba1，21，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得C正確【題文】（7）如圖，已知直線l和圓C，當l從l0開始在平面上繞O勻速旋轉(zhuǎn)（轉(zhuǎn)動角度不超過90°）時，它掃過的圓內(nèi)陰影部分的面積y是時間x的函數(shù)，這個函數(shù)的圖象大致是 (A) (B) (C) (D)【知識點】直線與圓相交的性質(zhì)H4 【答案解析】B 解析：觀察可知面積S變化情況為“一直增加，先慢后快，過圓心后又變慢”對應(yīng)的函數(shù)的圖象是變化率先變大再變小，由此知D符合要求，故選B【思路點撥】由圖象可以看出，陰影部分的面積一開始增加得較慢，面積變化情況是先慢后快然后再變慢，由此規(guī)律找出正確選項?！绢}文】(8)定積分的值為(A) (B) (C) (D)【知識點】定積分B13 【答案解析】A 解析：dx=ln2ln1+=故選：A【思路點撥】求出被積函數(shù)的原函數(shù)，直接代入積分上限和積分下限后作差得答案【題文】（9）偶函數(shù)的定義域為R，為奇函數(shù)，且，則（A）0 （B）1（C）-1（D）xx【知識點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；函數(shù)的值B4 【答案解析】B 解析：g（x）是奇函數(shù)，g（x）=f（x1）=g（x）=f（x1）；又f（x）是偶函數(shù)，f（x+1）=f（x1），即f（x1）=f（x+1），f（x）=f（x+2）=f（x+4）f（x）是周期為4的周期函數(shù)；f（xx）=f（2+503×4）=f（2）=g（3）=1故選B【思路點撥】根據(jù)g（x）是奇函數(shù)及已知條件得到f（x+1）=f（x1），即f（x1）=f（x+1），所以f（x）=f（x+2）=f（x+4），所以函數(shù)f（x）的周期是4，所以f（xx）=f（2+503×4）=f（2），所以根據(jù)已知條件求f（2）即可【題文】（10）函數(shù)在處有極值10，則點的坐標為（A）（B） （C）或 （D）不存在【知識點】函數(shù)在某點取得極值的條件B12 【答案解析】B 解析：對函數(shù)f（x）求導(dǎo)得 f（x）=3x22axb，又在x=1時f（x）有極值10，解得 或 ，驗證知，當a=3，b=3時，在x=1無極值，故選B【思路點撥】首先對f（x）求導(dǎo)，然后由題設(shè)在x=1時有極值10可得 解之即可求出a和b的值【題文】（11）若-1,1,則實數(shù)t的取值范圍是（A）-1,0（B）,0 （C） （D）,【知識點】集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用A1 【答案解析】A 解析：令f（x）=|x2tx+t|，1，1x|x2tx+t|1，|f（1）|1，|f（1）|1，即|1+2t|1，解得：1t0，實數(shù)t的取值范圍是1，0，故選：A【思路點撥】令f（x）=|x2tx+t|，依題意可得|f（1）|1，|f（1）|1，解之即可【題文】（12）x表示不超過x的最大整數(shù)，函數(shù)的定義域為R；的值域為0，1）； 是偶函數(shù)； 不是周期函數(shù)；的單調(diào)增區(qū)間為.上面結(jié)論中正確的個數(shù)是（A）3（B）2（C）1（D）0【知識點】函數(shù)解析式的求解及常用方法B1 【答案解析】C 解析：f（x）=|x|x，函數(shù)的定義域為Rf（x+1）=|x+1|x+1=|x+1|x1=|x|x=f（x），f（x）=|x|x在R上為周期是1的函數(shù)當0x1時，f（x）=|x|x=|x|0=|x|，函數(shù)x的值域為0，1），函數(shù)y=|x|x為非奇非偶函數(shù)，函數(shù)y=|x|x在區(qū)間（0，1）上為增函數(shù)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（k，k+1）（kN）故正確，故選：C【思路點撥】根據(jù)已知中x表示不超過x的最大整數(shù)，我們可以分別求出函數(shù)y=|x|x的值域，奇偶性，周期性，單調(diào)性，比較已知中的個結(jié)論，即可得到答案二、填空題：本大題4小題，每小題5分.【題文】（13）設(shè)函數(shù)若，則a的值為_；【知識點】函數(shù)的值B1 【答案解析】-5 解析：數(shù)f（x）=，f（f（1）=2，f（1）=2e11=2，f（f（1）=f（2）=log3（4a）=2，4a=9，解得a=5故答案為：5【思路點撥】由已知得f（1）=2e11=2，從而f（f（1）=f（2）=log3（4a）=2，由此能求出a的值【題文】（14）函數(shù)恰好有兩個零點，則的值為_【知識點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；函數(shù)零點的判定定理；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性B12 【答案解析】2或-2 解析：f（x）=x33x+m，f'（x）=3x23，由f'（x）0，得x1或x1，此時函數(shù)單調(diào)遞增，由f'（x）0，得1x1，此時函數(shù)單調(diào)遞減即當x=1時，函數(shù)f（x）取得極大值，當x=1時，函數(shù)f（x）取得極小值要使函數(shù)f（x）=x33x+a只有兩個零點，則滿足極大值等于0或極小值等于0，由極大值f（1）=1+3+m=m+2=0，解得m=2；再由極小值f（1）=13+m=m2=0，解得m=2綜上實數(shù)m的取值范圍：m=2或m=2，故答案為：2或2【思路點撥】若函數(shù)f（x）恰好有兩個不同的零點，等價為函數(shù)的極值為0，建立方程即可得到結(jié)論【題文】（15）函數(shù)是定義在(0,4)上的減函數(shù)，且，則a的取值范圍是_.【知識點】函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)B3 【答案解析】（-1,0）（1,2） 解析：根據(jù)已知條件，原不等式變成，解得1a0，或1a2；a的取值范圍是（1，0）（1，2）故答案為：（1，0）（1，2）【思路點撥】因為f（x）是定義在（0，4）上的減函數(shù)，所以由f（a2a）f（2）得，解該不等式組即得a的取值范圍【題文】（16）已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當時，對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)t的取值范圍是_.【知識點】函數(shù)恒成立問題；函數(shù)奇偶性的性質(zhì)B4 【答案解析】（） 解析：當x0時，f（x）=x2函數(shù)是奇函數(shù)，當x0時，f（x）=x2f（x）=，f（x）在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，且滿足2f（x）=f（x），不等式f（x+t）2f（x）=f（x）在t，t+2恒成立，x+tx在t，t+2恒成立，即：x（1+）t在t，t+2恒成立，t+2（1+）t，解得：t，故答案為：，+）【思路點撥】由當x0時，f（x）=x2，函數(shù)是奇函數(shù)，可得當x0時，f（x）=x2，從而f（x）在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，且滿足2f（x）=f（x），再根據(jù)不等式f（x+t）2f（x）=f（x）在t，t+2恒成立，可得x+tx在t，t+2恒成立，即可得出答案三、解答題（解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程）【題文】（17）（本題滿分10分）已知函數(shù)（1）當a=0時，畫出函數(shù)的簡圖，并指出的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若函數(shù)有4個零點，求的取值范圍.【知識點】根的存在性及根的個數(shù)判斷；函數(shù)圖象的作法B8 B9 【答案解析】（1）見解析；（2）1a0解析：（1）當a=0時，由圖可知，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（，1）和（0，1）（2）由f（x）=0，得x22|x|=a，曲線y=x22|x|與直線y=a有4個不同交點，根據(jù)（1）中圖象得1a0【思路點撥】（1）當a=0時，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，進行化圖；（2）根據(jù)f（x）有4個零點，結(jié)合圖象確定a的取值范圍【題文】（18）（本題滿分12分）已知直線為曲線在點（1,0）處的切點，直線為該曲線的另一條切線，且的斜率為1.（I）求直線、的方程；（II）求由直線、和軸所圍成的三角形的面積.【知識點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程；兩條直線的交點坐標B12 【答案解析】（）y=4x4，y=x2；（）解析：（）求得f'（x）=3x2+1（1，0）在曲線上，直線l1的斜率為k1=f'（1）=4所以直線l1的方程為y=4（x1）即y=4x4設(shè)直線l2過曲線f（x）上的點P（x0，y0），則直線l2的斜率為k2=f'（x0）=3x02+1=1解得x0=0，y0=x03+x02=2即P（0，2）l2的方程y=x2（）直線l1、l2的交點坐標為直線l1、l2和x軸的交點分別為（1，0）和（2，0）所以所求的三角形面積為【思路點撥】（）求出f（x），把x=1代入導(dǎo)函數(shù)即可求出直線l1的斜率，然后根據(jù)斜率和（1，0）寫出直線l1的方程即可；設(shè)直線l2與曲線相切的切點坐標，將橫坐標代入導(dǎo)函數(shù)即可表示出直線l2的斜率，又l2的斜率為1，列出關(guān)于橫坐標的方程，求出解得到切點的橫坐標，代入f（x）中求得縱坐標，然后根據(jù)切點坐標和直線的斜率為1寫出直線l2的方程即可；（）聯(lián)立兩條直線方程求出交點坐標，然后分別求出兩直線與x軸的交點坐標為（1，0）和（2，0），三角形以|21|長為底，交點的縱坐標|為高，根據(jù)三角形的面積公式即可求出面積【題文】（19）（本題滿分12分）某旅游景點經(jīng)營者欲增加景點服務(wù)設(shè)施以提高旅游增加值.經(jīng)過調(diào)研發(fā)現(xiàn)，在控制投入成本的前提下，旅游增加值（萬元）與投入成本（萬元）之間滿足：，其中實數(shù)為常數(shù)，且當投入成本為10萬元時，旅游增加值為9.2萬元.（I）求實數(shù)的值；（II）當投入成本為多少萬元時，旅游增加值去的最大值.【知識點】函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用B10 【答案解析】（I）a=；（II） 投入50萬元改造時旅游取得最大增加值解析：（I）由于當x=10萬元時y=9.2萬元，因此，9.2a102+10ln10+ln10，解得a=；（II）從而f（x）=+xlnx+ln10（10x100），f（x）=，令f（x）=0，可得 x=1，或 x=50當x（1，50）時，f（x）0，且f（x）在（1，50）上連續(xù)，因此f（x）在（1，50上是增函數(shù)；當x（50，+）時，f（x）0，且f（x）在（50，+）上連續(xù)，因此f（x）在（50，+）上是減函數(shù)則x=50時，函數(shù)f（x）取得極大值，即投入50萬元改造時旅游取得最大增加值【思路點撥】（I）代入x=10萬元時y=9.2萬元，可得9.2a102+10ln10+ln10，從而求a；（II）求導(dǎo)f（x）=，判斷函數(shù)的單調(diào)性從而求其最大值【題文】（20）（本題滿分12分）已知函數(shù)，當時取得極值5.（I）求的極小值；（II）對任意，判斷不等式是否能恒成立，并說明理由.【知識點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值B12 【答案解析】（）-27；（） 不等式|f（x1）f（x2）|32能恒成立 解析：（）函數(shù)f（x）=ax3+bx29x（a0）的導(dǎo)數(shù)f（x）=3ax2+2bx9，當x=1時f（x）取得極值5，則有f（1）=5且f（1）=0，即有a+b+9=5且3a2b9=0，解得a=1，b=3則f（x）=x33x29x，f（x）=3x26x9，f（x）0得，x3或x1；f（x）0得，1x3則f（x）在x=3處取極小值且為272727=27（）由于任意x1，x2（3，3），|f（x1）f（x2）|f（x）maxf（x）min，由（）可知f（x）在（3，1）上遞增，（1，3）上遞減，則x=1取得最大值，且為5，f（3）=f（3）=27，由于任意x1，x2（3，3），則|f（x1）f（x2）|5（27）=32，故對任意x1，x2（3，3），不等式|f（x1）f（x2）|32能恒成立【思路點撥】（）f（x）是實數(shù)集上的可導(dǎo)函數(shù)，再通過極值點與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，即極值點必為f（x）=0的根建立起相關(guān)等式，運用待定系數(shù)法確定a、b的值，進而得到極小值；（）分別求出端點值和極值，通過比較即可的出結(jié)論由中求得的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可得函數(shù)f（x）在區(qū)間（3，3）上單調(diào)性，求出最大值和最小值，從而得到對任意x1，x2（3，3），不等式|f（x1）f（x2）|32恒成立【題文】（21）（本題滿分12分）已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，其離心率，短軸長為4.（I）求橢圓C的標準方程；（II）已知直線和橢圓C相交于A、B兩點，點Q（1,1），是否存在實數(shù)m，使ABQ的面積S最大？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由.【知識點】直線與圓錐曲線的綜合問題H8 【答案解析】（）（）3 解析：（）由題意可設(shè)橢圓C的方程為，又e=，2b=4，a2=b2+c2，解得a=3，b=2故橢圓C的方程為（）設(shè)直線l：y=x+mmR和橢圓C相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）兩點聯(lián)立方程得，消去y得，13x2+18mx+9m236=0上式有兩個不同的實數(shù)根，=324m24×13×9（m24）=144（13m2）0且，AB=點Q（1，1）到l：y=x+m的距離為ABQ的面積S=3當且僅當13m2=m2，即m=時，S取得最大值，最大值為3【思路點撥】（）由題意可設(shè)橢圓C的方程為，又e=，2b=4，由此能求出橢圓C的方程（）設(shè)直線l：y=x+mmR和橢圓C相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）兩點聯(lián)立方程，得13x2+18mx+9m236=0由此利用根的判別式和韋達定理結(jié)合已知條件能求出當m=時，S取得最大值3【題文】（22）（本題滿分12分）已知函數(shù).（I）求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（II）當時，已知，且，求證：【知識點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)B12 【答案解析】（I）（1，+）為函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；（，1）為函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；（II）見解析。 解析：（I），令f（x）=0，得x=1，當a0時，如果x（1，+），那么f（x）0，因此（1，+）為函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；如果x（，1），那么f（x）0，因此（，1）為函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間當a0時，如果x（1，+），那么f（x）0，因此（1，+）為函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；如果x（，1），那么f（x）0，因此（，1）為函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間（II）當a=1時，f（x）=，由（1）知，（1，+）為函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；（，1）為函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間又f（0）=0，f（1）=，函數(shù)f（x）的圖象：x1x2，且f（x1）=f（x2），從圖象上看，x11，x21，f（x1）f（2x2）f（x2）f（2x2），要證f（x1）f（2x2）只要證明x21時f（x2）f（2x2）0即可：構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）f（2x），即g（x）=，下面證明：對于x1，g（x）0恒成立，則g（x）=，如果x（1，+），那么x10，e2（x1）1，則（1x）（1e2（x1）0，因此g（x）0，因此g（x）在（1，+）上為單調(diào)增函數(shù)；g（x）在（1，+）上單調(diào)遞增，在x1，+）時：當x=1時，函數(shù)g（x）取最小值，即，對于x（1，+），g（x）0恒成立，x21時f（x2）f（2x2）0，f（x2）f（2x2），又f（x1）=f（x2），f（x1）f（2x2）【思路點撥】（I），令f（x）=0，得x=1，再分a0時與a0時，討論f（x）0或f（x）0，進一步可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（II）畫函數(shù)f（x）的圖象，找出x11，x21，要證f（x1）f（2x2）只要證明x21時f（x2）f（2x2）0即可，構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）f（2x），即g（x）=，只要證明對于x1，g（x）0恒成立即可