2022年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷（文科） 含解析(II)一、選擇題（共10小題，每小題5分，滿分50分）1拋物線x2=2y的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）ABC（1，0）D（0，1）2經(jīng)過（3，0），（0，4）兩點(diǎn)的直線方程是（）A3x+4y12=0B3x4y+12=0C4x3y+12=0D4x+3y12=03直線2x3y+10=0的法向量的坐標(biāo)可以是（）A（2，3）B（2，3）C（2，3）D（2，3）4圓O1：x2+y22x=0和圓O2：x2+y24y=0的位置關(guān)系是（）A相離B相交C外切D內(nèi)切5左支上一點(diǎn)，F(xiàn)1是雙曲線的左焦點(diǎn)，且|PF1|=17，則P點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距離是（）ABCD6橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)三等分它的準(zhǔn)線間的距離，則橢圓的離心率為（）ABCD7已知點(diǎn)P1（0，2），P2（3，0），在線段P1P2上取一點(diǎn)P，使得，則P點(diǎn)坐標(biāo)為（）ABCD8圓心在拋物線y2=2x上，且與x軸和該拋物線的準(zhǔn)線都相切的一個(gè)圓的方程是（）Ax2+y2x2y=0Bx2+y2+x2y+1=0Cx2+y2x2y+1=0Dx2+y2x2y+=09過雙曲線x2=1的右焦點(diǎn)F作直線l交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，若|AB|=4，則這樣的直線l有（）A1條B2條C3條D4條10F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，M是橢圓上任一點(diǎn)，從任一焦點(diǎn)向F1MF2頂點(diǎn)M的外角平分線引垂線，垂足為P，則P點(diǎn)的軌跡為（）A圓B橢圓C雙曲線D拋物線二、填空題（共5小題，每小題5分，滿分25分）11雙曲線=1的漸近線方程是12已知F1、F2為橢圓=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，過F1的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若|F2A|+|F2B|=12，則|AB|=13已知x，y滿足方程（x2）2+y2=1，則的最大值為14直線y=mx+1與雙曲線x2y2=1有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是15已知拋物線C：y=2x2與直線y=kx+2交于A，B兩點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)，過M作x軸的垂線，垂足為N，若，則k=三、解答題（1618每小題13分，1921每小題13分，共75分）16已知圓心為（2，1）的圓C與直線l：x=3相切（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若圓C與圓O：x2+y2=4相交于A，B兩點(diǎn)，求直線AB的方程（用一般式表示）17已知直線l1：axy+2a=0，l2：（2a3）x+ay+a=0（1）若l1l2，求實(shí)數(shù)a的值；（2）若l1l2，求實(shí)數(shù)a的值18過點(diǎn)P（2，1）作拋物線y2=4x的弦AB，若弦恰被P點(diǎn)平分（1）求直線AB所在直線方程；（用一般式表示）（2）求弦長|AB|19在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P到兩點(diǎn)，的距離之和等于4，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C（1）寫出C的方程；（2）設(shè)直線y=kx+1與C交于A、B兩點(diǎn)，k為何值時(shí)？20已知橢圓的焦點(diǎn)為F1、F2，拋物線y2=px（p0）與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為Q，若F1QF2=60°（1）求F1QF2的面積；（2）求此拋物線的方程21已知點(diǎn)P為圓周x2+y2=4的動點(diǎn)，過P點(diǎn)作PHx軸，垂足為H，設(shè)線段PH的中點(diǎn)為E，記點(diǎn)E的軌跡方程為C，點(diǎn)A（0，1）（1）求動點(diǎn)E的軌跡方程C；（2）若斜率為k的直線l經(jīng)過點(diǎn)A（0，1）且與曲線C的另一個(gè)交點(diǎn)為B，求OAB面積的最大值及此時(shí)直線l的方程；（3）是否存在方向向量=（1，k）（k0）的直線l，使得l與曲線C交與兩個(gè)不同的點(diǎn)M，N，且有|=|？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由參考答案與試題解析一、選擇題（共10小題，每小題5分，滿分50分）1拋物線x2=2y的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）ABC（1，0）D（0，1）【考點(diǎn)】拋物線的簡單性質(zhì)【分析】根據(jù)拋物線的定義可得，x2=2py（p0）的焦點(diǎn)坐標(biāo)（0，）可直接求解【解答】解：根據(jù)拋物線的定義可得，x2=2y的焦點(diǎn)坐標(biāo)（0，）故選B2經(jīng)過（3，0），（0，4）兩點(diǎn)的直線方程是（）A3x+4y12=0B3x4y+12=0C4x3y+12=0D4x+3y12=0【考點(diǎn)】直線的截距式方程；直線的兩點(diǎn)式方程【分析】直接利用直線的截距式方程求解即可【解答】解：因?yàn)橹本€經(jīng)過（3，0），（0，4）兩點(diǎn)，所以所求直線方程為：，即4x+3y12=0故選D3直線2x3y+10=0的法向量的坐標(biāo)可以是（）A（2，3）B（2，3）C（2，3）D（2，3）【考點(diǎn)】向量語言表述線線的垂直、平行關(guān)系【分析】先求出直線的斜率，可得其方向向量的坐標(biāo)，再結(jié)合向量垂直即可得到結(jié)論【解答】解：因?yàn)橹本€2x3y+10=0，斜率為其方向向量為：（1，）設(shè)其法向量坐標(biāo)為（x，y）由因?yàn)榉较蛳蛄亢头ㄏ蛄看怪?，x+y=0；符合要求的只有答案C故選：C4圓O1：x2+y22x=0和圓O2：x2+y24y=0的位置關(guān)系是（）A相離B相交C外切D內(nèi)切【考點(diǎn)】圓與圓的位置關(guān)系及其判定【分析】求出半徑，求出圓心，看兩個(gè)圓的圓心距與半徑的關(guān)系即可【解答】解：圓O1：x2+y22x=0，即（x1）2+y2=1，圓心是O1（1，0），半徑是r1=1圓O2：x2+y24y=0，即x2+（y2）2=4，圓心是O2（0，2），半徑是r2=2|O1O2|=，故|r1r2|O1O2|r1+r2|兩圓的位置關(guān)系是相交故選 B5左支上一點(diǎn)，F(xiàn)1是雙曲線的左焦點(diǎn)，且|PF1|=17，則P點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距離是（）ABCD【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)【分析】利用雙曲線的定義，建立方程，即可得出結(jié)論【解答】解：設(shè)P點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距離是d，則左支上一點(diǎn)，F(xiàn)1是雙曲線的左焦點(diǎn)，且|PF1|=17，d=故選A6橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)三等分它的準(zhǔn)線間的距離，則橢圓的離心率為（）ABCD【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)【分析】確定橢圓的兩準(zhǔn)線間的距離、兩焦點(diǎn)間的距離，利用兩焦點(diǎn)三等分橢圓兩準(zhǔn)線間的距離，建立方程，即可求得橢圓的離心率【解答】解：兩準(zhǔn)線間的距離為，兩焦點(diǎn)間的距離2c，兩焦點(diǎn)三等分橢圓兩準(zhǔn)線間的距離，2c=，即：6c2=2a2，e=，或e=（舍去）故選B7已知點(diǎn)P1（0，2），P2（3，0），在線段P1P2上取一點(diǎn)P，使得，則P點(diǎn)坐標(biāo)為（）ABCD【考點(diǎn)】平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示；平行向量與共線向量；平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算【分析】設(shè)P（x，y），由題意知，得=（x，y2），=（3x，y）利用向量相等的條件得 列出關(guān)于x，y的方程組，解出點(diǎn)P坐標(biāo)【解答】解：設(shè)P（x，y），由題意知，得=（x，y2），=（3x，y）因?yàn)?，所以解得所以P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，）故選A8圓心在拋物線y2=2x上，且與x軸和該拋物線的準(zhǔn)線都相切的一個(gè)圓的方程是（）Ax2+y2x2y=0Bx2+y2+x2y+1=0Cx2+y2x2y+1=0Dx2+y2x2y+=0【考點(diǎn)】圓的一般方程【分析】所求圓圓心在拋物線y2=2x上，且與x軸和該拋物線的準(zhǔn)線都相切，不難由拋物線的定義知道，圓心、半徑可得結(jié)果【解答】解：圓心在拋物線y2=2x上，且與x軸和該拋物線的準(zhǔn)線都相切的一個(gè)圓的方程，以及拋物線的定義可知，所求圓的圓心的橫坐標(biāo)x=，即圓心（，1），半徑是1，所以排除A、B、C故選D9過雙曲線x2=1的右焦點(diǎn)F作直線l交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，若|AB|=4，則這樣的直線l有（）A1條B2條C3條D4條【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的關(guān)系【分析】雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)之間的距離是2，小于4，過拋物線的焦點(diǎn)一定有兩條直線使得交點(diǎn)之間的距離等于4，當(dāng)直線與實(shí)軸垂直時(shí)，做出直線與雙曲線交點(diǎn)的縱標(biāo)，得到也是一條長度等于4的線段【解答】解：雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)之間的距離是2，小于4，當(dāng)直線與雙曲線左右兩支各有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，過雙曲線的焦點(diǎn)一定有兩條直線使得兩交點(diǎn)之間的距離等于4，當(dāng)直線與實(shí)軸垂直時(shí)，有3，解得y=±2，此時(shí)直線AB的長度是4，即只與右支有交點(diǎn)的弦長為4的線僅有一條綜上可知有三條直線滿足|AB|=4，故選C10F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，M是橢圓上任一點(diǎn)，從任一焦點(diǎn)向F1MF2頂點(diǎn)M的外角平分線引垂線，垂足為P，則P點(diǎn)的軌跡為（）A圓B橢圓C雙曲線D拋物線【考點(diǎn)】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【分析】根據(jù)題意，延長F1P，與F2M的延長線交于B點(diǎn)，連接PO根據(jù)等腰三角形“三線合一”和三角形中位線定理，結(jié)合橢圓的定義證出OP的長恰好等于橢圓的長半軸a，得動點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y2=a2，由此可得本題答案【解答】解：如圖所示延長F1P，與F2M的延長線交于B點(diǎn)，連接PO，MP是F1MB的平分線，且PMBF1F1MB中，|MF1|=|BM|且P為BF1的中點(diǎn)由三角形中位線定理，得|OP|=|BF2|=（|BM|+|MF2|）由橢圓的定義，得|MF1|+|MF2|=2a，（2a是橢圓的長軸）可得|BM|+|MF2|=2a，|OP|=（|MF1|+|MF2|）=a，可得動點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y2=a2為以原點(diǎn)為圓心半徑為a的圓故選：A二、填空題（共5小題，每小題5分，滿分25分）11雙曲線=1的漸近線方程是y=±x【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)【分析】把曲線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出a和b的值，再根據(jù)焦點(diǎn)在x軸上，求出漸近線方程【解答】解：雙曲線，a=2，b=3，焦點(diǎn)在x軸上，故漸近線方程為 y=±x=±x，故答案為 y=±12已知F1、F2為橢圓=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，過F1的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若|F2A|+|F2B|=12，則|AB|=8【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)【分析】運(yùn)用橢圓的定義，可得三角形ABF2的周長為4a=20，再由周長，即可得到AB的長【解答】解：橢圓=1的a=5，由題意的定義，可得，|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a，則三角形ABF2的周長為4a=20，若|F2A|+|F2B|=12，則|AB|=2012=8故答案為：813已知x，y滿足方程（x2）2+y2=1，則的最大值為【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系【分析】求出圓的圓心坐標(biāo)，圓的半徑，利用圓心到直線的距離等于半徑求出k的值即可【解答】解：x，y滿足方程（x2）2+y2=1，圓的圓心（2，0），半徑為1，設(shè)，即kxy=0，要求x，y滿足方程（x2）2+y2=1，的最大值，就是求圓的圓心到直線的距離等于半徑，即：，解得k=，所求的最大值為：故答案為：14直線y=mx+1與雙曲線x2y2=1有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是且m±1【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的關(guān)系【分析】聯(lián)立直線與曲線方程，由題意可得，方程有2個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，由此能求出實(shí)數(shù)k的取值的集合【解答】解：由消去y得（1m2）x22mx2=0由題意可得1m20，且=（2m）2+8（1m2）0，解可得，且m±1故答案為且m±115已知拋物線C：y=2x2與直線y=kx+2交于A，B兩點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)，過M作x軸的垂線，垂足為N，若，則k=【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的關(guān)系；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算【分析】把y=kx+2代入y=2x2得2x2kx2=0由韋達(dá)定理得x1+x2=，x1x2=1，求出M（），進(jìn)一步得到N點(diǎn)的坐標(biāo)為（）表示出，利用向量的數(shù)量積根式求出，根據(jù)已知列出方程求出k的值【解答】解：設(shè)A（x1，2x12），B（x2，2x22），把y=kx+2代入y=2x2得2x2kx2=0由韋達(dá)定理得x1+x2=，x1x2=1，所以M（），所以N點(diǎn)的坐標(biāo)為（），所以=1=3因?yàn)?，所?=0所以k=故答案為：三、解答題（1618每小題13分，1921每小題13分，共75分）16已知圓心為（2，1）的圓C與直線l：x=3相切（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若圓C與圓O：x2+y2=4相交于A，B兩點(diǎn)，求直線AB的方程（用一般式表示）【考點(diǎn)】相交弦所在直線的方程；直線與圓的位置關(guān)系【分析】（1）直線l：x=3與圓C相切，可得直線l到點(diǎn)C的距離等于圓C的半徑，用距離公式可以求得圓C的半徑等于1，最后用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程公式得到圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）圓C與圓O：x2+y2=4相交于A，B兩點(diǎn)，線段AB即為兩圓的公共弦將兩圓的一般方程的左邊相減，得到二元一次方程，即為公共弦弦AB所在直線的方程【解答】解：（1）圓C與直線l：x=3相切圓心C（2，1）到直線l的距離等于圓的半徑因此半徑r=|32|=1圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x2）2+（y1）2=1（2）將圓C與圓O的方程聯(lián)解，由兩式相減得方程：2x+y4=0，圓C與圓O相交于A，B兩點(diǎn)，直線AB的方程即為2x+y4=017已知直線l1：axy+2a=0，l2：（2a3）x+ay+a=0（1）若l1l2，求實(shí)數(shù)a的值；（2）若l1l2，求實(shí)數(shù)a的值【考點(diǎn)】直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系；直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系【分析】（1）先求出兩直線的法向量，由l1l2所以得a2+2a3=0，從而解得a的值最后經(jīng)檢驗(yàn)滿足 l1l2 （2）由得a（2a3）a=0，即可求得a的值【解答】解：（1）直線l1的法向量為，直線l2的法向量為因l1l2所以即a2+2a3=0得a=3或1經(jīng)檢驗(yàn)均符合題意，故a=3或1（2）故a（2a3）a=0，a=0或218過點(diǎn)P（2，1）作拋物線y2=4x的弦AB，若弦恰被P點(diǎn)平分（1）求直線AB所在直線方程；（用一般式表示）（2）求弦長|AB|【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的關(guān)系；兩點(diǎn)間的距離公式【分析】（1）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），利用“點(diǎn)差法”、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率計(jì)算公式即可得出（2）把直線方程與拋物線的方程聯(lián)立，利用弦長公式即可得出【解答】解：（1）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則（y1+y2）（y1y2）=4（x1x2）由于直線的斜率存在，故，從而直線AB的方程為：y1=2（x2），即2xy3=0（2）（2x3）2=4x即4x216x+9=0，因0，故于是19在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P到兩點(diǎn)，的距離之和等于4，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C（1）寫出C的方程；（2）設(shè)直線y=kx+1與C交于A、B兩點(diǎn)，k為何值時(shí)？【考點(diǎn)】圓錐曲線的軌跡問題；直線與圓錐曲線的關(guān)系【分析】（1）由題意可知P點(diǎn)的軌跡為橢圓，并且得到，求出b后可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）把直線方程和橢圓方程聯(lián)立，化為關(guān)于x的一元二次方程后得到判別式大于0，然后利用根與系數(shù)關(guān)系得到直線和橢圓兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和與積，寫出兩個(gè)向量垂直的坐標(biāo)表示，最后代入根與系數(shù)的關(guān)系后可求得k的值【解答】解：（1）由條件知：P點(diǎn)的軌跡為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，其中，所以b2=a2c2=1故軌跡C的方程為：；（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）由（kx+1）2+4x2=4，即（k2+4）x2+2kx3=0由=16k2+480，可得：，再由，即（k2+1）x1x2+k（x1+x2）+1=0，所以，20已知橢圓的焦點(diǎn)為F1、F2，拋物線y2=px（p0）與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為Q，若F1QF2=60°（1）求F1QF2的面積；（2）求此拋物線的方程【考點(diǎn)】圓錐曲線的綜合【分析】（1）由Q在橢圓上，知|QF1|+|QF2|=4在QF1F2中，所以，由此能求出F1QF2的面積（2）設(shè)Q（x0，y0）（x00，y00），故又Q點(diǎn)在橢圓上，所以，故由Q點(diǎn)在拋物線上，能求出拋物線方程【解答】解：（1）Q在橢圓上，|QF1|+|QF2|=4，=16，在QF1F2中，F(xiàn)1QF2=60°，得：，（2）設(shè)Q（x0，y0），（x00，y00）由（1）知， =，|F1F2|=2c=2=2，故，又Q點(diǎn)在橢圓上，所以，即，故又Q點(diǎn)在拋物線上，所以，所以拋物線方程為21已知點(diǎn)P為圓周x2+y2=4的動點(diǎn)，過P點(diǎn)作PHx軸，垂足為H，設(shè)線段PH的中點(diǎn)為E，記點(diǎn)E的軌跡方程為C，點(diǎn)A（0，1）（1）求動點(diǎn)E的軌跡方程C；（2）若斜率為k的直線l經(jīng)過點(diǎn)A（0，1）且與曲線C的另一個(gè)交點(diǎn)為B，求OAB面積的最大值及此時(shí)直線l的方程；（3）是否存在方向向量=（1，k）（k0）的直線l，使得l與曲線C交與兩個(gè)不同的點(diǎn)M，N，且有|=|？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題；向量在幾何中的應(yīng)用；軌跡方程【分析】（1）欲求動點(diǎn)E的軌跡方程，設(shè)E（x，y），只須求出其坐標(biāo)x，y的關(guān)系式即可，利用P（x，2y）點(diǎn)在圓上，即可得到答案；（2）根據(jù)三角形的面積公式得，欲求面積的最大值，只須考慮|xB|的最大值即可由此求出直線l的方程；（3）先假設(shè)存在符合題設(shè)條件的直線l，設(shè)其方程為：y=kx+m，將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求出k的取值范圍，若出現(xiàn)矛盾，則說明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在【解答】解：（1）設(shè)E（x，y），則P（x，2y），而P點(diǎn)在圓上所以x2+4y2=4，即（2）而|xB|2，故當(dāng)xB=±2時(shí)，OAB面積的最大值為1此時(shí)，直線l的方程為：x2y+2=0或x+2y2=0（3）假設(shè)存在符合題設(shè)條件的直線l，設(shè)其方程為：y=kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中點(diǎn)Q（x0，y0）于是（1+4k2）x2+8kmx+4m24=0=64k2m24（1+4k2）（4m24）04k2m2+10而故從而而故kAQk=1可得：3m=4k21由得：3m0故xx11月26日