2022年高中數(shù)學(xué) 綜合素質(zhì)測試 新人教B版選修2-2一、選擇題(本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.是z的共軛復(fù)數(shù)若z2，(z)i2(i為虛數(shù)單位)，則z()A1iB1iC1iD1i答案D解析本題考查復(fù)數(shù)、共軛復(fù)數(shù)的運(yùn)算設(shè)zabi，則abi.由題設(shè)條件可得a1，b1.選D.2若f(x)x22x4lnx，則f(x)0的解集為()A(0，)B(1,0)(2，)C(2，)D(1,0)答案C解析本題主要考查導(dǎo)數(shù)的概念及分式不等式的解法和對數(shù)的概念因?yàn)閒(x)x22x4lnx，f(x)2x2>0，即，解得x>2，故選C.3下列命題中正確的是()A復(fù)數(shù)abi與cdi相等的充要條件是ac且bdB任何復(fù)數(shù)都不能比較大小C若，則z1z2D若|z1|z2|，則z1z2或z1答案C解析A選項(xiàng)未注明a，b，c，dR.實(shí)數(shù)是復(fù)數(shù)，實(shí)數(shù)能比較大小z1與z2的模相等，符合條件的z1，z2有無數(shù)多個(gè)，如單位圓上的點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)的模都是1.故選C.4數(shù)列1，的前100項(xiàng)的和等于()A13B13C14D14答案A解析從數(shù)列排列規(guī)律看，項(xiàng)有n個(gè)，故12n100.得n(n1)200，所以n13，當(dāng)n13時(shí)，13×791(個(gè))，故前91項(xiàng)的和為13，從第92項(xiàng)開始到第100項(xiàng)全是，共9個(gè)，故前100項(xiàng)的和為13.故選A.5對一切實(shí)數(shù)x，不等式x2a|x|10恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(，2B2,2C2，)D0，)答案C解析用分離參數(shù)法可得a(x0)，則|x|2，a2.當(dāng)x0時(shí)，顯然成立6曲線yex在點(diǎn)(2，e2)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為()A.B2e2Ce2D答案D解析y(ex)ex，曲線在點(diǎn)(2，e2)處的切線斜率為e2，因此切線方程為ye2e2(x2)，則切線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)為A(1,0)，B(0，e2)，所以：SAOB×1×e2.7已知函數(shù)f(x)x312x，若f(x)在區(qū)間(2m，m1)上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A1m1B1<m1C1<m<1D1m<1答案D解析因?yàn)閒 (x)3x2123(x2)(x2)，令f (x)<02<x<2，所以函數(shù)f(x)x312x的單調(diào)遞減區(qū)間為(2,2)，要使f(x)在區(qū)間(2m，m1)上單調(diào)遞減，則區(qū)間(2m，m1)是區(qū)間(2,2)的子區(qū)間，所以從中解得1m<1，選D.8三次函數(shù)當(dāng)x1時(shí)有極大值4，當(dāng)x3時(shí)有極小值0，且函數(shù)過原點(diǎn)，則此函數(shù)是()Ayx36x29xByx36x29xCyx36x29xDyx36x29x答案B解析由條件設(shè)f(x)ax3bx2cx，則f (x)3ax22bxc3a(x1)(x3)，b6a，c9a，f(x)ax36ax29ax，f(1)4，a1.f(x)x36x29x，故選B.9若xy是正實(shí)數(shù)，則22的最小值是()A3BC4D答案C解析因?yàn)閤y是正實(shí)數(shù)，所以22x2y21214，當(dāng)且僅當(dāng)xy±時(shí)，等號成立故選C.10復(fù)數(shù)z滿足方程4，那么復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)P組成的圖形為()A以(1，1)為圓心，以4為半徑的圓B以(1，1)為圓心，以2為半徑的圓C以(1,1)為圓心，以4為半徑的圓D以(1,1)為圓心，以2為半徑的圓答案C解析原方程可化為|z(1i)|4，即|z(1i)|4，表示以(1,1)為圓心，以4為半徑的圓故選C.11已知f(x)x3bx2cxd在區(qū)間1,2上是減函數(shù)，那么bc()A有最大值B有最大值C有最小值D有最小值答案B解析由題意f(x)3x22bxc在1,2上，f(x)0恒成立所以，即，令bcz，bcz，如圖A是使得z最大的點(diǎn)，最大值為bc6.故應(yīng)選B.12(xx·福建理，10)若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(0)1，其導(dǎo)函數(shù)f(x)滿足f(x)k1，則下列結(jié)論中一定錯(cuò)誤的是()AfBfCfDf答案C解析由已知條件，構(gòu)造函數(shù)g(x)f(x)kx，則g(x)f(x)k0，故函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞增，且0，故g()g(0)，所以f()1，f()，所以結(jié)論中一定錯(cuò)誤的是C，選項(xiàng)D不確定；構(gòu)造函數(shù)h(x)f(x)x，則h(x)f(x)10，所以函數(shù)h(x)在R上單調(diào)遞增，且0，所以h()h(0)，即f()1，f()1，選項(xiàng)A，B無法判斷，故選C.二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題4分，共16分，將正確答案填在題中橫線上)13(xx·天津理，9)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)(12i)(ai)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為_答案2解析(12i)(ai)a2(12a)i是純虛數(shù)，所以a20，即a2.14已知f(x)，x0，若f1(x)f(x)，fn1(x)f(fn(x)，nN， 則fxx(x)的表達(dá)式為_答案fxx(x)解析本題考查了函數(shù)的解析式f1(x)f(x)，f2(x)f(f1(x)，f3(x)f(f2(x)，fxx(x).15定積分sintcostdt_.答案解析 sintcostdtsin2tdt(cos2t)×(11).16設(shè)曲線yxn1(nN*)在點(diǎn)(1,1)處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xn，令anlgxn，則a1a2a99的值為_答案2解析本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和對數(shù)函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)ky|x1n1，切線l：y1(n1)(x1)，令y0，xn，anlg，原式lglglglg×××lg2.三、解答題(本大題共6個(gè)小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17(本題滿分12分)已知a>b>0，求證：<<.證明要證明原不等式成立，只需證<ab2<，即證<()2<.因?yàn)閍>b>0，所以ab>0，>0.所以只需證<<，即證<2<，即證<1<，即證<1<.因?yàn)閍>b>0，所以<1<成立故原不等式成立18(本題滿分12分)請你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒，如圖所示，ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P，正好形成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒，E、F在AB上，是被切去的一個(gè)等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)，設(shè)AEFBx(cm)(1)若廣告商要求包裝盒的側(cè)面積S(cm2)最大，試問x應(yīng)取何值？(2)某廠商要求包裝盒容積V(cm3)最大，試問x應(yīng)取何值？并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長的比值解析設(shè)包裝盒的高為hcm，底面邊長為acm.由已知得ax，h(30x)，0<x<30.(1)S4ah8x(30x)8(x15)21800，所以當(dāng)x15時(shí)，S取得最大值(2)Va2h2(x330x2)，V6x(20x)由V0，得x0(舍)或x20.當(dāng)x(0,20)時(shí)，V>0；當(dāng)x(20,30)時(shí)，V<0.所以當(dāng)x20時(shí)，V取得極大值，也是最大值此時(shí).即包裝盒的高與底面邊長的比值為.19(本題滿分12分)求同時(shí)滿足下列條件的所有復(fù)數(shù)z：(1)z是實(shí)數(shù)，且1<z6；(2)z的實(shí)部和虛部都是整數(shù)解析設(shè)zabi(a，bR，且a2b20)則zabiabiabi.由(1)知z是實(shí)數(shù)，且1<z6，b0，即b0或a2b210.又1<a6，(*)當(dāng)b0時(shí)，(*)化為1<a6無解當(dāng)a2b210時(shí)，(*)化為1<2a6，<a3.由題中條件(2)知a1,2,3.相應(yīng)的b±3，±(舍)，±1.因此，復(fù)數(shù)z為：1±3i或3±i.20(本題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)1(1a)xx2x3，其中a>0.(1)討論f(x)在其定義域上的單調(diào)性；(2)當(dāng)x0,1時(shí)，求f(x)取得最大值和最小值時(shí)的x的值解析(1)f(x)的定義域?yàn)?，)，f (x)1a2x3x2，令f (x)0得x1，x2，x1<x2，所以f (x)3(xx1)(xx2)，當(dāng)x<x1或x>x2時(shí)，f (x)<0；當(dāng)x1<x<x2時(shí)，f (x)>0，故f(x)在(，x1)和(x2，)內(nèi)單調(diào)遞減，在(x1，x2)內(nèi)單調(diào)遞增(2)因?yàn)閍>0，所以x1<0，x2>0，當(dāng)a4時(shí)，x21，由(1)知，f(x)在0,1上單調(diào)遞增，所以f(x)在x0和x1處分別取得最小值和最大值當(dāng)0<a<4時(shí)，x2<1，由(1)知，f(x)在0，x2上單調(diào)遞增，在x2,1上單調(diào)遞減，所以f(x)在xx2處取得最大值，又f(0)1，f(1)a，所以當(dāng)0<a<1時(shí)，f(x)在x1處取得最小值，當(dāng)a1時(shí)，f(x)在x0處和x1處同時(shí)取得最小值當(dāng)1<a<4時(shí)，f(x)在x0處取得最小值21(本題滿分12分)已知數(shù)列an滿足a1a，an1(nN*)(1)求a2，a3，a4；(2)猜測數(shù)列an的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明解析(1)由an1，可得a2，a3，a4.(2)猜測an(nN*)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n1時(shí)，左邊a1a，右邊a，猜測成立假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時(shí)猜測成立，即ak.則當(dāng)nk1時(shí)，ak1.故當(dāng)nk1時(shí)，猜測也成立由，可知，對任意nN*都有an成立22(本題滿分14分)(xx·新課標(biāo)理，21)設(shè)函數(shù)f(x)emxx2mx.(1)證明：f(x)在(，0)單調(diào)遞減，在(0，)單調(diào)遞增；(2)若對于任意x1，x21,1，都有|f(x1)f(x2)|e1，求m的取值范圍解析(1)f(x)m(emx1)2x.若m0，則當(dāng)x(，0)時(shí)，emx10，f(x)<0；當(dāng)x(0，)時(shí)，emx10，f(x)>0.若m<0，則當(dāng)x(，0)時(shí)，emx1>0，f(x)<0；當(dāng)x(0，)時(shí)，emx1<0，f(x)>0.所以，f(x)在(，0)上單調(diào)遞減，在(0，)上單調(diào)遞增(2)由(1)知，對任意的m，f(x)在1,0上單調(diào)遞減，在0,1上單調(diào)遞增，故f(x)在x0處取得最小值所以對于任意x1，x21,1，|f(x1)f(x2)|e1的充要條件是：即，設(shè)函數(shù)g(t)ette1，則g(t)et1.當(dāng)t<0時(shí)，g(t)<0；當(dāng)t>0時(shí)，g(t)>0，故g(t)在(，0)上單調(diào)遞減，在(0，)上單調(diào)遞增又g(1)0，g(1)e12e<0，故當(dāng)t1,1時(shí)，g(t)0，當(dāng)m1,1時(shí)，g(m)0，g(m)0，即式成立當(dāng)m>1時(shí)，由g(t)的單調(diào)性，g(m)>0，即emm>e1；當(dāng)m<1時(shí)，g(m)>0，即emm>e1.綜上，m的取值范圍是1,1