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1、2022年高中數(shù)學(xué) 綜合素質(zhì)測試 新人教B版選修2-2 一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．) 1.是z的共軛復(fù)數(shù)．若z＋＝2，(z－)i＝2(i為虛數(shù)單位)，則z＝(　　) A．1＋i　　　　　　 B．－1－i C．－1＋i D．1－i [答案]　D [解析]　本題考查復(fù)數(shù)、共軛復(fù)數(shù)的運算． 設(shè)z＝a＋bi，則＝a－bi. 由題設(shè)條件可得a＝1，b＝－1.選D. 2．若f(x)＝x2－2x－4lnx，則f′(x)＞0的解集為(　　) A．(0，＋∞) B．(－1,0)∪(2，＋∞) C．(2，＋∞)

2、D．(－1,0) [答案]　C [解析]　本題主要考查導(dǎo)數(shù)的概念及分式不等式的解法和對數(shù)的概念．因為f(x)＝x2－2x－4lnx， ∴f′(x)＝2x－2－＝>0， 即，解得x>2，故選C. 3．下列命題中正確的是(　　) A．復(fù)數(shù)a＋bi與c＋di相等的充要條件是a＝c且b＝d B．任何復(fù)數(shù)都不能比較大小 C．若＝，則z1＝z2 D．若|z1|＝|z2|，則z1＝z2或z1＝ [答案]　C [解析]　A選項未注明a，b，c，d∈R.實數(shù)是復(fù)數(shù)，實數(shù)能比較大?。畓1與z2的模相等，符合條件的z1，z2有無數(shù)多個，如單位圓上的點對應(yīng)的復(fù)數(shù)的模都是1.故選C. 4．?dāng)?shù)列1

3、，，，，，，，，，，…，的前100項的和等于(　　) A．13 B．13 C．14 D．14 [答案]　A [解析]　從數(shù)列排列規(guī)律看，項有n個，故1＋2＋…＋n＝≤100.得n(n＋1)≤200，所以n≤13，當(dāng)n＝13時，＝13×7＝91(個)，故前91項的和為13，從第92項開始到第100項全是，共9個，故前100項的和為13.故選A. 5．對一切實數(shù)x，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－∞，－2] B．[－2,2] C．[－2，＋∞) D．[0，＋∞) [答案]　C [解析]　用分離參數(shù)法可得a≥－(x≠0)，則|x|＋≥2，∴

4、a≥－2.當(dāng)x＝0時，顯然成立． 6．曲線y＝ex在點(2，e2)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為(　　) A. B．2e2 C．e2 D． [答案]　D [解析]　y′＝(ex)′＝ex，曲線在點(2，e2)處的切線斜率為e2，因此切線方程為y－e2＝e2(x－2)，則切線與坐標(biāo)軸交點為A(1,0)，B(0，－e2)， 所以：S△AOB＝×1×e2＝. 7．已知函數(shù)f(x)＝x3－12x，若f(x)在區(qū)間(2m，m＋1)上單調(diào)遞減，則實數(shù)m的取值范圍是(　　) A．－1≤m≤1 B．－1

5、x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)，令f ′(x)<0?－2

6、－3)，∴b＝－6a，c＝9a， ∴f(x)＝ax3－6ax2＋9ax，∵f(1)＝4，∴a＝1. ∴f(x)＝x3－6x2＋9x，故選B. 9．若xy是正實數(shù)，則2＋2的最小值是(　　) A．3 B． C．4 D． [答案]　C [解析]　因為xy是正實數(shù)，所以 2＋2＝x2＋＋＋y2＋＋ ＝＋＋≥1＋2＋1＝4，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝±時，等號成立．故選C. 10．復(fù)數(shù)z滿足方程＝4，那么復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點P組成的圖形為(　　) A．以(1，－1)為圓心，以4為半徑的圓 B．以(1，－1)為圓心，以2為半徑的圓 C．以(－1,1)為圓心，以4為半徑的圓 D．以(

7、－1,1)為圓心，以2為半徑的圓 [答案]　C [解析]　原方程可化為|z＋(1－i)|＝4，即|z－(－1＋i)|＝4，表示以(－1,1)為圓心，以4為半徑的圓．故選C. 11．已知f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在區(qū)間[－1,2]上是減函數(shù)，那么b＋c(　　) A．有最大值 B．有最大值－ C．有最小值 D．有最小值－ [答案]　B [解析]　由題意f′(x)＝3x2＋2bx＋c在[－1,2]上，f′(x)≤0恒成立． 所以， 即， 令b＋c＝z，b＝－c＋z， 如圖A是使得z最大的點， 最大值為b＋c＝－6－＝－.故應(yīng)選B. 12．(xx·福建理，10)若定義在

8、R上的函數(shù)f(x)滿足f(0)＝－1，其導(dǎo)函數(shù)f′(x)滿足f′(x)＞k＞1，則下列結(jié)論中一定錯誤的是(　　) A．f＜ B．f＞ C．f＜ D．f＞ [答案]　C [解析]　由已知條件，構(gòu)造函數(shù)g(x)＝f(x)－kx，則g′(x)＝f′(x)－k＞0，故函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞增，且＞0，故g()＞g(0)，所以f()－＞－1，f()＞，所以結(jié)論中一定錯誤的是C，選項D不確定；構(gòu)造函數(shù)h(x)＝f(x)－x，則h′(x)＝f′(x)－1＞0，所以函數(shù)h(x)在R上單調(diào)遞增，且＞0，所以h()＞h(0)，即f()－＞－1，f()＞－1，選項A，B無法判斷，故選C. 二、填空題(本

9、大題共4個小題，每小題4分，共16分，將正確答案填在題中橫線上) 13．(xx·天津理，9)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)(1－2i)(a＋i)是純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為________． [答案]　－2 [解析]　(1－2i)(a＋i)＝a＋2＋(1－2a)i是純虛數(shù)，所以a＋2＝0，即a＝－2. 14．已知f(x)＝，x≥0，若f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，n∈N＋， 則fxx(x)的表達式為________． [答案]　fxx(x)＝ [解析]　本題考查了函數(shù)的解析式． f1(x)＝f(x)＝，f2(x)＝f(f1(x))＝＝，f3(x)＝f(f2(x))＝

10、＝，…， fxx(x)＝. 15．定積分sintcostdt＝________. [答案]　 [解析]　 sintcostdt＝sin2tdt ＝(－cos2t)＝×(1＋1)＝. 16．設(shè)曲線y＝xn＋1(n∈N*)在點(1,1)處的切線與x軸的交點的橫坐標(biāo)為xn，令an＝lgxn，則a1＋a2＋…＋a99的值為________． [答案]?。? [解析]　本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和對數(shù)函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)． ∵k＝y(tǒng)′|x＝1＝n＋1， ∴切線l：y－1＝(n＋1)(x－1)， 令y＝0，xn＝，∴an＝lg， ∴原式＝lg＋lg＋…＋lg ＝lg××…×＝lg＝－

11、2. 三、解答題(本大題共6個小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17．(本題滿分12分)已知a>b>0，求證：<－<. [證明]　要證明原不等式成立， 只需證b>0，所以a－b>0，－>0. 所以只需證<－<， 即證<2<， 即證<1<，即證<1<. 因為a>b>0，所以<1<成立． 故原不等式成立． 18．(本題滿分12分)請你設(shè)計一個包裝盒，如圖所示，ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A，B，C，D四個點重合于圖中的點P，正好形成

12、一個正四棱柱形狀的包裝盒，E、F在AB上，是被切去的一個等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設(shè)AE＝FB＝x(cm)． (1)若廣告商要求包裝盒的側(cè)面積S(cm2)最大，試問x應(yīng)取何值？ (2)某廠商要求包裝盒容積V(cm3)最大，試問x應(yīng)取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值． [解析]　設(shè)包裝盒的高為hcm，底面邊長為acm. 由已知得a＝x，h＝＝(30－x)，0

13、x＝20. 當(dāng)x∈(0,20)時，V′>0；當(dāng)x∈(20,30)時，V′<0. 所以當(dāng)x＝20時，V取得極大值，也是最大值． 此時＝.即包裝盒的高與底面邊長的比值為. 19．(本題滿分12分)求同時滿足下列條件的所有復(fù)數(shù)z： (1)z＋是實數(shù)，且1

14、化為1<2a≤6， ∴0. (1)討論f(x)在其定義域上的單調(diào)性； (2)當(dāng)x∈[0,1]時，求f(x)取得最大值和最小值時的x的值． [解析]　(1)f(x)的定義域為(－∞，＋∞)，f ′(x)＝1＋a－2x－3x2， 令f ′(x)＝0得x1＝， x2＝，x1x2時，f ′(x)<0；當(dāng)x1<

15、x0，故f(x)在(－∞，x1)和(x2，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減，在(x1，x2)內(nèi)單調(diào)遞增． (2)因為a>0，所以x1<0，x2>0， ①當(dāng)a≥4時，x2≥1，由(1)知，f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增，所以f(x)在x＝0和x＝1處分別取得最小值和最大值． ②當(dāng)0

16、(x)在x＝0處取得最小值． 21．(本題滿分12分)已知數(shù)列{an}滿足a1＝a，an＋1＝(n∈N*)． (1)求a2，a3，a4； (2)猜測數(shù)列{an}的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明． [解析]　(1)由an＋1＝，可得a2＝＝，a3＝＝＝，a4＝＝＝. (2)猜測an＝(n∈N*)． 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： ①當(dāng)n＝1時，左邊＝a1＝a， 右邊＝＝a，猜測成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時猜測成立， 即ak＝. 則當(dāng)n＝k＋1時，ak＋1＝＝ ＝ ＝. 故當(dāng)n＝k＋1時，猜測也成立． 由①，②可知，對任意n∈N*都有 an＝成立． 22．(本題

17、滿分14分)(xx·新課標(biāo)Ⅱ理，21)設(shè)函數(shù)f(x)＝emx＋x2－mx. (1)證明：f(x)在(－∞，0)單調(diào)遞減，在(0，＋∞)單調(diào)遞增； (2)若對于任意x1，x2∈[－1,1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤e－1，求m的取值范圍． [解析]　(1)f′(x)＝m(emx－1)＋2x. 若m≥0，則當(dāng)x∈(－∞，0)時，emx－1≤0，f′(x)<0； 當(dāng)x∈(0，＋∞)時，emx－1≥0，f′(x)>0. 若m<0，則當(dāng)x∈(－∞，0)時，emx－1>0，f′(x)<0； 當(dāng)x∈(0，＋∞)時，emx－1<0，f′(x)>0. 所以，f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞

18、減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增． (2)由(1)知，對任意的m，f(x)在[－1,0]上單調(diào)遞減，在[0,1]上單調(diào)遞增，故f(x)在x＝0處取得最小值．所以對于任意x1，x2∈[－1,1]，|f(x1)－f(x2)|≤e－1的充要條件是：即①，設(shè)函數(shù)g(t)＝et－t－e＋1，則g′(t)＝et－1.當(dāng)t<0時，g′(t)<0；當(dāng)t>0時，g′(t)>0，故g(t)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．又g(1)＝0，g(－1)＝e－1＋2－e<0，故當(dāng)t∈[－1,1]時，g(t)≤0，當(dāng)m∈[－1,1]時，g(m)≤0，g(－m)≤0，即①式成立．當(dāng)m>1時，由g(t)的單調(diào)性，g(m)>0，即em－m>e－1；當(dāng)m<－1時，g(－m)>0，即e－m＋m>e－1.綜上，m的取值范圍是[－1,1]．