2022年高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題復(fù)習(xí)導(dǎo)練測(cè) 第二章 第3講 函數(shù)的奇偶性與周期性 理 新人教A版一、選擇題1設(shè)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)當(dāng)x0時(shí)，f(x)2x2xb(b為常數(shù))，則f(1)等于()A3 B1 C1 D3解析由f(0)f(0)，即f(0)0.則b1，f(x)2x2x1，f(1)f(1)3.答案D2已知定義在R上的奇函數(shù)，f(x)滿(mǎn)足f(x2)f(x)，則f(6)的值為 ()A1 B0 C1 D2解析(構(gòu)造法)構(gòu)造函數(shù)f(x)sin x，則有f(x2)sinsin xf(x)，所以f(x)sin x是一個(gè)滿(mǎn)足條件的函數(shù)，所以f(6)sin 30，故選B.答案B3定義在R上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x)f(x2)，當(dāng)x3,5時(shí)，f(x)2|x4|，則下列不等式一定成立的是 ()Af>f Bf(sin 1)<f(cos 1)Cf<f Df(cos 2)>f(sin 2)解析當(dāng)x1,1時(shí)，x43,5，由f(x)f(x2)f(x4)2|x44|2|x|，顯然當(dāng)x1,0時(shí)，f(x)為增函數(shù)；當(dāng)x0,1時(shí)，f(x)為減函數(shù)，cos，sin >，又ff>f，所以f>f.答案A4已知函數(shù)f(x)則該函數(shù)是 ()A偶函數(shù)，且單調(diào)遞增 B偶函數(shù)，且單調(diào)遞減C奇函數(shù)，且單調(diào)遞增 D奇函數(shù)，且單調(diào)遞減解析當(dāng)x>0時(shí)，f(x)2x1f(x)；當(dāng)x<0時(shí)，f(x)12(x)12xf(x)當(dāng)x0時(shí)，f(0)0，故f(x)為奇函數(shù)，且f(x)12x在0，)上為增函數(shù)，f(x)2x1在(，0)上為增函數(shù)，又x0時(shí)12x0，x<0時(shí)2x1<0，故f(x)為R上的增函數(shù)答案C5已知f(x)是定義在R上的周期為2的周期函數(shù)，當(dāng)x0,1)時(shí)，f(x)4x1，則f(5.5)的值為()A2 B1 C D1解析 f(5.5)f(5.56)f(0.5)40.511.答案D6設(shè)函數(shù)D(x)則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是 ()AD(x)的值域?yàn)?,1 BD(x)是偶函數(shù)CD(x)不是周期函數(shù) DD(x)不是單調(diào)函數(shù)解析顯然D(x)不單調(diào)，且D(x)的值域?yàn)?,1，因此選項(xiàng)A、D正確若x是無(wú)理數(shù)，x，x1是無(wú)理數(shù)；若x是有理數(shù)，x，x1也是有理數(shù)D(x)D(x)，D(x1)D(x)則D(x)是偶函數(shù)，D(x)為周期函數(shù)，B正確，C錯(cuò)誤答案C二、填空題7若函數(shù)f(x)x2|xa|為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a_.解析由題意知，函數(shù)f(x)x2|xa|為偶函數(shù)，則f(1)f(1)，1|1a|1|1a|，a0.答案08已知yf(x)x2是奇函數(shù)，且f(1)1.若g(x)f(x)2，則g(1)_.解析因?yàn)閥f(x)x2是奇函數(shù)，且x1時(shí)，y2，所以當(dāng)x1時(shí)，y2，即f(1)(1)22，得f(1)3，所以g(1)f(1)21.答案19設(shè)奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?,5，當(dāng)x0,5時(shí)，函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示，則使函數(shù)值y0的x的取值集合為_(kāi)解析由原函數(shù)是奇函數(shù)，所以yf(x)在5,5上的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，由yf(x)在0,5上的圖象，得它在5,0上的圖象，如圖所示由圖象知，使函數(shù)值y0的x的取值集合為(2,0)(2,5)答案(2,0)(2,5)10 設(shè)f(x)是偶函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)是單調(diào)函數(shù)，則滿(mǎn)足f(2x)f的所有x之和為_(kāi)解析 f(x)是偶函數(shù)，f(2x)f，f(|2x|)f，又f(x)在(0，)上為單調(diào)函數(shù)，|2x|，即2x或2x，整理得2x27x10或2x29x10，設(shè)方程2x27x10的兩根為x1，x2，方程2x29x10的兩根為x3，x4.則(x1x2)(x3x4)8.答案 8三、解答題11已知f(x)是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對(duì)任意x，y，f(x)都滿(mǎn)足f(xy)yf(x)xf(y)(1)求f(1)，f(1)的值；(2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性解(1)因?yàn)閷?duì)定義域內(nèi)任意x，y，f(x)滿(mǎn)足f(xy)yf(x)xf(y)，所以令xy1，得f(1)0，令xy1，得f(1)0.(2)令y1，有f(x)f(x)xf(1)，代入f(1)0得f(x)f(x)，所以f(x)是(，)上的奇函數(shù)12已知函數(shù)f(x)對(duì)任意x，yR，都有f(xy)f(x)f(y)，且x0時(shí)，f(x)0，f(1)2.(1)求證f(x)是奇函數(shù)；(2)求f(x)在3,3上的最大值和最小值(1)證明令xy0，知f(0)0；再令yx，則f(0)f(x)f(x)0，所以f(x)為奇函數(shù)(2)解任取x1x2，則x2x10，所以f(x2x1)fx2(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)0，所以f(x)為減函數(shù)而f(3)f(21)f(2)f(1)3f(1)6，f(3)f(3)6.所以f(x)maxf(3)6，f(x)minf(3)6.13.已知函數(shù)f(x)是(，)上的奇函數(shù)，且f(x)的圖象關(guān)于x1對(duì)稱(chēng)，當(dāng)x0,1時(shí)，f(x)2x1，(1)求證：f(x)是周期函數(shù)；(2)當(dāng)x1,2時(shí)，求f(x)的解析式；(3)計(jì)算f(0)f(1)f(2)f(xx)的值解析 (1)證明函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則f(x)f(x)，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x1對(duì)稱(chēng)，則f(2x)f(x)f(x)，所以f(4x)f(2x)2f(2x)f(x)，所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù)(2) 當(dāng)x1,2時(shí)，2x0,1，又f(x)的圖象關(guān)于x1對(duì)稱(chēng)，則f(x)f(2x)22x1，x1,2(3) f(0)0，f(1)1，f(2)0，f(3)f(1)f(1)1又f(x)是以4為周期的周期函數(shù)f(0)f(1)f(2)f(xx)f(2 012)f(2 013)f(0)f(1)1.14已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且滿(mǎn)足f(x2)f(x)(1)求證：f(x)是周期函數(shù)；(2)若f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)0x1時(shí)，f(x)x，求使f(x)在0,2 014上的所有x的個(gè)數(shù)(1)證明f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)，f(x)是以4為周期的周期函數(shù)(2)解當(dāng)0x1時(shí)，f(x)x，設(shè)1x0，則0x1，f(x)(x)x.f(x)是奇函數(shù)，f(x)f(x)，f(x)x，即f(x)x.故f(x)x(1x1)又設(shè)1<x<3，則1<x2<1，f(x2)(x2)又f(x)是以4為周期的周期函數(shù)f(x2)f(x2)f(x)，f(x)(x2)，f(x)(x2)(1<x<3)f(x)由f(x)，解得x1.f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，f(x)的所有x4n1(nZ)令04n12 014，則n.又nZ，1n503(nZ)，在0,2 014上共有503個(gè)x使f(x).