2022年高三數(shù)學(xué)12月月考試題 理（含解析）新人教A版【試卷綜述】本試卷注重對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想和方法的考查，突出了對(duì)數(shù)學(xué)的計(jì)算能力、邏輯思維能力等方面的考察。突出考查數(shù)學(xué)主干知識(shí) ,側(cè)重于中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的考查；側(cè)重于知識(shí)交匯點(diǎn)的考查。注重雙基和數(shù)學(xué)思想數(shù)學(xué)方法的復(fù)習(xí)，注重運(yùn)算能力思維能力的培養(yǎng)。較多試題是以綜合題的形式出現(xiàn)，在考查學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，能考查學(xué)生的能力?！绢}文】一、選擇題：（本大題共10小題，每小題5分，共50分）【題文】1已知集合A=1,3,4,6,7,8，B=1,2,4,5,6則集合AB有（ ）個(gè)子集 A.3 B.4 C.7 D.8【知識(shí)點(diǎn)】集合運(yùn)算；子集的概念. A1 【答案】【解析】D 解析： AB=1,4,6，AB有個(gè)子集，故選D.【思路點(diǎn)撥】求得AB，再用公式求其子集個(gè)數(shù). 【題文】2設(shè)向量滿足，則（ ） A.1 B.2 C.3 D.5 【知識(shí)點(diǎn)】向量的模與與向量數(shù)量積的關(guān)系. F1 F3 【答案】【解析】A 解析：因?yàn)椋詢墒较鄿p得:44，所以1，故選A. 【思路點(diǎn)撥】將向量的模平方，轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積運(yùn)算，再相減得結(jié)論. 【題文】3已知a,b為實(shí)數(shù)，命題甲：，命題乙：，則甲是乙的（ ） A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【知識(shí)點(diǎn)】充分條件；必要條件的判定. A2 【答案】【解析】B 解析：當(dāng)a=2,b=1時(shí)，但不成立；當(dāng)時(shí)，則成立，所以選B. 【思路點(diǎn)撥】只需判斷命題：“若甲則乙”與“若乙則甲”的真假. 【題文】4已知變量滿足約束條件，則的最大值為( ) A.8 B.11 C.9 D.12【知識(shí)點(diǎn)】簡單的線性規(guī)劃. E5 【答案】【解析】B 解析：畫出可行域，平移目標(biāo)函數(shù)得最優(yōu)解為直線y=2與x-y=1的交點(diǎn)（3,2）所以的最大值為11，故選B. 【思路點(diǎn)撥】畫出可行域，平移目標(biāo)函數(shù)確定最優(yōu)解即可. 【題文】5已知且，則=（） A.-6或-2 B.-6 C.2或-6 D.2【知識(shí)點(diǎn)】兩個(gè)集合交集是空集的條件. A1 【答案】【解析】A 解析：若，則或，解得a= -6或a= -2,故選A. 【思路點(diǎn)撥】要使，需使：缺少點(diǎn)（2，3）的直線y-3=3(x-2)與直線ax+2y+a=0平行，或者直線ax+2y+a=0過點(diǎn)（2，3），但不與直線y-3=3(x-2)重合即可. 【題文】6已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足：，若存在兩項(xiàng)使得，則的最小值為(    ) A. B. C. D. 不存在【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列的性質(zhì)；基本不等式 D3 E6【答案】【解析】A 解析：設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為q, ,則若，故選A【思路點(diǎn)撥】根據(jù)條件求出等比數(shù)列的公比，再結(jié)合，求出m,n的和，再結(jié)合基本不等式，即可得到答案.【題文】7設(shè)斜率為的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)在軸上的射影恰好是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則該橢圓的離心率為()A. B. C. D.【知識(shí)點(diǎn)】直線與圓錐曲線 H8【答案】【解析】C 解析：兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-c,c，所以兩個(gè)交點(diǎn)分別為，代入橢圓，兩邊乘以則，故選C.【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)題意表示出兩個(gè)焦點(diǎn)的交點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程，再解有關(guān)于a與c的關(guān)系式即可.【題文】8若（），則在中，正數(shù)的個(gè)數(shù)是（ ） A. 882 B. 756 C.750 D. 378 【知識(shí)點(diǎn)】三角函數(shù)的性質(zhì) C3【答案】【解析】B 解析：由題意可知，由三角函數(shù)值與三角函數(shù)的周期性可知前16個(gè)值中有6個(gè)正數(shù)，分別為，16個(gè)值為一組呈現(xiàn)周期性，xx為，所以正數(shù)的個(gè)數(shù)為，故選B【思路點(diǎn)撥】由三角函數(shù)值與三角函數(shù)的周期性可知前16個(gè)值為一個(gè)周期，其16個(gè)值中有6個(gè)正數(shù)，分別為，類推可得結(jié)果.【題文】9已知A，B，C，D是函數(shù)一個(gè)周期內(nèi)的圖象上的四個(gè)點(diǎn)，如圖所示，,B為軸上的點(diǎn)，C為圖像上的最低點(diǎn)，E為該函數(shù)圖像的一個(gè)對(duì)稱中心，B與D關(guān)于點(diǎn)E對(duì)稱，在軸上的投影為，則的值為（ ） A. B C. D.【知識(shí)點(diǎn)】三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) C4【答案】【解析】D 解析：因?yàn)锳，B，C，D，E是函數(shù)y=sin（x+ ）（0，0一個(gè)周期內(nèi)的圖象上的五個(gè)點(diǎn)，如圖所示，B為y軸上的點(diǎn)，C為圖象上的最低點(diǎn)，E為該函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，B與D關(guān)于點(diǎn)E對(duì)稱，在x軸上的投影為，所以T=4×（）=，所以=2，因?yàn)?，所?=sin（+ ），0，=故選D【思路點(diǎn)撥】通過函數(shù)的圖象，結(jié)合已知條件求出函數(shù)的周期，推出，利用A的坐標(biāo)求出的值即可【題文】10.如圖，已知B、C是以原點(diǎn)O為圓心，半徑為1的圓與軸的交點(diǎn)，點(diǎn)A在劣弧PQ（包括端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，其中，OPOQ，作AHBC于H。若記，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的基本定理及其意義 F1【答案】【解析】B 解析：由題意，B（1，0），C（1，0），由三角函數(shù)定義，可設(shè)A（cos，sin），則H（cos，0），由，可得，由，知xy，故選：B【思路點(diǎn)撥】由三角函數(shù)定義，可設(shè)A（cos，sin），則H（cos，0），利用，求出x，y，表示出xy，即可求出其取值范圍. 【題文】二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共計(jì)25分）【題文】11設(shè)復(fù)數(shù)，則_【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算L4【答案】【解析】 解析： 故答案為?！舅悸伏c(diǎn)撥】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，然后利用復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求模【題文】12若命題“”為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_【知識(shí)點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用A2【答案】【解析】 解析：“”是假命題“”的否定“xR，”為真命題令，y表示數(shù)軸上的點(diǎn)x到數(shù)2及-1的距離，所以y的最小值為3，故答案為?！舅悸伏c(diǎn)撥】利用已知判斷出否命題為真命題；構(gòu)造函數(shù)，利用絕對(duì)值的幾何意義求出函數(shù)的最小值，令最小值大于2，求出a的范圍【題文】13已知是定義在R上的奇函數(shù)。當(dāng)時(shí)，則不等式的解集為_【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)B5【答案】【解析】-5，05，+） 解析：f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，f（0）=0設(shè)x0，則-x0，f（-x）=x2+4x，又f（-x）=x2+4x=-f（x），f（x）=-x2-4x，x0當(dāng)x0時(shí)，由f（x）x得x2-4xx，即x2-5x0，解得x5或x0（舍去），此時(shí)x5當(dāng)x=0時(shí)，f（0）0成立當(dāng)x0時(shí)，由f（x）x得-x2-4xx，即x2+5x0，解得-5x0（舍去），此時(shí)-5x0綜上-5x0或x5故答案為：-5，05，+）【思路點(diǎn)撥】根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出函數(shù)f（x）的表達(dá)式，然后解不等式即可【題文】14.有兩個(gè)零點(diǎn)，則_【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的圖像.B10【答案】【解析】 解析：因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn)，即有兩個(gè)根,令,即兩個(gè)函數(shù)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖像可知，故【思路點(diǎn)撥】利用數(shù)形結(jié)合法即可?！绢}文】15.點(diǎn)P（-1,0）在動(dòng)直線上的射影為M，已知點(diǎn)N（3,3），則線段MN長度的最大值是_【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的性質(zhì)；與直線關(guān)于點(diǎn)、直線對(duì)稱的直線方程D2H2【答案】【解析】 解析：易知?jiǎng)又本€恒過定A點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為以AP為直徑的圓B上，MN長度的最大值為。故答案為?！舅悸伏c(diǎn)撥】先求出直線恒過的定點(diǎn)坐標(biāo)，然后求出動(dòng)點(diǎn)M的軌跡，再計(jì)算最大值即可。【題文】三、解答題（本大題共6小題，16，17，18題每題13分，19，20，21題每題12分.）【題文】16已知函數(shù)。(1) 求函數(shù)的最小正周期和值域；(2) 若為第二象限角，且，求的值?！局R(shí)點(diǎn)】二倍角公式；兩角和與差的三角函數(shù)；的性質(zhì)；同角三角函數(shù)關(guān)系；三角函數(shù)的求值與化簡. C6 C5 C4 C2 C7【答案】【解析】（1）函數(shù)f(x)的最小正周期為2，值域?yàn)?1,3；（2）. 解析：（1），函數(shù)f(x)的最小正周期為2，值域?yàn)?1,3.(2)，即，又是第二象限角，.=原式=【思路點(diǎn)撥】（1）利用二倍角公式，兩角和與差的三角函數(shù)公式把函數(shù)f(x)化為：，再確定其周期和值域；（2）由（1）及已知得，.然后把所求化簡得，所求=，從而得所求值. 【題文】17.設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列， 恰好是等比數(shù)列的前三項(xiàng)，。（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若對(duì)任意的， 恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍?！局R(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列；等比數(shù)列 D2 D3【答案】【解析】 (1) (2) 解析：設(shè)公差為d，則有 ，又因?yàn)椋?) ， 對(duì)恒成立， 對(duì)恒成立，令，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，【思路點(diǎn)撥】根據(jù)等差、等比數(shù)列的概念可列出關(guān)系求出公差與公比，再寫出通項(xiàng)公式，第二問，可變形為與k有關(guān)的不等式，再利用通項(xiàng)的性質(zhì)進(jìn)行證明.18.已知函數(shù)（為常數(shù)）。（1）若是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，求的值；（2）當(dāng)0a2時(shí)，試判斷f（x）的單調(diào)性；（3）若對(duì)任意的 存在，使不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍?！局R(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性B12【答案】【解析】（1）3；（2）f（x）在（0，+）上是增函數(shù)；（3）（，log2e。 解析：依題意（1）由已知得：f'（1）=0，1+2a=0，a=3（3分）（2）當(dāng)0a2時(shí)，f（x）=因?yàn)?a2，所以，而x0，即，故f（x）在（0，+）上是增函數(shù)（8分）（3）當(dāng)a（1，2）時(shí)，由（2）知，f（x）在1，2上的最小值為f（1）=1a，故問題等價(jià)于：對(duì)任意的a（1，2），不等式1amlna恒成立即恒成立記，（1a2），則，（10分）令M（a）=alna1+a，則M'（a）=lna0所以M（a），所以M（a）M（1）=0（12分）故g'（a）0，所以在a（1，2）上單調(diào)遞減，所以即實(shí)數(shù)m的取值范圍為（，log2e（14分）【思路點(diǎn)撥】（1）求導(dǎo)數(shù)，利用極值的 定義，即可求a的值；當(dāng)0a2時(shí)，判斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，即可判斷f（x）的單調(diào)性；（3）問題等價(jià)于：對(duì)任意的a（1，2），不等式1amlna恒成立即恒成立【題文】19.在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為，b，c，且，1，b2。(1)求C和邊c；(2)若,且點(diǎn)P為BMN內(nèi)切圓上一點(diǎn)，求的最大值。【知識(shí)點(diǎn)】二倍角公式；誘導(dǎo)公式；余弦定理；坐標(biāo)法求最值. C2 C6 C8 H9【答案】【解析】（1）C ，c=；(2) 最大值 解析：(1)2sin2cos 2C1，cos 2C12sin2cos(AB)cos C， 2cos2Ccos C10，cos C或cos C1，C(0，)，cos C，C由余弦定理得c（2） 建立坐標(biāo)系，由（1）A，由,知，BMN的內(nèi)切圓方程為：，設(shè)，則令 【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)二倍角公式，誘導(dǎo)公式及三角形內(nèi)角范圍，求得 C，再由余弦定理求邊c的長；（2）由(1)知ABC 是B=90°，C=60°的直角三角形，故可以以B為原點(diǎn)，直線BA為x軸，直線BC 為y軸建立直角坐標(biāo)系，從而得BMN的內(nèi)切圓的參數(shù)方程，進(jìn)一步得所求關(guān)于的函數(shù)，求此函數(shù)最大值即可. 【題文】20.已知點(diǎn),橢圓E:的離心率為；F是橢圓E的下焦點(diǎn)，直線AF的斜率為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)。（1）求E的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)A的動(dòng)直線與E 相交于M,N兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求的直線方程?！局R(shí)點(diǎn)】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；直線與圓錐曲線 H5 H8【答案】【解析】(1) (2) 解析：設(shè)橢圓的下焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以AF的斜率，；（2） 依題直線的斜率存在。設(shè)聯(lián)立方程消去得：， 設(shè)，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)的直線方程為?！舅悸伏c(diǎn)撥】根據(jù)已知條件可求出橢圓的幾何量a,b,c,再列出橢圓方程，根據(jù)直線與圓錐曲線的關(guān)系可聯(lián)立方程，找出所用條件求解.【題文】21已知數(shù)列中， （1）設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求使不等式成立的的取值范圍?！局R(shí)點(diǎn)】數(shù)列遞推式；數(shù)學(xué)歸納法D1 M3【答案】【解析】（1）（2）（2， 解析：（1），即bn+1=4bn+2，a1=1，故所以是首項(xiàng)為，公比為4的等比數(shù)列，（）a1=1，a2=c1，由a2a1得c2用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)c2時(shí)anan+1（）當(dāng)n=1時(shí)，a2=ca1，命題成立；（ii）設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，akak+1，則當(dāng)n=k+1時(shí)，故由（i）（ii）知當(dāng)c2時(shí)，anan+1當(dāng)c2時(shí)，令=，由當(dāng)2c時(shí)，an3當(dāng)c時(shí)，3且1an于是當(dāng)n因此c不符合要求所以c的取值范圍是（2，【思路點(diǎn)撥】（1）令c=代入到an+1=c中整理并令bn=進(jìn)行替換，得到關(guān)系式bn+1=4bn+2，進(jìn)而可得到是首項(xiàng)為，公比為4的等比數(shù)列，先得到的通項(xiàng)公式，即可得到數(shù)列bn的通項(xiàng)公式（2）先求出n=1，2時(shí)的c的范圍，然后用數(shù)學(xué)歸納法分3步進(jìn)行證明當(dāng)c2時(shí)anan+1，然后當(dāng)c2時(shí)，令=，根據(jù)由可發(fā)現(xiàn)c時(shí)不能滿足條件，進(jìn)而可確定c的范圍二、填空題11. 12. 13. 14. 15. 15. 15.易知?jiǎng)又本€恒過定A點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為以AP為直徑的圓B上，MN長度的最大值為。三、 解答題16【解析】(1)因?yàn)閒(x)1cos xsin x12cos，17.() ， 對(duì)恒成立， 對(duì)恒成立，令，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，18.19.解：(1)2sin2cos 2C1，cos 2C12sin2cos(AB)cos C，2cos2Ccos C10，cos C或cos C1，C(0，)，cos C，C由余弦定理得c（3） 建立坐標(biāo)系，由（1）A，由,知，BMN的內(nèi)切圓方程為：，設(shè)，則令20.（1）；（3） 依題直線的斜率存在。設(shè)聯(lián)立方程消去得：，設(shè)，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)的直線方程為。21.