2022年高二下學期期中數(shù)學試卷（文科） 含解析一、選擇題（共10小題，每小題4分，滿分40分）1已知全集U=1，2，3，4，集合A=1，2，B=2，3，則U（AB）=（）A1，3，4B3，4C3D42下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間（0，+）上單調(diào)遞減的是（）Ay=By=exCy=x2+1Dy=lg|x|3用反證法證明：若整系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有有理數(shù)根，那么a、b、c中至少有一個偶數(shù)時，下列假設(shè)正確的是（）A假設(shè)a、b、c都是偶數(shù)B假設(shè)a、b、c都不是偶數(shù)C假設(shè)a、b、c至多有一個偶數(shù)D假設(shè)a、b、c至多有兩個偶數(shù)4“a2”是“對數(shù)函數(shù)f（x）=logax為增函數(shù)”的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件5函數(shù)f（x）=的值域為（）A（e，+）B（，e）C（，e）D（e，+）6設(shè)a=log37，b=21.1，c=0.83.1，則（）AbacBcabCcbaDacb7若x，y滿足且z=2x+y的最大值為6，則k的值為（）A1B1C7D78函數(shù)y=f（x）的圖象如圖所示，在區(qū)間a，b上可找到n（n2）個不同的數(shù)x1，x2，xn，使得=，則n的取值范圍為（）A2，3B2，3，4C3，4D3，4，59已知定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足f（x+2）=2f（x），當x0，2時，則函數(shù)y=f（x）在2，4上的大致圖象是（）ABCD10加工爆米花時，爆開且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”，在特定條件下，可食用率p與加工時間t（單位：分鐘）滿足函數(shù)關(guān)系p=at2+bt+c（a，b，c是常數(shù)），如圖記錄了三次實驗的數(shù)據(jù)，根據(jù)上述函數(shù)模型和實驗數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時間為（）A3.50分鐘B3.75分鐘C4.00分鐘D4.25分鐘二.填空題：本大題共6個小題，每小題5分，共30分.11 =_12已知函數(shù)f（x）=4x+（x0，a0）在x=3時取得最小值，則a=_13觀察下列不等式：=1，=，=，=3， =，依此規(guī)律，第n個等式為_14若變量x，y滿足約束條件，則z=x+2y的最大值是_15已知f（x）是定義域為R的偶函數(shù)，當x0時，f（x）=x24x，那么當x0時，f（x）=_，不等式f（x+2）5的解集是_16在平面直角坐標系中，若點P（x，y）的坐標x，y均為整數(shù)，則稱點P為格點若一個多邊形的頂點全是格點，則稱該多邊形為格點多邊形格點多邊形的面積記為S，其內(nèi)部的格點數(shù)記為N，邊界上的格點數(shù)記為L例如圖中ABC是格點三角形，對應(yīng)的S=1，N=0，L=4（）圖中格點四邊形DEFG對應(yīng)的S，N，L分別是_；（）已知格點多邊形的面積可表示為S=aN+bL+c其中a，b，c為常數(shù)若某格點多邊形對應(yīng)的N=71，L=18，則S=_（用數(shù)值作答）三、解答題：本大題共4個小題，共50分.解答時需寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17已知函數(shù)f（x）=lg的定義域為集合A，函數(shù)g（x）=的定義域為集合B（1）求集合A，B；（2）若AB，求實數(shù)a的取值范圍18已知函數(shù)f（x）=x2bx+c，f（x）的對稱軸為x=1且f（0）=1（1）求b，c的值；（2）當x0，3時，求f（x）的取值范圍（3）若不等式f（log2k）f（2）成立，求實數(shù)k的取值范圍19已知函數(shù)f（x）=x2a2x+a（a0）（1）若a=1，求函數(shù)f（x）在0，2上的最大值；（2）若對任意x0，+），有f（x）0恒成立，求a的取值范圍20已知函數(shù)f（x）=x+lnx，aR（1）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1）處的切線方程；（2）若f（x）在區(qū)間（1，4）內(nèi)單調(diào)遞增，求a的取值范圍；（3）討論函數(shù)g（x）=f（x）x的零點個數(shù)參考答案與試題解析一、選擇題（共10小題，每小題4分，滿分40分）1已知全集U=1，2，3，4，集合A=1，2，B=2，3，則U（AB）=（）A1，3，4B3，4C3D4【考點】交、并、補集的混合運算【分析】根據(jù)A與B求出兩集合的并集，由全集U，找出不屬于并集的元素，即可求出所求的集合【解答】解：A=1，2，B=2，3，AB=1，2，3，全集U=1，2，3，4，U（AB）=4故選D2下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間（0，+）上單調(diào)遞減的是（）Ay=By=exCy=x2+1Dy=lg|x|【考點】函數(shù)奇偶性的判斷；函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義，可得C，D是偶函數(shù)，其中C在區(qū)間（0，+）上單調(diào)遞減，D在區(qū)間（0，+）上單調(diào)遞增，可得結(jié)論【解答】解：根據(jù)偶函數(shù)的定義，可得C，D是偶函數(shù)，其中C在區(qū)間（0，+）上單調(diào)遞減，D在區(qū)間（0，+）上單調(diào)遞增，故選：C3用反證法證明：若整系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有有理數(shù)根，那么a、b、c中至少有一個偶數(shù)時，下列假設(shè)正確的是（）A假設(shè)a、b、c都是偶數(shù)B假設(shè)a、b、c都不是偶數(shù)C假設(shè)a、b、c至多有一個偶數(shù)D假設(shè)a、b、c至多有兩個偶數(shù)【考點】反證法與放縮法【分析】本題考查反證法的概念，邏輯用語，否命題與命題的否定的概念，邏輯詞語的否定根據(jù)反證法的步驟，假設(shè)是對原命題結(jié)論的否定，故只須對“b、c中至少有一個偶數(shù)”寫出否定即可【解答】解：根據(jù)反證法的步驟，假設(shè)是對原命題結(jié)論的否定“至少有一個”的否定“都不是”即假設(shè)正確的是：假設(shè)a、b、c都不是偶數(shù)故選：B4“a2”是“對數(shù)函數(shù)f（x）=logax為增函數(shù)”的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及充分必要條件的定義判斷即可【解答】解：若對數(shù)函數(shù)f（x）=logax為增函數(shù)，則a1，則a2是a1的充分不必要條件，故選：A5函數(shù)f（x）=的值域為（）A（e，+）B（，e）C（，e）D（e，+）【考點】分段函數(shù)的應(yīng)用【分析】分段求出函數(shù)值得范圍，即可得到函數(shù)的值域【解答】解：x1時，0；x1是，0exe，函數(shù)f（x）=的值域為（，e）故選：B6設(shè)a=log37，b=21.1，c=0.83.1，則（）AbacBcabCcbaDacb【考點】對數(shù)值大小的比較【分析】分別討論a，b，c的取值范圍，即可比較大小【解答】解：1log372，b=21.12，c=0.83.11，則cab，故選：B7若x，y滿足且z=2x+y的最大值為6，則k的值為（）A1B1C7D7【考點】簡單線性規(guī)劃【分析】先畫出滿足條件的平面區(qū)域，由z=2x+y得：y=2x+z，顯然直線y=2x+z過A時z最大，得到關(guān)于k的不等式，解出即可【解答】解：畫出滿足條件的平面區(qū)域，如圖示：，由，解得：A（k，k+3），由z=2x+y得：y=2x+z，顯然直線y=2x+z過A（k，k+3）時，z最大，故2k+k+3=6，解得：k=1，故選：B8函數(shù)y=f（x）的圖象如圖所示，在區(qū)間a，b上可找到n（n2）個不同的數(shù)x1，x2，xn，使得=，則n的取值范圍為（）A2，3B2，3，4C3，4D3，4，5【考點】直線的斜率【分析】由表示（x，f（x）點與原點連線的斜率，結(jié)合函數(shù)y=f（x）的圖象，數(shù)形結(jié)合分析可得答案【解答】解：令y=f（x），y=kx，作直線y=kx，可以得出2，3，4個交點，故k=（x0）可分別有2，3，4個解故n的取值范圍為2，3，4故選B9已知定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足f（x+2）=2f（x），當x0，2時，則函數(shù)y=f（x）在2，4上的大致圖象是（）ABCD【考點】函數(shù)的圖象【分析】由題意求出函數(shù)f（x）在2，4上的解析式，問題得以解決【解答】解：f（x+2）=2f（x），f（x）=2f（x2），設(shè)x2，4，則x20，2，f（x）=，當x2，3），f（x）=2x4，圖象為過（2，0），（3，2）的直線的一部分，當x（3，4，f（x）=2x2+12x16，圖象過點（3，2），（4，0）的拋物線的一部分，故選：A10加工爆米花時，爆開且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”，在特定條件下，可食用率p與加工時間t（單位：分鐘）滿足函數(shù)關(guān)系p=at2+bt+c（a，b，c是常數(shù)），如圖記錄了三次實驗的數(shù)據(jù)，根據(jù)上述函數(shù)模型和實驗數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時間為（）A3.50分鐘B3.75分鐘C4.00分鐘D4.25分鐘【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)【分析】由提供的數(shù)據(jù)，求出函數(shù)的解析式，由二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得結(jié)論【解答】解：將（3，0.7），（4，0.8），（5，0.5）分別代入p=at2+bt+c，可得，解得a=0.2，b=1.5，c=2，p=0.2t2+1.5t2，對稱軸為t=3.75故選：B二.填空題：本大題共6個小題，每小題5分，共30分.11 =【考點】復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算【分析】直接利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案【解答】解： =故答案為：1+12已知函數(shù)f（x）=4x+（x0，a0）在x=3時取得最小值，則a=36【考點】對勾函數(shù)【分析】利用基本不等式求出f（x）取得最小值時x的值即可得出a的值【解答】解：x0，a0，f（x）=4x+2=4，當且僅當4x=即x=時取得等號，解得a=36故答案為：3613觀察下列不等式：=1，=，=，=3， =，依此規(guī)律，第n個等式為=【考點】進行簡單的合情推理【分析】由條件利用歸納推理，得出一般性的結(jié)論【解答】解：觀察下列不等式： =1=， =， =， =3=， =，依此規(guī)律，可得第n個等式為=，故答案為： =14若變量x，y滿足約束條件，則z=x+2y的最大值是6【考點】簡單線性規(guī)劃【分析】作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識，通過平移即可求z的最大值【解答】解：作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，由z=x+2y，得y=，平移直線y=，由圖象可知當直線y=經(jīng)過點A時，直線y=的截距最大，此時z最大由，得，即A（2，2），此時z的最大值為z=2+2×2=6，故答案為：615已知f（x）是定義域為R的偶函數(shù)，當x0時，f（x）=x24x，那么當x0時，f（x）=x2+4x，不等式f（x+2）5的解集是（7，3）【考點】函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)【分析】根據(jù)函數(shù)偶函數(shù)的性質(zhì)，利用對稱性即可得到結(jié)論【解答】解：若x0，則x0，當x0時，f（x）=x24x，當x0時，f（x）=x2+4x，f（x）是定義域為R的偶函數(shù)，f（x）=x2+4x=f（x），即當x0時，f（x）=x2+4x，當x0時，由f（x）=x24x=5，解得x=5或x=1（舍去），則根據(jù)對稱性可得，當x0時，f（5）=5，作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：則不等式f（x+2）5等價為5x+25，即7x3，則不等式的解集為（7，3），故答案為：x2+4x，（7，3），16在平面直角坐標系中，若點P（x，y）的坐標x，y均為整數(shù)，則稱點P為格點若一個多邊形的頂點全是格點，則稱該多邊形為格點多邊形格點多邊形的面積記為S，其內(nèi)部的格點數(shù)記為N，邊界上的格點數(shù)記為L例如圖中ABC是格點三角形，對應(yīng)的S=1，N=0，L=4（）圖中格點四邊形DEFG對應(yīng)的S，N，L分別是3，1，6；（）已知格點多邊形的面積可表示為S=aN+bL+c其中a，b，c為常數(shù)若某格點多邊形對應(yīng)的N=71，L=18，則S=79（用數(shù)值作答）【考點】進行簡單的合情推理【分析】（）利用新定義，觀察圖形，即可求得結(jié)論；（）根據(jù)格點多邊形的面積S=aN+bL+c，結(jié)合圖中的格點三角形ABC及格點四邊形DEFG，建立方程組，求出a，b，c即可求得S【解答】解：（）觀察圖形，可得S=3，N=1，L=6；（）不妨設(shè)某個格點四邊形由兩個小正方形組成，此時，S=2，N=0，L=6格點多邊形的面積S=aN+bL+c，結(jié)合圖中的格點三角形ABC及格點四邊形DEFG可得，S=N+1將N=71，L=18代入可得S=79故答案為：（）3，1，6；（）79三、解答題：本大題共4個小題，共50分.解答時需寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17已知函數(shù)f（x）=lg的定義域為集合A，函數(shù)g（x）=的定義域為集合B（1）求集合A，B；（2）若AB，求實數(shù)a的取值范圍【考點】集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用；函數(shù)的定義域及其求法【分析】（1）根據(jù)對數(shù)、二次根式有意義的條件求集合A，B；（2）若AB，建立不等式求實數(shù)a的取值范圍【解答】解：（1）由0，可得1x2，A=x|1x2；由2xa0，可得x，B=x|x；（2）AB，1，a218已知函數(shù)f（x）=x2bx+c，f（x）的對稱軸為x=1且f（0）=1（1）求b，c的值；（2）當x0，3時，求f（x）的取值范圍（3）若不等式f（log2k）f（2）成立，求實數(shù)k的取值范圍【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)【分析】（1）利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（2）求出二次函數(shù)的表達式，配方，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的值域；（3）利用二次函數(shù)的圖象可得出log2k2或log2k0，根據(jù)對數(shù)函數(shù)求解【解答】解：（1）f（x）的對稱軸為x=1且f（0）=1，=1，f（0）=c=1，b=2，c=1；（2）由（1）得：f（x）=x22x1=（x1）22，x0，3時，最小值為2，最大值為f（3）=2，f（x）的取值范圍為2，2；（3）f（log2k）f（2）=1，log2k2或log2k0，k4或0k119已知函數(shù)f（x）=x2a2x+a（a0）（1）若a=1，求函數(shù)f（x）在0，2上的最大值；（2）若對任意x0，+），有f（x）0恒成立，求a的取值范圍【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)【分析】（1）代入a值，配方，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最大值；（2）二次函數(shù)配方，由題意可知，函數(shù)的對稱軸大于或等于零，則必須使函數(shù)的最小值大于零【解答】解：（1）a=1，f（x）=x2x+=（x）2，函數(shù)f（x）在0，2上的最大值為f（0）=；（2）f（x）=x2a2x+a=（x）2，若對任意x0，+），有f（x）0恒成立，0，0a20已知函數(shù)f（x）=x+lnx，aR（1）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1）處的切線方程；（2）若f（x）在區(qū)間（1，4）內(nèi)單調(diào)遞增，求a的取值范圍；（3）討論函數(shù)g（x）=f（x）x的零點個數(shù)【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，計算f（1），f（1），求出切線方程即可；（2）求出函數(shù)的導數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為ax2+x在（1，4）恒成立；（3）問題轉(zhuǎn)化為討論a=x3+x2+x的交點個數(shù)，令m（x）=x3+x2+x，（x0），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性恒成m（x）的大致圖象，結(jié)合圖象，通過討論a的范圍求出函數(shù)的零點即可【解答】解：（1）a=1時，f（x）=x+lnx，（x0），f（x）=1+，f（1）=1，f（1）=2，故切線方程是：y2=x1，整理得：xy+1=0；（2）f（x）=1+=，若f（x）在區(qū)間（1，4）內(nèi)單調(diào)遞增，則x2+xa0在（1，4）恒成立，即ax2+x在（1，4）恒成立，而y=x2+x的最小值是2，故a2；（3）g（x）=f（x）x=1+x=，（x0），令h（x）=x3+x2+xa，（x0），討論函數(shù)g（x）=f（x）x的零點個數(shù)，即討論h（x）=x3+x2+xa，（x0）的零點個數(shù)，即討論a=x3+x2+x的交點個數(shù)，令m（x）=x3+x2+x，（x0），m（x）=3x2+2x+1=（3x+1）（x1），令m（x）0，解得：0x1，令m（x）0，解得：x1，m（x）在（0，1）遞增，在（1，+）遞減，m（x）max=m（1）=1，x0時，m（x）0，x+時，m（x），如圖示：，結(jié)合圖象：a1時，g（x）無零點，a=1或a0時，g（x）1個零點，0a1時，g（x）2個零點xx10月1日