2022年高中數(shù)學(xué) 初高中銜接教程 第四講 三角形的“五心”練習(xí) 新人教版一、知識(shí)歸納1、重心：三角形的三條中線交點(diǎn)，它到頂點(diǎn)的距離等于它到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍，重心和三頂點(diǎn)的連線將ABC的面積三等分，重心一定在三角形內(nèi)部。2、外心：是三角形三邊中垂線的交點(diǎn)，它到各頂點(diǎn)的距離相等，銳角三角形的外心在三角形內(nèi)，直角三角形的外心是斜邊的中點(diǎn)，鈍角三角形的外心在三角形外。3、內(nèi)心：是三角形的三內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，它到三邊的距離相等，內(nèi)心一定在三角形內(nèi)。4、垂心：是三角形三條高的交點(diǎn)，垂心和三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，三條高的垂足組成六組四點(diǎn)共圓，銳角三角形的垂心在三角形內(nèi)，直角三角形的垂心為直角頂點(diǎn)，鈍角三角形的垂心在三角形外。5、旁心：是三角形任意兩角的外角平分線和第三個(gè)角的內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，它到三角形的三邊距離相等，一定位于三角形外部。二、例題解析例1：在銳角ABC中，內(nèi)角為A、B、C三邊為a、b、c，則內(nèi)心到三邊的距離之比為，重心到三邊的距離為，外心到三邊的距離之比為，垂心到三邊的距離之比為。AFBDCEH例2：如圖，銳角ABC的垂心為H，三條高的垂足分別為D、E、F，則H是DEF的；A、垂心B、重心C、內(nèi)心D、外心例3：如圖，D是ABC的邊BC上任一點(diǎn)，點(diǎn)E、ABCEGFMDNF分別是ABD和ACD的重心連結(jié)EF交AD于G點(diǎn)，則DG：GA；例4：設(shè)ABC的重心為G，GA，則；例5：若H為ABC的重心，AHBC，則BAC的度數(shù)是；A、45°B、30°C、30°或150°D、45°或135°AEBCDOG例6：已知平行四邊形ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，AB10，AC9，DE12，求平行四邊形ABCD的面積。三、課堂練習(xí)1、已知三角形的三邊長分別為5，12，13，則其垂心到外心的距離為，重心到垂心的距離為；2、已知三角形的三邊長為5，12，13，則其內(nèi)切圓的半徑；3、在ABC中，A是鈍角，O是垂心，AOBC，則cos（OBC+OCB）= ; 4、設(shè)G為ABC的重心，且AG6，BG8，CG10，則ABC的面積為；5、若，那么以、為三邊的ABC的內(nèi)切圓，外接圓的半徑之和為；A、B、C、D、6、ABC的重心為G，M在ABC的平面內(nèi)，求證：第四講三角形的“五心”例題解析答案例1：解：答案依次為：1：1：1；例2：解：內(nèi)心例3：解： 例4：解：例5：解：D例6：分析：設(shè)AC交DE于G，可推出G為ABD的重心，EGA90°，故可求出及SABCD。解：設(shè)AC、BD交于G，連BD交AC于O（如圖）由ABCD知BODO，OAOC而BEAE故G為ABD的重心有，而EA5，故,EGA90°，6SABCD272課堂練習(xí)答案：1、6.5，2、23、4、725、A6、略