2022年高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí) 第三部分 題型技法考前提分 題型專項訓(xùn)練8 數(shù)列 新人教A版1.已知數(shù)列an,bn滿足下列條件:an=6·2n-1-2,b1=1,an=bn+1-bn.(1)求數(shù)列bn的通項公式;(2)比較an與2bn的大小.2.(xx浙江寧波模擬,文20)已知等比數(shù)列an滿足2a1+a3=3a2,且a3+2是a2,a4的等差中項.(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)若bn=an+log2,Sn=b1+b2+bn,求使Sn-2n+1+47<0成立的正整數(shù)n的最小值.3.設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn,且Sn=2an-n.(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)若bn=,設(shè)數(shù)列bn的前n項和為Tn,求證:Tn<1.4.已知公差不為0的等差數(shù)列an的前n項和為Sn,且a2,a3,a5成等比數(shù)列,S6=45.(1)求數(shù)列an的通項公式及前n項和Sn.(2)令pn=,是否存在正整數(shù)M,使不等式p1+p2+pn-2nM恒成立?若存在,求出M的最小值;若不存在,請說明理由.5.已知數(shù)列an滿足+,nN*.(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)證明:對任意的nN*,都有+<4.6.已知數(shù)列an中a1=1,an+1-Sn=n+1,nN*.an的前n項和為Sn.(1)證明:數(shù)列an+1是等比數(shù)列;(2)對一切nN*,若p(an+1)>3n-1恒成立,求實數(shù)p的取值范圍.題型專項訓(xùn)練8數(shù)列(解答題專項)1.解:(1)由題意知,bn+1-bn=6·2n-1-2,bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+(bn-bn-1)=1+(6×1-2)+(6×2-2)+(6×2n-2-2)=1+6×(1+2+2n-2)-2(n-1)=1+6·-2(n-1)=6·2n-1-2n-3.所以數(shù)列bn的通項公式為bn=6·2n-1-2n-3.(2)2bn-an=6·2n-1-4(n+1)=3·2n-4(n+1).設(shè)cn=,則-1=-1=-1=>0,所以cn+1>cn,即cn為遞增數(shù)列.當n>2時,因為cn>c2=1,所以3·2n>4(n+1).于是2bn-an>0,即an<2bn.易知當n=1時,an>2bn;當n=2時,an=2bn.2.解:(1)q=1(舍)或q=2.an=2n.(2)由(1)可知bn=2n-n,Sn=2n+1-2-,則Sn-2n+1+47=45-<0,即n2+n-90>0,解得n>9.又nN*,所以n=10.3.(1)解:因為Sn=2an-n,則Sn-1=2an-1-(n-1)(n2),兩式相減得an=2an-2an-1-1,即an=2an-1+1.又an+1=2(an-1+1),a1+1=2,所以an+1=(a1+1)·2n-1=2n.所以an=2n-1.故數(shù)列an的通項公式為an=2n-1.(2)證明:因為bn=,則Tn=b1+b2+b3+bn=+=1-.因為數(shù)列Tn是遞增數(shù)列,所以Tn<1.4.解:(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,由已知,得=a2a5,即(a2+d)2=a2(a2+3d),得a2=d.由S6=45,得2a2+3d=15,從而可得a2=d=3,an=3n-3,Sn=.(2)pn=2+,p1+p2+p3+pn-2n=2+=2-.由n是整數(shù),可得p1+p2+p3+pn-2n<2.故存在最小的正整數(shù)M=2,使不等式p1+p2+pn-2nM恒成立.5.(1)解:因為+,當n=1時,=1,即a1=1.當n2時,+,作差,得=n3,an=n,且a1=1也滿足此式.故數(shù)列an的通項公式為an=n.(2)證明:由(1)得,因為2n+1-(n+1)=2n-n+(2n-1)>2n-n2-1>0,所以>0.又0,即,所以+.設(shè)S=+,由錯位相減法,得S=1+,即S=2<4.所以+<4.6.(1)證明:由an+1-Sn=n+1得an-Sn-1=n(n2),兩式相減得an+1-an-(Sn-Sn-1)=1,即an+1=2an-1,an+1+1=2(an+1)(n2).由S1=a1=1及a2-S1=2,得a2=3,滿足a2+1=2(a1+1),所以數(shù)列an+1是以a1+1=2為首項,2為公比的等比數(shù)列.(2)解:由(1)得an+1=2n,an=2n-1.由p(an+1)>3n-1,得p>恒成立.令f(n)=,nN*,則f(n+1)-f(n)=.當n=1時,有f(n+1)>f(n);當n2時,有f(n+1)<f(n).當n=2時,f(n)max=.p>,即p.