七年級數(shù)學(xué)下冊 第四章 三角形試題 （新版）北師大版1.應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系的方法技巧(1)已知三角形的兩邊長求第三邊的范圍,解答這類問題的關(guān)鍵是求兩邊之和、兩邊之差,第三邊大于兩邊之差小于兩邊之和.【例】若三角形的兩邊長分別為6 cm,9 cm,則其第三邊的長可能為()A.2 cmB.3 cmC.7 cmD.16 cm【標準解答】選C.設(shè)第三邊長為xcm.由三角形三邊關(guān)系定理得9-6<x<9+6,解得3<x<15.(2)已知三條線段,判斷以這三條線段為邊能否構(gòu)成三角形,解答的關(guān)鍵是只求兩較短邊之和,與最長邊去比較.【例】下列長度的三條線段,不能組成三角形的是()A.3,8,4B.4,9,6C.15,20,8D.9,15,8【標準解答】選A.分析各選項:A.3+4<8不能構(gòu)成三角形;B.4+6>9能構(gòu)成三角形;C.8+15>20能構(gòu)成三角形;D.8+9>15能構(gòu)成三角形.(3)在解決三角形中線段比較大小的問題時,我們經(jīng)常會用到三角形的“三邊關(guān)系定理”來解決問題,它是我們初中階段經(jīng)常用于比較線段大小的重要依據(jù).【例】如圖,點P是ABC內(nèi)任意一點,試說明PB+PC<AB+AC.【標準解答】延長BP交AC于點D,在ABD中,PB+PD<AB+AD,在PCD中,PC<PD+CD,+得PB+PD+PC<AB+AD+PD+CD,即PB+PC<AB+AC.1.下列長度的三條線段,能組成三角形的是()A.1,1,2B.3,4,5C.1,4,6D.2,3,72.如果一個三角形的兩邊長分別為2和5,則第三邊長可能是()A.2B.3C.5D.83.某同學(xué)手里拿著長為3和2的兩個木棍,想要找一個木棍,用它們圍成一個三角形,那么他所找的這根木棍長滿足條件的整數(shù)解是()A.1,3,5B.1,2,3C.2,3,4D.3,4,54.各邊長度都是整數(shù)、最大邊長為8的三角形共有個.5.如圖,ABC三邊的中線AD,BE,CF的公共點G,若SABC=12,則圖中陰影部分面積是.2.求一個角的度數(shù)的方法(1)當所求角是一個三角形的內(nèi)角時,可先求出這個三角形另外兩個內(nèi)角的度數(shù),再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算.【例】如圖,ABCD,AD和BC相交于點O,A=40°,AOB=75°.則C等于()A.40°B.65°C.75°D.115°【標準解答】選B.A=40°,AOB=75°.B=180°-A-AOB=180°-40°-75°=65°,ABCD,C=B=65°.(2)當所求角是一個三角形的外角時,可利用三角形外角的性質(zhì)結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理計算.【例】將一副常規(guī)的三角尺按如圖方式放置,則圖中AOB的度數(shù)為()A.75°B.95°C.105°D.120°【標準解答】選C.ACO=45°-30°=15°,AOB=A+ACO=90°+15°=105°.(3)當條件中含有平行線時,可利用平行線的性質(zhì)將其轉(zhuǎn)化為其他易求的角.【例】如圖,已知l1l2,A=40°,1=60°,則2的度數(shù)為()A.40°B.60°C.80°D.100°【標準解答】選D.如圖,方法一:l1l2,1=ABC=60°,2=A+ABC=60°+40°=100°方法二:l1l2,2=3.1=4=60°,A=40°.2=3=A+4=60°+40°=100°.1.一副三角板如圖疊放在一起,則圖中的度數(shù)為()A.75°B.60°C.65°D.55°2.如圖,ABCD,AE交CD于C,A=34°,DEC=90°,則D的度數(shù)為()A.17°B.34°C.56°D.124°3.如圖,在ABC中,B,C的平分線BE,CD相交于點F,ABC=42°,A=60°,則BFC=()A.118°B.119°C.120°D.121°4.如圖,在ABC中,點D,E,F分別是三條邊上的點,EFAC,DFAB,B=45°,C=60°.則EFD=()A.80°B.75°C.70°D.65°5.如圖,在ABC中,A=80°,點D是BC延長線上一點,ACD=150°,則B=°.6.如圖,已知,l1l2,C1在l1上,并且C1Al2,A為垂足,C2,C3是l1上任意兩點,點B在l2上.設(shè)ABC1的面積為S1,ABC2的面積為S2,ABC3的面積為S3,小穎認為S1=S2=S3,請幫小穎說明理由.3.確定全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角的方法(1)在全等三角形中找對應(yīng)邊和對應(yīng)角,關(guān)鍵是先找出對應(yīng)頂點,然后按對應(yīng)頂點字母的順序記兩個三角形全等,再按順序?qū)懗鰧?yīng)邊和對應(yīng)角.(2)全等三角形對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊,兩個對應(yīng)角所夾的邊是對應(yīng)邊;對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角.兩條對應(yīng)邊所夾的角是對應(yīng)角.(3)全等三角形中的公共邊是對應(yīng)邊,公共角是對應(yīng)角,對頂角是對應(yīng)角.(4)最大邊是對應(yīng)邊,最小邊是對應(yīng)邊,最大角是對應(yīng)角,最小角是對應(yīng)角.【例】如圖,ABCDEF,點A與點D是對應(yīng)頂點,則BC的對應(yīng)邊是,BAC的對應(yīng)角是.【標準解答】因為點A與點D是對應(yīng)頂點,對應(yīng)頂點所對的邊是對應(yīng)邊,所以BC的對應(yīng)邊是EF;又因為以對應(yīng)點為頂點的角是對應(yīng)角,所以BAC的對應(yīng)角是EDF.答案:EFEDF如圖所示,1=2,B=D,ABC和AED全等應(yīng)表示為()A.ABCAEDB.ABCEADC.ABCADED.ABCDEA4.全等三角形(1)判定基本思路:在證明兩個三角形全等時,往往題目中已知某些邊或角的條件,常根據(jù)以下思路來尋找三角形全等的條件.(2)常見的全等三角形的基本模型:平移變換型軸對稱變換型旋轉(zhuǎn)變化型【例1】已知:如圖,E,F在AC上,ADCB且AD=CB,D=B.求證:AE=CF.【標準解答】ADCB,A=C,AD=CB,D=B,ADFCBE,AF=CE,AE=CF.【例2】如圖,在ABC中,ACB=90°,AC=BC,BECE于點E.ADCE于點D.求證:BECCDA.【標準解答】BECE于E,ADCE于D,BEC=CDA=90°,在RtBEC中,BCE+CBE=90°,在RtBCA中,BCE+ACD=90°,CBE=ACD,在BEC和CDA中,BEC=CDA,CBE=ACD,BC=AC,BECCDA.1.如圖,已知AB=AD,那么添加下列一個條件后,仍無法判定ABCADC的是()A.CB=CDB.BAC=DACC.BCA=DCAD.B=D=90°2.如圖,B,E,C,F在同一直線上,ABDE,AB=DE,BE=CF,AC=6,則DF=.3.在ABC中,AB=AC,點E,F分別在AB,AC上,AE=AF,BF與CE相交于點P.求證:PB=PC,并直接寫出圖中其他相等的線段.4.已知:如圖,ABCD,E是AB的中點,CE=DE.求證:(1)AEC=BED.(2)AC=BD.5.如圖,在四邊形ABCD中,A=BCD=90°,BC=DC,延長AD到E點,使DE=AB.求證:(1)ABC=EDC.(2)ABCEDC.6.如圖,在ABC中,AB=AC,作ADAB交BC的延長線于點D,作AEBD,CEAC,且AE,CE相交于點E,求證:AD=CE.5.尺規(guī)作圖用尺規(guī)作圖作出圖形的三個步驟:(1)分析圖形,明確作圖順序.(2)選擇合適的基本作圖.(3)驗證所作圖形是否符合要求.【例1】如圖所示,已知線段AB,分別過A,B作CAB=,CBA=.(不寫作法,保留作圖痕跡)【標準解答】如圖所示:.【例2】作圖題(要求:用尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法和證明)已知:(如圖)線段a和,求作:ABC,使AB=AC=a,A=.【標準解答】如圖所示:1.畫ABC,使其兩邊為已知線段a,b,夾角為.(要求:用尺規(guī)作圖,寫出已知、求作;保留作圖痕跡;不在已知的線、角上作圖;不寫作法)2.如圖1,在ABC中,AB=AC,D是底邊BC上的一點,BD>CD,將ABC沿AD剪開,拼成如圖2的四邊形ABDC.(1)四邊形ABDC具有什么特點?(2)請同學(xué)們在圖3中,用尺規(guī)作一個以MN,NP為鄰邊的四邊形MNPQ,使四邊形MNPQ具有上述特點(要求:寫出作法,但不要求證明).跟蹤訓(xùn)練答案解析第四章三角形1.應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系的方法技巧【跟蹤訓(xùn)練】1.【解析】選B.如果滿足較小的兩條線段之和大于最長的線段,那么這三條線段就能組成三角形.因為1+1=2,1+4<6,2+3<7,而3+4>5.2.【解析】選C.設(shè)第三邊長為x,則由三角形三邊關(guān)系定理得5-2<x<5+2,即3<x<7.故選C.3.【解析】選C.設(shè)他所找的這根木棍長為x,由題意得:3-2<x<3+2,1<x<5,x為整數(shù),x=2,3,4.4.【解析】各邊長度都是整數(shù)、最大邊長為8,三邊長可以為:1,8,8;2,7,8;2,8,8;3,6,8;3,7,8;3,8,8;4,5,8;4,6,8;4,7,8;4,8,8;5,5,8;5,6,8;5,7,8;5,8,8;6,6,8;6,7,8;6,8,8;7,7,8;7,8,8;8,8,8;故各邊長度都是整數(shù)、最大邊長為8的三角形共有20個.答案:205.【解析】由中線性質(zhì),可得AG=2GD,則SBGF=SCGE=SABG=×SABD=××SABC=×12=2,陰影部分的面積為4.答案:42.求一個角的度數(shù)的方法【跟蹤訓(xùn)練】1.【解析】選A.如圖,1=60°,2=45°,=180°-45°-60°=75°.2.【解析】選C.ABCD,DCE=A=34°,DEC=90°,D=90°-DCE=90°-34°=56°.3.【解析】選C.A=60°,ABC=42°,ACB=180°-A-ABC=78°.B,C的平分線為BE,CD,FBC=ABC=21°,FCB=ACB=39°,BFC=180°-FBC-FCB=120°.4.【解析】選B.EFAC,EFB=C=60°,DFAB,DFC=B=45°,EFD=180°-60°-45°=75°.5.【解析】ACD=A+B,A=80°,ACD=150°,B=70°.答案:706.【解析】直線l1l2,ABC1,ABC2,ABC3的底邊AB上的高相等,ABC1,ABC2,ABC3這3個三角形同底,等高,ABC1,ABC2,ABC3這些三角形的面積相等.即S1=S2=S3.3.確定全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角的方法【跟蹤訓(xùn)練】【解析】選C.由于1=2,B=D,所以點C與點E,點B與點D是對應(yīng)點,故應(yīng)表示為ABCADE,所以選C.4.全等三角形【跟蹤訓(xùn)練】1.【解析】選C.A、添加CB=CD,根據(jù)SSS,能判定ABCADC,故A選項不符合題意;B、添加BAC=DAC,根據(jù)SAS,能判定ABCADC,故B選項不符合題意;C、添加BCA=DCA時,不能判定ABCADC,故C選項符合題意;D、添加B=D=90°,根據(jù)HL,能判定ABCADC,故D選項不符合題意;故選C.2.【解析】ABDE,ABC=DEF,BE=CF,BC=EF,AB=DE,ABCDEF,DF=AC=6.答案:63.【解析】在ABF和ACE中,ABFACE(SAS),ABF=ACE(全等三角形的對應(yīng)角相等),BF=CE(全等三角形的對應(yīng)邊相等),AB=AC,AE=AF,BE=CF,在BEP和CFP中,BEPCFP(AAS),PB=PC,BF=CE,PE=PF,圖中相等的線段為PE=PF,BE=CF.4.【證明】(1)ABCD,AEC=ECD,BED=EDC,CE=DE,ECD=EDC,AEC=BED.(2)E是AB的中點,AE=BE,在AEC和BED中,AECBED(SAS),AC=BD.5.【證明】(1)在四邊形ABCD中,A=BCD=90°,B+ADC=180°.又ADC+EDC=180°,ABC=EDC.(2)連接AC.在ABC和EDC中ABCEDC.6.【證明】AEBD,EAC=ACB,AB=AC,B=ACB,B=EAC,在ABD和CAE中,ABDCAE,AD=CE.5.尺規(guī)作圖【跟蹤訓(xùn)練】1.【解析】已知:線段a,b和.求作:ABC,使BC=a,AC=b,C=(也可以使任意兩邊分別等于a和b,夾角為).2.【解析】(1)四邊形ABDC中,AB=DC,B=C(或四邊形ABDC中,一組對邊相等,一組對角相等).(2)作法:延長NP;以點M為圓心,MN為半徑畫弧,交NP的延長線于點G;以點P為圓心,MN為半徑畫弧,以點M為圓心,PG為半徑畫弧,兩弧交于點Q;連接MQ,PQ;四邊形MNPQ是滿足條件的四邊形.