2022年高考數(shù)學(xué) 第三篇 第1講 變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算限時訓(xùn)練 新人教A版 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1．(xx·全國)曲線y＝e－2x＋1在點(diǎn)(0,2)處的切線與直線y＝0和y＝x圍成的三角形的面積為 (　　)． A. B. C. D．1 解析　y′＝－2e－2x，曲線在點(diǎn)(0,2)處的切線斜率k＝－2，∴切線方程為y＝－2x＋2，該直線與直線y＝0和y＝x圍成的三角形如圖所示，其中直線y＝－2x＋2與y＝x的交點(diǎn)A，y＝－2x＋2與x軸的交點(diǎn)B(1,0)．所以三角形面積S＝×1×＝，故選A. 答案　A 2．函數(shù)f(x)是定義在(0，＋∞)上的可導(dǎo)函數(shù)，且滿足f(x)>0，xf′(x)＋f(x)<0，則對任意正數(shù)a，b，若a>b，則必有 (　　)． A．a(chǎn)f(b)<bf(a) B．bf(a)<af(b) C．a(chǎn)f(a)<f(b) D．bf(b)<f(a) 解析　構(gòu)造函數(shù)F(x)＝(x>0)，F(xiàn)′(x)＝，由條件知F′(x)<0，∴函數(shù)F(x)＝在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，又a>b>0，∴<，即bf(a)<af(b)． 答案　B 3．(xx·南京模擬)已知函數(shù)f(x)＝x3＋2ax2＋x(a>0)，則f(2)的最小值為 (　　)． A．12 B．12＋8a＋ C．8＋8a＋ D．16 解析　f(2)＝8＋8a＋，令g(a)＝8＋8a＋，則g′(a)＝8－，由g′(a)>0得a>，由g′(a)<0得0<a<，∴a＝時f(2)有最小值．f(2)的最小值為8＋8×＋＝16.故選D. 答案　D 4．已知對任意實(shí)數(shù)x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x>0時，f′(x)>0，g′(x)>0則x<0時 (　　)． A．f′(x)>0，g′(x)>0 B．f′(x)>0，g′(x)<0 C．f′(x)<0，g′(x)>0 D．f′(x)<0，g′(x)<0 解析　依題意得，函數(shù)f′(x)、g′(x)分別是偶函數(shù)、奇函數(shù)，當(dāng)x<0時，－x>0，f′(x)＝f′(－x)>0，g′(x)＝－g′(－x)<0，選B. 答案　B 二、填空題(每小題5分，共10分) 5．(xx·新課標(biāo)全國)曲線y＝x(3ln x＋1)在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為________． 解析　∵y＝x(3ln x＋1)，∴y′＝3ln x＋1＋x·＝3ln x＋4，∴k＝y(tǒng)′|x＝1＝4，∴所求切線的方程為y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3. 答案　y＝4x－3 6．曲線y＝x3＋x－2在點(diǎn)P處的切線平行于直線y＝4x－1，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為________． 解析　依題意得y′＝3x2＋1，設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，則有3x＋1＝4，解得x0＝－1或x0＝1，將x0的值代入曲線方程得y0＝－4或y0＝0，從而點(diǎn)P的坐標(biāo)是(1,0)或(－1，－4)． 答案　(1,0)或(－1，－4) 三、解答題(共25分) 7．(12分)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1)y＝(2x＋1)n，(n∈N*)；　(2)y＝ln (x＋)； (3)y＝；　(4)y＝2xsin(2x＋5)． 解　(1)y′＝n(2x＋1)n－1·(2x＋1)′＝2n(2x＋1)n－1. (2)y′＝·＝. (3)∵y＝＝1＋∴y′＝. (4)y′＝2sin(2x＋5)＋4xcos(2x＋5)． 8．(13分)已知函數(shù)f(x)＝x3＋x－16. (1)求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，－6)處的切線的方程； (2)直線l為曲線y＝f(x)的切線，且經(jīng)過原點(diǎn)，求直線l的方程及切點(diǎn)坐標(biāo)； (3)如果曲線y＝f(x)的某一切線與直線y＝－x＋3垂直，求切點(diǎn)坐標(biāo)與切線的方程． 解　(1)可判定點(diǎn)(2，－6)在曲線y＝f(x)上． ∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1. ∴f′(x)在點(diǎn)(2，－6)處的切線的斜率為k＝f′(2)＝13. ∴切線的方程為y＝13(x－2)＋(－6)， 即y＝13x－32. (2)法一　設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)， 則直線l的斜率為f′(x0)＝3x＋1， ∴直線l的方程為y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16， 又∵直線l過點(diǎn)(0,0)，∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16， 整理得，x＝－8，∴x0＝－2， ∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直線l的方程為y＝13x，切點(diǎn)坐標(biāo)為(－2，－26.) 法二　設(shè)直線l的方程為y＝kx，切點(diǎn)為(x0，y0)， 則k＝＝ 又∵k＝f′(x0)＝3x＋1，∴＝3x＋1， 解之得x0＝－2， ∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直線l的方程為y＝13x，切點(diǎn)坐標(biāo)為(－2，－26)． (3)∵切線與直線y＝－x＋3垂直， ∴切線的斜率k＝4. 設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0，y0)，則f′(x0)＝3x＋1＝4， ∴x0＝±1， ∴或 切線方程為y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18. 即y＝4x－18或y＝4x－14. 一、選擇題(每小題5分，共10分) 1．設(shè)曲線y＝在點(diǎn)(3,2)處的切線與直線ax＋y＋1＝0垂直，則a＝(　　)． A．2 B. C. D．－2 解析　y′＝＝，點(diǎn)(3,2)處切線斜率k＝－，∵切線與直線ax＋y＋1＝0垂直，∴ a＝－2. 答案　D 2．已知函數(shù)f′(x)，g′(x)分別是二次函數(shù)f(x)和三次函數(shù)g(x)的導(dǎo)函數(shù)，它們在同一坐標(biāo)系下的圖象如圖所示，設(shè)函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)，則 (　　)． A．h(1)<h(0)<h(－1) B．h(1)<h(－1)<h(0) C．h(0)<h(－1)<h(1) D．h(0)<h(1)<h(－1) 解析　由圖象可知f′(x)＝x，g′(x)＝x2，則f(x)＝x2＋m，其中m為常數(shù)，g(x)＝x3＋n，其中n為常數(shù)，則h(x)＝x2－x3＋m－n，得h(0)<h(1)<h(－1)． 答案　D 二、填空題(每小題5分，共10分) 3．已知曲線C：f(x)＝x3－ax＋a，若過曲線C外一點(diǎn)A(1,0)引曲線C的兩條切線，它們的傾斜角互補(bǔ)，則a的值為________． 解析　設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(t，t3－at＋a)．由題意知，f′(x)＝3x2－a， 切線的斜率為k＝y(tǒng)′|x＝t＝3t2－a① 所以切線方程為y－(t3－at＋a)＝(3t2－a)(x－t)② 將點(diǎn)(1,0)代入②式得－(t3－at＋a)＝(3t2－a)(1－t)， 解之得：t＝0或t＝. 分別將t＝0和t＝代入①式，得k＝－a和k＝－a， 由題意得它們互為相反數(shù)，故a＝. 答案　 4．同學(xué)們經(jīng)過市場調(diào)查，得出了某種商品在xx年的價格y(單位：元)與時間t(單位：月)的函數(shù)關(guān)系為：y＝2＋(1≤t≤12)，則10月份該商品價格上漲的速度是______元/月． 解析　∵y＝2＋(1≤t≤12)， ∴y′＝′＝2′＋′ ＝＝. 由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知10月份該商品的價格的上漲速度應(yīng)為y′|t＝10＝＝3. 因此10月份該商品價格上漲的速度為3元/月． 答案　3 三、解答題(共25分) 5．(12分 )設(shè)函數(shù)f(x)＝ax－，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程為7x－4y－12＝0. (1)求f(x)的解析式； (2)證明：曲線y＝f(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x＝0和直線y＝x所圍成的三角形面積為定值，并求此定值． (1)解　方程7x－4y－12＝0可化為y＝x－3， 當(dāng)x＝2時，y＝.又f′(x)＝a＋， 于是解得故f(x)＝x－. (2)證明　設(shè)P(x0，y0)為曲線上任一點(diǎn)，由f′(x)＝1＋知，曲線在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線方程為y－y0＝·(x－x0)，即y－＝(x－x0)． 令x＝0得，y＝－，從而得切線與直線x＝0交點(diǎn)坐標(biāo)為. 令y＝x，得y＝x＝2x0，從而得切線與直線y＝x的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2x0,2x0)． 所以點(diǎn)P(x0，y0)處的切線與直線x＝0，y＝x所圍成的三角形面積為|2x0|＝6. 故曲線y＝f(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x＝0和直線y＝x所圍成的三角形面積為定值，此定值為6. 6．(13分)(xx·遼寧)設(shè)f(x)＝ln(x＋1)＋＋ax＋b(a，b∈R，a，b，為常數(shù))，曲線y＝f(x)與直線y＝x在(0,0)點(diǎn)相切． (1)求a，b的值； (2)證明：當(dāng)0<x<2時，f(x)<. (1)解　由y＝f(x)過(0,0)點(diǎn)，得b＝－1. 由y＝f(x)在(0,0)點(diǎn)的切線斜率為， 又y′|x＝0＝x＝0＝＋a， 得a＝0. (2)證明　當(dāng)x>0時，2<x＋1＋1＝x＋2， 故<＋1.記h(x)＝f(x)－，則 h′(x)＝＋－＝－ <－＝. 令g(x)＝(x＋6)3－216(x＋1)， 則當(dāng)0<x<2時，g′(x)＝3(x＋6)2－216<0. 因此g(x)在(0,2)內(nèi)是遞減函數(shù)， 又由g(0)＝0，得g(x)<0，所以h′(x)<0. 因此h(x)在(0,2)內(nèi)是遞減函數(shù)，又h(0)＝0，得h(x)<0. 于是當(dāng)0<x<2時，f(x)<. 特別提醒：教師配贈習(xí)題、課件、視頻、圖片、文檔等各種電子資源見《創(chuàng)新設(shè)計·高考總復(fù)習(xí)》光盤中內(nèi)容.