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1、2022年高考數學 第三篇 第1講 變化率與導數、導數的運算限時訓練 新人教A版 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1．(xx·全國)曲線y＝e－2x＋1在點(0,2)處的切線與直線y＝0和y＝x圍成的三角形的面積為 (　　)． A. B. C. D．1 解析　y′＝－2e－2x，曲線在點(0,2)處的切線斜率k＝－2，∴切線方程為y＝－2x＋2，該直線與直線y＝0和y＝x圍成的三角形如圖所示，其中直線y＝－2x＋2與y＝x的交點A，y＝－2x＋2與x軸的交點B(1,0)．所以三角形面積S＝×1×＝，故選A. 答案　A 2．函數f(x)是

2、定義在(0，＋∞)上的可導函數，且滿足f(x)>0，xf′(x)＋f(x)<0，則對任意正數a，b，若a>b，則必有 (　　)． A．af(b)0)，F′(x)＝，由條件知F′(x)<0，∴函數F(x)＝在(0，＋∞)上單調遞減，又a>b>0，∴<，即bf(a)0)，則f(2)的最小值為 (　　)． A．12 B．12＋8a＋ C．8

3、＋8a＋ D．16 解析　f(2)＝8＋8a＋，令g(a)＝8＋8a＋，則g′(a)＝8－，由g′(a)>0得a>，由g′(a)<0得00時，f′(x)>0，g′(x)>0則x<0時 (　　)． A．f′(x)>0，g′(x)>0 B．f′(x)>0，g′(x)<0 C．f′(x)<0，g′(x)>0 D．f′(x)<0，g′(x)<0 解析　依題意得，函數f′(x)、

4、g′(x)分別是偶函數、奇函數，當x<0時，－x>0，f′(x)＝f′(－x)>0，g′(x)＝－g′(－x)<0，選B. 答案　B 二、填空題(每小題5分，共10分) 5．(xx·新課標全國)曲線y＝x(3ln x＋1)在點(1,1)處的切線方程為________． 解析　∵y＝x(3ln x＋1)，∴y′＝3ln x＋1＋x·＝3ln x＋4，∴k＝y(tǒng)′|x＝1＝4，∴所求切線的方程為y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3. 答案　y＝4x－3 6．曲線y＝x3＋x－2在點P處的切線平行于直線y＝4x－1，則點P的坐標為________． 解析　依題意得y′＝3x2＋1，設點P

5、(x0，y0)，則有3x＋1＝4，解得x0＝－1或x0＝1，將x0的值代入曲線方程得y0＝－4或y0＝0，從而點P的坐標是(1,0)或(－1，－4)． 答案　(1,0)或(－1，－4) 三、解答題(共25分) 7．(12分)求下列函數的導數： (1)y＝(2x＋1)n，(n∈N*)；　(2)y＝ln (x＋)； (3)y＝；　(4)y＝2xsin(2x＋5)． 解　(1)y′＝n(2x＋1)n－1·(2x＋1)′＝2n(2x＋1)n－1. (2)y′＝·＝. (3)∵y＝＝1＋∴y′＝. (4)y′＝2sin(2x＋5)＋4xcos(2x＋5)． 8．(13分)已知函數f(

6、x)＝x3＋x－16. (1)求曲線y＝f(x)在點(2，－6)處的切線的方程； (2)直線l為曲線y＝f(x)的切線，且經過原點，求直線l的方程及切點坐標； (3)如果曲線y＝f(x)的某一切線與直線y＝－x＋3垂直，求切點坐標與切線的方程． 解　(1)可判定點(2，－6)在曲線y＝f(x)上． ∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1. ∴f′(x)在點(2，－6)處的切線的斜率為k＝f′(2)＝13. ∴切線的方程為y＝13(x－2)＋(－6)， 即y＝13x－32. (2)法一　設切點為(x0，y0)， 則直線l的斜率為f′(x0)＝3x＋1， ∴直線l的方

7、程為y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16， 又∵直線l過點(0,0)，∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16， 整理得，x＝－8，∴x0＝－2， ∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直線l的方程為y＝13x，切點坐標為(－2，－26.) 法二　設直線l的方程為y＝kx，切點為(x0，y0)， 則k＝＝ 又∵k＝f′(x0)＝3x＋1，∴＝3x＋1， 解之得x0＝－2， ∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直線l的方程為y＝13x，切點坐標為(－2，－26)． (3)∵切線與直

8、線y＝－x＋3垂直， ∴切線的斜率k＝4. 設切點的坐標為(x0，y0)，則f′(x0)＝3x＋1＝4， ∴x0＝±1， ∴或 切線方程為y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18. 即y＝4x－18或y＝4x－14. 一、選擇題(每小題5分，共10分) 1．設曲線y＝在點(3,2)處的切線與直線ax＋y＋1＝0垂直，則a＝(　　)． A．2 B. C. D．－2 解析　y′＝＝，點(3,2)處切線斜率k＝－，∵切線與直線ax＋y＋1＝0垂直，∴ a＝－2. 答案　D 2．已知函數f′(x)，g′(x)分別是二次函數f(x)和三次函數g(x)的

9、導函數，它們在同一坐標系下的圖象如圖所示，設函數h(x)＝f(x)－g(x)，則 (　　)． A．h(1)

10、傾斜角互補，則a的值為________． 解析　設切點坐標為(t，t3－at＋a)．由題意知，f′(x)＝3x2－a， 切線的斜率為k＝y(tǒng)′|x＝t＝3t2－a① 所以切線方程為y－(t3－at＋a)＝(3t2－a)(x－t)② 將點(1,0)代入②式得－(t3－at＋a)＝(3t2－a)(1－t)， 解之得：t＝0或t＝. 分別將t＝0和t＝代入①式，得k＝－a和k＝－a， 由題意得它們互為相反數，故a＝. 答案　 4．同學們經過市場調查，得出了某種商品在xx年的價格y(單位：元)與時間t(單位：月)的函數關系為：y＝2＋(1≤t≤12)，則10月份該商品價格上漲的速度是_

11、_____元/月． 解析　∵y＝2＋(1≤t≤12)， ∴y′＝′＝2′＋′ ＝＝. 由導數的幾何意義可知10月份該商品的價格的上漲速度應為y′|t＝10＝＝3. 因此10月份該商品價格上漲的速度為3元/月． 答案　3 三、解答題(共25分) 5．(12分 )設函數f(x)＝ax－，曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線方程為7x－4y－12＝0. (1)求f(x)的解析式； (2)證明：曲線y＝f(x)上任一點處的切線與直線x＝0和直線y＝x所圍成的三角形面積為定值，并求此定值． (1)解　方程7x－4y－12＝0可化為y＝x－3， 當x＝2時，y＝.又f′(x

12、)＝a＋， 于是解得故f(x)＝x－. (2)證明　設P(x0，y0)為曲線上任一點，由f′(x)＝1＋知，曲線在點P(x0，y0)處的切線方程為y－y0＝·(x－x0)，即y－＝(x－x0)． 令x＝0得，y＝－，從而得切線與直線x＝0交點坐標為. 令y＝x，得y＝x＝2x0，從而得切線與直線y＝x的交點坐標為(2x0,2x0)． 所以點P(x0，y0)處的切線與直線x＝0，y＝x所圍成的三角形面積為|2x0|＝6. 故曲線y＝f(x)上任一點處的切線與直線x＝0和直線y＝x所圍成的三角形面積為定值，此定值為6. 6．(13分)(xx·遼寧)設f(x)＝ln(x＋1)＋＋ax＋

13、b(a，b∈R，a，b，為常數)，曲線y＝f(x)與直線y＝x在(0,0)點相切． (1)求a，b的值； (2)證明：當00時，2