2022年高二數(shù)學(xué) 球同步教案 新人教A版一、本講進度 第九章 直線、平面、簡單幾何體 9.9 研究性課題；多面體歐拉定理的發(fā)現(xiàn)9.10 球二、主要內(nèi)容球的概念、性質(zhì)及體積與表面積的計算。三、學(xué)習(xí)指導(dǎo)1、球的定義可以從兩個角度來理解，從靜止的角度看，球面可以看作與定點（球心）的距離等于定長（半徑）的所有點的集合；從運動的角度看，半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所成的曲面叫做球面。球面與球是兩個不同的概念，球面是球體的表面，其大小用面積來度量；球是球面圍成的幾何體，其大小用體積來度量。球的相關(guān)概念：（1）球心；（2）半徑；（3）直徑。見課本P.652、球的性質(zhì)：（1） 定義，例如球面上任一點到球心的距離都相等，長度等于半徑；（2） 截面的性質(zhì)： 用平面去截球，截面是圓面； 球心和截面的圓心的連線垂直于截面； 球心到截面的距離d與球的半徑R及截面半徑r有下面勾股定理關(guān)系：r2+d2=R2，如圖； 當(dāng)截面過球心時，截面是大圓，當(dāng)截面不過球心時，截面是小圓。研究球的截面性質(zhì)，通常類比于平面幾何中直線與圓相交時的性質(zhì)。這種類比的降維思想是學(xué)習(xí)立體幾何的重要方法。3、關(guān)于地球，應(yīng)用球的數(shù)字知識研究地球，得到下列概念：（1） 經(jīng)線：球面上從北極到南極的半個大圓；經(jīng)度：經(jīng)線與地軸（南北兩極連線）構(gòu)成的半平面與00經(jīng)線（本初子午線）及地軸構(gòu)成的平面所形成的二面角的大小。如果設(shè)這兩個半平面與赤道平面的交線為OA、OB，則AOB=0，如圖；（2） 緯線：球面上，平行于赤道平面的小圓； 緯度：緯線上任一點的半徑與赤道平面所成的線面角。如果設(shè)小圓圓心為O，則OPO=0，如圖； （3）球面的距離：球面上某兩點之間的球面距離就是經(jīng)過這兩點的大圓在這兩點間的劣弧的長度。其特征是球面上這兩點連線的最小長度。注意，這是曲線的長度，而不是直線段的長度。計算公式：l=R，其中為球面上兩點對球心張角的弧度數(shù)。4、球的體積公式：，球的表面積公式：S=4R2，其中R為球的半徑。這兩個公式的推導(dǎo)思想是近代數(shù)字的重要思想，簡單地說就是“以曲代直”的思想，其步驟為：分割求和求極限。5、在研究球與其它幾何體構(gòu)成的組合體時，應(yīng)緊抓球心的位置特征及球半徑的大小這兩個基本元素，通常作出過球心的截面，將問題轉(zhuǎn)化為平幾問題。四、典型例題例1、 四棱錐ABCDE中，AD平面BCDE，ACBC，AEBE， （1）求證A、B、C、D、E五點都在以AB為直徑的同一球面上； （2）若CBE=900，CE=，AD=1，求B、D兩點的球面距離。解題思路分析： （1）設(shè)AB中點為O，則只需證明OA=OB=OC=OD=OE，其途徑通常有全等三角形或等量代換。本題用等量代換。設(shè)AB中點為O，則OA=OB=AB AD平面BCDE ADDB DO=AB ACBC，AEEB EO=CO=AB OA=OB=OC=OD=OE=AB即A、B、C、D、E五點都在以AB為直徑的同一球面上 （2）根據(jù)球面距離的定義，只需求出球的半徑R及BOD的大小即可。下從分析圖形ABCDE的性質(zhì)著手。 AD平面BCDE DE、DC分別為AE、AC在平面BCDE上的射影 BEEA，BCCA BEED，BCCD又CBE=900 BCDE為矩形 BD=EC= AB=2 球半徑R=1 BOD中，BO=OD=1，BD= cosBOD= BOD= B、D兩點球面距離 例2、有三個球，第一個球內(nèi)切于正方體的六個面，第二個球與這個正方體各條棱都相切，第三個球過這個正方體的各個頂點，求這三個球的表面積之比及體積之比。解題思路分析：因球的表面積及體積與球的半徑有關(guān)，故求出三個球的半徑之間關(guān)系即可。將正方體的棱長作為基本元素，以此找出三個半徑的關(guān)系式。設(shè)正方體棱長為a，三個球的依次為R1、R2、R3，分別作出過球的球心的截面，得如圖所示三種組合體的截面圖。 2R1=a，R1= a=2R2，R2=a a=2R3,R3=a R1R2R3=1 S1S2S3=R12R22R32=123 V1V2V3=R13R23R33=1評注：本題通過作截面圖，將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，是立體幾何的重要思想方法之一。對于這類組合體，通常作出過球心的截面，然后緊抓球心及半徑兩個要素，找位置關(guān)系或數(shù)量關(guān)系。例3、A、B、C為半徑為1的球面上的三點，B、C兩點的球面距離為，點A與B、C兩點間的球面距離均為，設(shè)球心為O，求：（1）BOC、AOB的大??；（2）球心到截面ABC的距離。解題思路分析：從轉(zhuǎn)化球面距離著手（1） 由球面距離定義可知，BOC=，AOB=AOC=；（2） 法一：利用截面性質(zhì)，求出ABC的外接圓半徑r即可 BC=1，AC=AB= cosBAC= sinBAC=設(shè)ABC外接圓半徑為r，則由正弦定理 2r= r= 球心到截面ABC的距離為法二：一般說，立體幾何的解題習(xí)慣是將點、線、面置于某一幾何體中，充分利用幾何體的有關(guān)性質(zhì)解決這些點、線、面的問題。因此本題可考慮O、A、B、C四點構(gòu)成的四面體 OAOB，OAOC OA平面OBC，如圖為了確定O在平面ABC上的射影，應(yīng)先找到平面ABC的垂面（輔助平面）取BC中點M，則OMBC BC平面OAM 平面OAM平面ABC在OAM內(nèi)作OHAM，H為垂足，則OH平面ABC OH長度就是點O到平面ABC的距離 OA=1，OM= AM=由OA·OM=AM·OH得：OH=法三：在法二圖形的基礎(chǔ)上，也可用等積法求點O到平面ABC的距離設(shè)O到平面ABC的距離為x，則 又 求得：SABC、SOBC、OA后代入上式，求得x=這種方法的優(yōu)越性在于不需要作出O在平面ABC上的射影例4、三棱錐PABC中，PA平面ABC，ABC=900，求這個三棱錐外接球球心的位置。解題思路分析：為了確定球心（點）的位置，可將它轉(zhuǎn)化為某兩條直線的公共點。那么球心在哪條直線上呢？根據(jù)球的截面小圓的性質(zhì)，球心在過截面圓的圓心且與截面圓垂直的直線上。如圖： ABC=900 ABC的外接圓圓心為AC中點O1，在PAC內(nèi)作O1MPA，則O1M平面ABC 球心O在直線O1M上 PA平面ABC PABC又BCBA CB平面PAB PAB=900 PAB的外接圓圓心為PB中點O2，在PBC內(nèi)作O2NCB，則O2N平面PAB 球心O在直線O2N上 O1M、O2N均與直線PC相交且交點O為PC中點 O1MO2M=0 O為三棱錐PABC外接球的球心例5、已知球的兩個平行截面的面積分別為5和8，且相距為1，求球的體積。解題思路分析：利用解方程思想與球的半徑R這里還需要對兩截面是在球心O的同側(cè)還是異側(cè)進行討論當(dāng)兩截面在球心O的同側(cè)時，作出截面大圓，如圖則解之得R=3當(dāng)兩截面在球心O的兩側(cè)時則，無解 同步練習(xí) （一）選擇題1、 棱長為a的正方體外接球的表面積是A、a2 B、2a2 C、3a2 D、4a22、A、B為球面上相異兩點，則過A、B可作大圓個數(shù)A、0個 B、只有一個 C、無窮多個 D、以上都不對3、若球的大圓面積擴大為原來的2倍，則球的體積比原來增加A、2倍 B、4倍 C、倍 D、倍4、兩個球的體積之比為827，那么這兩個球的表面積之比為A、23 B、49 C、 D、5、表面積為Q的多面體的每一個面都外切于半徑為3的一個球，則這個多面體體積為A、Q B、3Q C、Q D、無法求解 （二）填空題6、如果球的半徑擴大為原來的n倍，則球的大圓周長擴大為原來的_倍，球的表面積擴大為原來的_倍，球的體積擴大為原來的_倍。7、過球面上不經(jīng)過球心的兩點所作截面圓中，面積最大的圓是_，面積最小的圓是_。8、長方體共頂點的三個側(cè)面面積分別為，則它的外接球的表面積為_。9、設(shè)地球半徑為R，在北緯600的圈上有甲、乙兩地，它們緯度圈上的弧長等于，那么甲、乙兩地球面距離為_。10、由半徑為R的球面上一點P作球的兩兩互相垂直的三條弦PA、PB、PC，則PA2+PB2+PC2=_。 （三）解答題11、設(shè)地球半徑為R，A地在東經(jīng)300的赤道上，B地在北緯450，東經(jīng)1200處，求A、B兩地球面的距離。12、正三棱錐高為1，底面邊長為，內(nèi)有一個球與四個面都相切，如圖（1） 求棱錐的全面積；（2） 求球的半徑。13、正三棱錐內(nèi)接于半徑為R的球，如果它的高與側(cè)棱所成的角等于，求棱錐體積。14、已知AB為球O的直徑，C、D是球面上兩點，D又在以BC為直徑的小圓上，設(shè)此小圓所在平面為（1） 求證：平面ABC； （2）設(shè)AB與所成角為，過球半徑OD且垂直于的截面截BC弦于E，求OED與經(jīng)過O、D的截面面積之比，并求為何值時，這面積之比最大。參考答案（一） 選擇題1、 C。 2、D。 當(dāng)AB不過球O時，過A、B、O的大圓有且只有一個；當(dāng)AB過球心O時，過直徑AB可作無數(shù)個大圓。3、D。設(shè)前后兩球半徑分別為R、R，則，擴大后球體積，4、B。 兩個半徑之比為235、A。 以球心為頂點，多面體的每一個面為底面將原多面體分割為若干個棱錐，則棱錐的體積之和為原多面體的體積： （二）填空題6、n，n2，n3。7、大圓，以兩點所連直線段為直徑的圓。因為兩點之間線段最短，當(dāng)直徑最小時，面積最小。8、 9 。設(shè)長方體長、寬、高分別為a、b、c，則不妨取，外接圓直徑，9、。緯度圓的半徑為Rcos600=，甲、乙兩地在緯度圓上的圓心角為，即甲、乙兩地為直徑，甲、乙兩地直線距離為R，甲、乙對球心張角為，球面距離為10、 4R2 。以PA、P、PC為棱構(gòu)造長方體，該長方體內(nèi)接于球，其對角線長為直徑，PA2+PB2+PC2=(2R)2=4R2 （三）解答題11、如圖，設(shè)球心為O，北緯450的圓的圓心為O，OB=Rcos450=R，OO=R 二面角BOOA大小為1200-300=900 AB= OA=OB=R AOB= A、B兩點球面距離為12、過PA、PO作球O及正三棱錐PABC的截面，如圖，PO為棱錐的高，PO=1，PD為正三棱錐的斜高，E為球O與正三棱錐PBC的切點 OD= S側(cè)= S全=S底+S側(cè)= （S全為P-ABC表面積） 或由PEOPOD求R13、設(shè)棱錐高為SO，OSO，過SA與SO確定的平面作球及正三棱錐的截面，如圖延長SO交大圓于E，連AE則ASE=，SE=RRtSAE中，SA=SEcos=2Rcos SO=SAsinSAD=SAsin(900-)=2Rcos2 AO=SAcosSAD=SAcos(900-)=2Rcossin=Rsin2 O為ABC外接圓圓心 AB=AO AB=AO=Rsin2 14、（1）設(shè)BC中點為O，則OO平面又OO平面ABC 平面ABC （2） OEAC AC平面 ABC為AB與平面所成的角，ABC=易證點E即為O OE=OBsin=Rsin，ED=cos sin·Rcos=sincos=sin2過O、D的截面為大圓，S=R2 SOEDS過OD大圓= 當(dāng)時，面積比最大為