2022年高二數(shù)學(xué) 7.3兩條直線的位置關(guān)系(備課資料)大綱人教版必修一、參考例題例1(xx年全國)兩條直線A1xB1yC10，A2xB2yC20垂直的充要條件是( )A.A1A2B1B20 B.A1A2B1B20C.1 D.1解：當(dāng)B1，B2都不為零時(shí)，k1，k2k1·k21A1A2B1B20.當(dāng)B10時(shí)，兩直線垂直的充要條件是A20，當(dāng)B20時(shí)，兩直線垂直的充要條件是A10，所以滿足A1A2+B1B20，故選A.評(píng)述：一定要注意A1，B1及A2，B2不能同時(shí)為零，也要注意斜率等于零與斜率不存在的兩條直線互相垂直.例2(1997年全國)如果直線ax2y20與直線3xy20平行，那么系數(shù)a為( )A.3 B.6 C. D.解：若兩直線平行，則，解得a6.故選B.評(píng)述：此題通過直線方程的系數(shù)比例關(guān)系來判斷兩直線的位置關(guān)系.二、參考練習(xí)題1.若原點(diǎn)在直線l上的射影是點(diǎn)P（2，1），則直線l的方程是( )A.x2y0B.x2y0C.2xy50D.2xy30解：由已知，得kOP，再由lOP，所以kOP·kl1.k12.又直線l過點(diǎn)P（2，1），所以l方程為：y12（x2）即2xy50.故選C2.若A（，2），B(6，），C(12，6)，D(2，12)，則下面四個(gè)結(jié)論,正確的個(gè)數(shù)是( )ABCD ABCD ACBD ACBDA.1 B.2 C.3 D.解：kAB，kCD.AB方程為y2（x）即3x5y20C（12，6)不在AB上.ABCD又kAD.kAB·kAD1ABAD.ACBDACBDkAC，kAC·kBD1即ACBD.四個(gè)結(jié)論都正確，故選D.評(píng)析：此題屬于數(shù)學(xué)中多選題型，需要逐一分析，主要考查學(xué)生對(duì)基本知識(shí)點(diǎn)、基本公式、基本方法的掌握情況.3.求經(jīng)過點(diǎn)（2，1），且與直線2x+y-10=0垂直的直線L的方程.解法一：設(shè)直線L的斜率為k直線L與直線 2x+y-10=0垂直，k·（-2）=-1. k=.又L經(jīng)過點(diǎn)A（2，1），所求直線L的方程為y-1=(x-2),即x-2y=0.解法二：設(shè)與直2x+y-10=0垂直的直線方程為x-2y+m=0.直線L的經(jīng)過點(diǎn)A(2,1),2-2×1+m=0. m=0.所求直線L的方程為x-2y=0.備課資料參考例題例1等腰直角三角形，斜邊中點(diǎn)是M（，2），一條直角邊所在的直線方程是y2x，求另外兩邊所在的直線方程.解：設(shè)斜邊所在直線AB斜率為k，斜邊與直角邊所夾角為45°.所以tan5°解得k3或k=，當(dāng)k=-3時(shí)，斜邊方程為y23（x）即3xy10由斜邊上一個(gè)頂點(diǎn)為A（），另一個(gè)頂點(diǎn)B()，另一條直角邊所在方程：x2y20，當(dāng)k時(shí)，同理可得另兩邊所在的直線方程：x3y20，x2y10.例2光線從A（3，）點(diǎn)射出，到x軸上的B點(diǎn)后，被x軸反射到y(tǒng)軸上的C點(diǎn)，又被y軸反射，這時(shí)反射線恰好過點(diǎn)D(1，6)點(diǎn)，求BC所在直線的方程.解：如圖所示，依題意，B點(diǎn)在原點(diǎn)O左側(cè)，設(shè)坐標(biāo)為(a，0）.由入射角等于反射角，得12，3，kABkBC又 kABkBC，BC的方程y0（xa）即x（3a）ya0令x0，解得C點(diǎn)坐標(biāo)為(0，），則kDC3.解得a，代入BC方程得5x2y70.另解：由入射角等于反射角可知BC一定過點(diǎn)A關(guān)于x的對(duì)稱點(diǎn)A（-3，-4）及D點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱D（1，6）.由兩點(diǎn)式得AD方程即BC方程5x2y70.例3等腰三角形兩腰所在的直線方程為7xy90與xy70，它的底邊所在直線通過點(diǎn)A(3，），求底邊所在的直線方程.解法一：設(shè)l1：7xy90l2：xy70直線l1、l2的斜率分別為k1，k2，則底邊所在的直線l到l1的角與l2到l1的角為等腰三角形兩底角，故相等.于是有即：（其中k為所求直線斜率)解得：k3或k.所求直線方程為3xy10，或x3y270.解法二：設(shè)頂角平分線的斜率為k，由已知kl17，kl21，于是有解得k或k3由平面幾何知識(shí)知道，頂角的平分線與底邊垂直，所以底邊的斜率為3和.故所求直線方程為3xy10，或x3y270.解法三：設(shè)底邊所在直線的方程為yk（x3）.即kxy3k0由方程組解得等腰三角形頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2，5).由方程組（k7)解得底邊一端點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）.由方程組解得底邊另一端點(diǎn)D的坐標(biāo)為(）.由BCBD，得解得k3或k故所求直線方程為：3xy10或x3y270.備課資料一、兩直線l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20的位置關(guān)系與二元一次方程組的關(guān)系.(1)若二元一次方程組有惟一解，即有惟一解，則l1，l2相交.(2)若二元一次方程組無解，則l1l2.(3)若二元一次方程組有無數(shù)個(gè)解，則直線l1與l2重合.二、兩直線l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(其中A2，B2，C2全不為0)的位置關(guān)系與方程系數(shù)的關(guān)系：(1)l1l2，(2)l1，l2相交，(3)l1，l2重合.三、參考例題例1兩條直線ykx2k1和x2y0的交點(diǎn)在第四象限，則k的取值范圍是( )A.（6，2） B.（，0）C.（，）D.（，)解法一：解方程組得交點(diǎn)為(）此點(diǎn)在第四象限，故選C.解法二：如圖，直線x2y0與x軸的交點(diǎn)是A（4，0），方程ykx2k1表示的是過定點(diǎn)P（2，1）的一組直線，其中PB為過點(diǎn)P且與x2y0平行的直線.由于直線的交點(diǎn)在第四象限，因此滿足條件的直線的位置應(yīng)介于直線PB與PA之間，其余率 kPBkkPA而kPA，kPB，所以k 故選C.評(píng)述：有關(guān)直線的交點(diǎn)問題，可以通過方程用代數(shù)的方法解決，也可結(jié)合圖形用幾何的方法解決，讓學(xué)生予以體會(huì).例2 若a+b+c=0,求證直線ax+by+c=0必經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn).證明：由a+b+c=0,且a、b不同時(shí)為0，設(shè)b0，則a=-(b+c),代入直線方程ax+by+c=0,得（x-y）+(x-1)=0.此方程可視為直線x-y=0與x-1=0交點(diǎn)的直線系方程.解方程組得x=1，y=1，即兩直線交點(diǎn)為（1，1）.故直線ax+by+c=0過定點(diǎn)（1，1）.備課資料一、參考例題例1(1994年全國)點(diǎn)(0，5)到直線y2x的距離是( )A. B. C. D.解：直線方程化為2xy0，由點(diǎn)到直線距離公式可得d.選B.例2(1992年全國文)原點(diǎn)關(guān)于直線x6y25的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是( )A.（2，） B.（）C.（3，）D.（，3)解法一：取各點(diǎn)橫縱坐標(biāo)一半代入已知直線方程檢驗(yàn)，D符合.解法二：設(shè)對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)P（x0，y0），則PO中點(diǎn)坐標(biāo)符合已知直線方程，且kPO·（）1，即，解得P（，3）.選D二、參考練習(xí)題1已知一直線l被兩平行線3xy70和3xy0所截線段長為3，且l過點(diǎn)(2，3)，求l的方程.解：若l斜率不存在，則與題意不符；設(shè)直線的斜率為k，直線l的方程為：kxy32k0由已知兩條平行線間的距離為3，而l與此兩條平行線所截線段長為3，設(shè)l與兩平行線的夾角為，則a1，兩平行線斜率為.概括兩條直線的夾角公式：1解得k1，k27.所以直線l的方程是x7y190或7xy170.2在直線x3y20上求兩點(diǎn)，使它與點(diǎn)(2，2）構(gòu)成等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn).解法一：點(diǎn)(2，2）到直線x3y2的距離為d，即等邊三角形的高為.由此得等邊三角形的邊長為.若設(shè)此三角形在直線x3y20上的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0），則x03y02，所以其坐標(biāo)為（3y02，y0）于是有3y02（2）2（y02）2（）2.整理得(y01)2.y01±，x01±故兩點(diǎn)為（-1+，-1+）和（1，1）.解法二：設(shè)過點(diǎn)（2，2）的一條邊所在直線的斜率為k.因?yàn)榈冗吶切蔚膬?nèi)角為60°，所以三條邊中每兩條邊的夾角都為60°，于是tan60°,即.解得k或k.當(dāng)k時(shí)，這條邊所在直線方程為：y2（x2），解方程組解得x1，y1.同理，當(dāng)k時(shí)，可求得另一頂點(diǎn)為(1，1).故兩點(diǎn)為(1，1)和(1，1）備課資料 一、直線系的概念 一般地具有某種共同屬性的一類直線的集合，稱為直線系，它的方程叫做直線系方程，直線系方程中除含變量x、y以外，還有可以根據(jù)具體條件取不同值的變量，稱為參變量簡稱參數(shù) 由于參數(shù)取向不同，就得不同的直線系 二、幾種常見的直線系 (1)過定點(diǎn)的直線系 直線y=kx+b(其中k為參數(shù)，b為常數(shù)) 它表示過定點(diǎn)(O，b)的直線系,但不包括y軸(即x=0) 經(jīng)過定點(diǎn)M(x0，y0)的直線系 y-y0=k(x-x0)(k為參數(shù)) 它表示經(jīng)過定點(diǎn)(x0 、y0)的直線系，但不包括平行y軸的那一條(即x=x0) (2)已知斜率的直線系 y=kx+b(k為常數(shù),b為參數(shù)) 它表示斜率為k的平行直線系 若已知直線L：Ax+By+C=0與L平行的直線系為Ax+By+m=0,(m為參數(shù)且mc). 若已知直線L：Ax+By+C=O,與L垂直的直線系為Bx-Ay+n=O(n為參數(shù)) (3)經(jīng)過兩條直線交點(diǎn)的直線系 經(jīng)過兩直線Ll：A1x+Bly+C1=O(Al2+Bl2O)與L2：A2x+B2y+C2=O(A22+B22O)交點(diǎn)的直線系為m(Alx+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0(其中m、n為參數(shù)，m2+n2O) 當(dāng)m=1,n=O時(shí)，方程即為L1的方程； 當(dāng)m=O,n=1時(shí),方程即為L2的方程 上面的直線系可改寫成(A1x+B1y+C1)+(A2x+B2y+C2)=O(其中為參數(shù))，但是，方程中不包括直線L2，這個(gè)參數(shù)方程形式在解題中較為常用 三、常見的點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)有 A(a,b)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A (a，-b)； B(a,b)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為B(-ab)； C(a，b)關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)為C(b,a)； D(a,b)關(guān)于直線y=-x的對(duì)稱點(diǎn)為D（-b,-a）; P(a,b)關(guān)于直線x=m的對(duì)稱點(diǎn)為P(2m-a,b)； Q(a,b)關(guān)于直線y=n的對(duì)稱點(diǎn)為Q(a,2n-b); 點(diǎn)E(a,b)關(guān)于直線L：Ax+By+C=O的對(duì)稱點(diǎn)E的求法： 令E(x0、y0),則有 解此方程組可得對(duì)稱點(diǎn)E的坐標(biāo) 四、常見的直線關(guān)于直線的對(duì)稱直線有 設(shè)直線L：Ax+By+C=O L關(guān)于x軸的對(duì)稱的直線是Ax+B(-y)+C=O； L關(guān)于y軸的對(duì)稱的直線是A(-x)+By+C=0; L關(guān)于直線y=x對(duì)稱的直線是Bx+Ay+C=O; L關(guān)于直線y=-x對(duì)稱的直線A(-y)+B(-x)+C=O 五、針對(duì)高考試題特點(diǎn)對(duì)于本節(jié)內(nèi)容應(yīng)注意的問題 1認(rèn)真理解和掌握好有關(guān)平行、垂直、夾角、距離等基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法及基本問題 2認(rèn)真掌握有關(guān)對(duì)稱的四種基本類型問題的解法即：1°點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問題；2°直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問題；3°點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問題；4°直線關(guān)于直線的對(duì)稱問題 3在由兩直線的位置關(guān)系確定有關(guān)字母的值或討論直線Ax+By+C=0中各系數(shù)間的關(guān)系和直線所在直角坐標(biāo)系中的象限等問題時(shí)，要充分利用分類討論、數(shù)形結(jié)合、特殊值檢驗(yàn)等基本的數(shù)學(xué)方法和思想 4平面解析幾何的核心是坐標(biāo)法。它需要運(yùn)用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)，運(yùn)用代數(shù)的方法研究幾何問題，因此解析幾何問題無論從知識(shí)上還是研究方法上都要注意與函數(shù)、方程、不等式、三角及平面幾何內(nèi)容相聯(lián)系，本部分內(nèi)容在這方面體現(xiàn)的也很明顯 5兩條直線的位置關(guān)系是解析幾何的基礎(chǔ)。同時(shí)本部分內(nèi)容所涉及的“數(shù)形結(jié)合”對(duì)稱”化歸”等方法也是解析幾何的重要思想方法因此對(duì)于本部分內(nèi)容要切實(shí)學(xué)好、學(xué)透、用活 6在歷年的高考試題中，本部分內(nèi)容也是?？紗栴}的熱點(diǎn)之一。多以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，也與圓錐曲線內(nèi)容及代數(shù)有關(guān)知識(shí)結(jié)合在一起命題，成為試卷中的中等題和難題 六、參考練習(xí)題 1已知ABC的三邊所在直線的方程分別是LAB：4x-3y+10=O，LBC：y=2，LCA：3x-4y=5求： (1)ABC的大小； (2) BAC內(nèi)角平分線方程； (3) AB邊上的高所在直線方程解：(1)LBC：y=2是與x軸平行的直線,LAB: 4x-3y+10=0的斜率為，傾斜角為 arctan ABC=-arctan. (2)設(shè)P(x,y)是BAC平分線上任意一點(diǎn)則P到AC、AB的距離相等 4x-3y+10=±（3x-4y-5）. 又BAC的平分線的斜率在 和之間 7x-7y+5=0為所求直線方程 (3)設(shè)過點(diǎn)C的直線系方程為3x-4y-5+(y-2)=O即3x-(4-)y-5-2=O. 要使此直線與直線LAB: 4x-3y+10=0垂直, 必須=-1， 即=8 AB邊上的高所在直線方程為3x+4y-21=O 2直線L過點(diǎn)A(2，3)且被兩平行線L1：3x+4y-7=O和L2：3x+4y+8=O截得的線段長為3，試求直線L的方程 解：設(shè)直線L的方程為y-3=k(x-2),即kx-y+3-2k=O 設(shè)L1與L交于點(diǎn)M，作MNL2于點(diǎn)N 兩平行線L1、L2間距離 |MN|= 在直角MNQ中，|MQ|=3， sinMQN=MQN=45°，即直線L與L2的夾角是45°，于是tan45°= 解得k=或k=-7. 所求直線方程為x-7y+19=0或7x+y-17=O