高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一篇 求準(zhǔn)提速 基礎(chǔ)小題不失分 第16練 圓錐曲線的定義、方程與性質(zhì)練習(xí) 文明考情圓錐曲線是高考的熱點，每年必考，小題中考查圓錐曲線的定義、方程、離心率等，題目難度中檔偏難.知考向1.圓錐曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程.2.圓錐曲線的幾何性質(zhì).3.圓錐曲線的綜合.考點一圓錐曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程方法技巧(1)橢圓和雙曲線上的點到兩焦點距離可以相互轉(zhuǎn)化，拋物線上的點到焦點的距離等于到準(zhǔn)線的距離.(2)求圓錐曲線方程的常用方法：定義法、待定系數(shù)法.1.(xx·九江二模)設(shè)橢圓1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在橢圓上，且滿足·9，則|·|的值為()A.8 B.10 C.12 D.15答案D解析點P是橢圓1上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點，|PF1|PF2|8，|F1F2|4，·9，即|·|cos 9，|2|2|22|·|cos (|)22|·|18642|·|1816，|·|15.2.(xx·洛陽統(tǒng)考)已知雙曲線C：1(a0，b0)的焦距為10，點P(2，1)在C的漸近線上，則C的方程為()A.1 B.1C.1 D.1答案A解析1的焦距為10，c5，又雙曲線的漸近線方程為y±x，且P(2，1)在漸近線上，1，即a2b，由得a2，b，雙曲線的方程為1，故選A.3.已知雙曲線1(a0，b0)的離心率為2，它的兩條漸近線與拋物線y22px(p0)的準(zhǔn)線分別交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點.若AOB的面積為，則拋物線的準(zhǔn)線方程為()A.x2 B.x2C.x1 D.x1答案D解析因為e2，所以c2a，ba，雙曲線的漸近線方程為y±x.又拋物線的準(zhǔn)線方程為x，聯(lián)立雙曲線的漸近線方程和拋物線方程得A，B.在AOB中，|AB|p，點O到AB的距離為，所以·p·，所以p2，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為x1，故選D.4.(xx·天津)已知雙曲線1(a>0，b>0)的右焦點為F，點A在雙曲線的漸近線上，OAF是邊長為2的等邊三角形(O為原點)，則雙曲線的方程為()A.1 B.1C.y21 D.x21答案D解析根據(jù)題意畫出草圖如圖所示(不妨設(shè)點A在漸近線yx上).由AOF是邊長為2的等邊三角形得到AOF60°，c|OF|2.又點A在雙曲線的漸近線yx上，tan 60°.又a2b24，a1，b，雙曲線的方程為x21.故選D.5.(xx·甘肅肅南裕固族自治縣一中期末)拋物線yx2上的動點M到兩定點(0，1)，(1，3)的距離之和的最小值為_.答案4解析由題意得焦點F(0，1)，設(shè)A(1，3)，則|MA|MF|MA|yM|1|yA|14.考點二圓錐曲線的幾何性質(zhì)要點重組在橢圓中：a2b2c2，離心率為e；在雙曲線中：c2a2b2，離心率為e.方法技巧求離心率的兩種方法(1)定義法：求出a，c，代入e進(jìn)行求解.(2)方程法：只需根據(jù)一個條件得到關(guān)于a，b，c的各項式，然后兩邊同除以a或a2得到關(guān)于e的方程求e.6.已知A是雙曲線1(a0，b0)的左頂點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為左、右焦點，P為雙曲線上一點，G是PF1F2的重心，若，則雙曲線的離心率為()A.2 B.3 C.4 D.與的取值有關(guān)答案B解析因為，所以，所以(O為坐標(biāo)原點)，即，所以e3.7.(xx·廣安模擬)橢圓1(ab0)的一個焦點為F，該橢圓上有一點A，滿足OAF是等邊三角形(O為坐標(biāo)原點)，則橢圓的離心率是()A.1 B.2C.1 D.2答案A解析根據(jù)題意，如圖，設(shè)F(c，0)，由OAF是等邊三角形，則A，又A在橢圓上，則有1，a2b2c2，聯(lián)立，解得c(1)a，則其離心率e1.8.(xx·全國)雙曲線1(a>0)的一條漸近線方程為yx，則a_.答案5解析雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a0)，雙曲線的漸近線方程為y±x.又雙曲線的一條漸近線方程為yx，a5.9.(xx·北京)雙曲線1(a0，b0)的漸近線為正方形OABC的邊OA，OC所在的直線，點B為該雙曲線的焦點，若正方形OABC的邊長為2，則a_.答案2解析設(shè)B為雙曲線的右焦點，如圖所示.四邊形OABC為正方形且邊長為2，c|OB|2.又AOB，tan 1，即ab.又a2b2c28，a2.10.設(shè)拋物線E：y22px(p>0)的焦點為F，點M為拋物線E上一點，|MF|的最小值為3，若點P為拋物線E上任意一點，A(4，1)，則|PA|PF|的最小值為_.答案7解析由題意，|MF|的最小值為3，得3，p6，拋物線E：y212x，拋物線y212x的焦點F的坐標(biāo)是(3，0).設(shè)點P在準(zhǔn)線上的射影為D，則根據(jù)拋物線的定義可知|PF|PD|，要求|PA|PF|取得最小值，即求|PA|PD|取得最小值，當(dāng)D，P，A三點共線時|PA|PD|最小，為4(3)7.考點三圓錐曲線的綜合方法技巧圓錐曲線范圍，最值問題的常用方法(1)定義性質(zhì)轉(zhuǎn)化法：利用圓錐曲線的定義性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，根據(jù)平面幾何中的結(jié)論確定最值或范圍.(2)目標(biāo)函數(shù)法：建立所求的目標(biāo)函數(shù)，將所求最值轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值解決.(3)條件不等式法：找出與變量相關(guān)的所有限制條件，然后再通過解決不等式(組)求變量的范圍.11.已知方程1表示橢圓，則實數(shù)m的取值范圍是()A.(，1)B.(2，)C.(1，)D.答案D解析由1轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)方程1，假設(shè)焦點在x軸上，則2m(m1)0，解得m1；假設(shè)焦點在y軸上，則(m1)2m0，解得2m.綜上可知，m的取值范圍為.12.(xx·四川)設(shè)O為坐標(biāo)原點，P是以F為焦點的拋物線y22px(p>0)上任意一點，M是線段PF上的點，且|PM|2|MF|，則直線OM的斜率的最大值為()A. B. C. D.1答案C解析如圖，由題意可知F，設(shè)P點坐標(biāo)為，顯然，當(dāng)y0<0時，kOM<0；當(dāng)y0>0時，kOM>0.要求kOM的最大值，不妨設(shè)y0>0，則()，kOM，當(dāng)且僅當(dāng)y2p2時等號成立.故選C.13.(xx·全國)若雙曲線C：1(a>0，b>0)的一條漸近線被圓(x2)2y24所截得的弦長為2，則C的離心率為()A.2 B. C. D.答案A解析設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為yx，圓的圓心為(2，0)，半徑為2，由弦長為2得出圓心到漸近線的距離為.由點到直線的距離公式得，解得b23a2.所以C的離心率e2.故選A.14.過拋物線yax2 (a>0)的焦點F作一條直線交拋物線于A，B兩點，若線段AF，BF的長分別為m，n，則等于()A. B. C.2a D.答案B解析顯然直線AB的斜率存在，故設(shè)直線方程為ykx，與yax2聯(lián)立，消去y得ax2kx0，設(shè)A(x1，ax)，B(x2，ax)，則x1x2，x1x2，xx，max，nax，mn·，mn，.故選B.15.過橢圓1的右焦點作一條斜率為2的直線與橢圓交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，則AOB的面積為_.答案解析由已知得直線方程為y2(x1).由得3y22y80，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y2，y1y2，|y1y2|，SAOB×1×.16.在直線y2上任取一點Q，過Q作拋物線x24y的切線，切點分別為A，B，則直線AB恒過定點_.答案(0，2)解析設(shè)Q(t，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，拋物線方程變?yōu)閥x2，則yx，則在點A處的切線方程為yy1x1(xx1)，化簡，得yx1xy1，同理，在點B處的切線方程為yx2xy2.又點Q(t，2)的坐標(biāo)滿足這兩個方程，代入，得2x1ty1，2x2ty2，則說明A(x1，y1)，B(x2，y2)都滿足方程2xty，即直線AB的方程為y2tx，因此直線AB恒過定點(0，2).1.若點O和點F(2，0)分別為雙曲線y21(a0)的中心和左焦點，點P為雙曲線右支上的任意一點，則·的取值范圍為()A.32，) B.32，)C. D.答案B解析由題意，得22a21，即a，設(shè)P(x，y)，x，(x2，y)，則·(x2)xy2x22x12，因為x，所以·的取值范圍為32，).2.已知圓C1：(x3)2y21和圓C2：(x3)2y29，動圓M同時與圓C1及圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為_.答案x21(x1)解析如圖所示，設(shè)動圓M與圓C1及圓C2分別外切于A和B.根據(jù)兩圓外切的條件，得|MC1|AC1|MA|，|MC2|BC2|MB|，因為|MA|MB|，所以|MC1|AC1|MC2|BC2|，即|MC2|MC1|BC2|AC1|26，所以點M到兩定點C1，C2的距離的差是常數(shù).又根據(jù)雙曲線的定義，得動點M的軌跡為雙曲線的左支(點M與C2的距離大，與C1的距離小)，其中a1，c3，則b28.故點M的軌跡方程為x21(x1).3.若橢圓的對稱軸是坐標(biāo)軸，且短軸的一個端點與兩個焦點組成一個正三角形，焦點到同側(cè)頂點的距離為，則橢圓的方程為_.答案1或1解析由題意，得所以所以b2a2c29.所以當(dāng)橢圓焦點在x軸上時，橢圓的方程為1；當(dāng)橢圓焦點在y軸上時，橢圓的方程為1.故橢圓的方程為1或1.4.已知橢圓1(ab0)的左、右焦點分別為F1(c，0)，F(xiàn)2(c，0)，若橢圓上存在點P(異于長軸的端點)，使，則該橢圓的離心率的取值范圍為_.答案(1，1)解析由已知，得e，由正弦定理，得，所以e1.由橢圓的幾何性質(zhì)，知ac|PF2|<ac.1>，即e>，即e，即e22e10，結(jié)合0e1，可解得e(1，1).解題秘籍(1)橢圓的焦點位置不明確時，要分焦點在x軸上或y軸上進(jìn)行討論.(2)平面內(nèi)到兩個定點的距離之差為定值的點的軌跡不是雙曲線，要注意定值的限制條件和“絕對值”.(3)范圍問題要注意圓錐曲線上點的坐標(biāo)的范圍和幾何意義，不要忽略離心率本身的限制條件.1.已知橢圓1(m>0)的左焦點為F1(4，0)，則m等于()A.2 B.3 C.4 D.9答案B解析由題意知25m216，解得m29，又m>0，所以m3.2.(xx·和平區(qū)模擬)已知橢圓1(a)的焦點為F1，F(xiàn)2，且離心率e，若點P在橢圓上，|PF1|4，則|PF2|的值為()A.2 B.6 C.8 D.14答案A解析橢圓1(a)，橢圓的焦點在x軸上，b，c，則離心率e，即，解得a29，a3，橢圓的長軸長為2a6，由橢圓的定義可知，|PF1|PF2|6，即|PF2|2.3.已知雙曲線1(b>0)，以原點為圓心，雙曲線的實半軸長為半徑長的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A，B，C，D四點，四邊形ABCD的面積為2b，則雙曲線的方程為()A.1 B.1C.1 D.1答案D解析由題意知雙曲線的漸近線方程為y±x，圓的方程為x2y24，聯(lián)立解得或即第一象限的交點為.由雙曲線和圓的對稱性得四邊形ABCD為矩形，其相鄰兩邊長為，故2b，得b212.故雙曲線的方程為1.故選D.4.(xx·浙江)已知橢圓C1：y21(m1)與雙曲線C2：y21(n0)的焦點重合，e1，e2分別為C1，C2的離心率，則()A.mn且e1e21 B.mn且e1e21C.mn且e1e21 D.mn且e1e21答案A解析由題意可得m21n21，即m2n22，m0，n0，故mn.又e·e··11，e1·e21.5.過拋物線y22px(p0)的焦點作直線交拋物線于P，Q兩點，若線段PQ中點的橫坐標(biāo)為3，|PQ|10，則拋物線的方程是()A.y24x B.y22xC.y28x D.y26x答案C解析設(shè)拋物線y22px(p0)的焦點為F，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由拋物線的定義可知，|PQ|PF|QF|x1x2(x1x2)p，線段PQ中點的橫坐標(biāo)為3，又|PQ|10，106p，可得p4，拋物線的方程為y28x.6.已知雙曲線1(a0，b0)的一條漸近線過點(2，)，且雙曲線的一個焦點在拋物線y24x的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為()A.1 B.1C.1 D.1答案D解析雙曲線1的漸近線方程為y±x，又漸近線過點(2，)，所以，即2ba，拋物線y24x的準(zhǔn)線方程為x，由已知，得，即a2b27，聯(lián)立，解得a24，b23，所以雙曲線的方程為1.7.(xx·全國)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線E：1的左、右焦點，點M在E上，MF1與x軸垂直，sinMF2F1，則E的離心率為()A. B. C. D.2答案A解析如圖，因為MF1與x軸垂直，所以|MF1|.又sinMF2F1，所以，即|MF2|3|MF1|.由雙曲線的定義得2a|MF2|MF1|2|MF1|，所以b2a2，所以c2b2a22a2，所以離心率e.8.(xx·全國)已知O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)是橢圓C：1(ab0)的左焦點，A，B分別為C的左、右頂點.P為C上一點，且PFx軸.過點A的直線l與線段PF交于點M，與y軸交于點E.若直線BM經(jīng)過OE的中點，則C的離心率為()A. B. C. D.答案A解析設(shè)M(c，m)，則E，OE的中點為D，則D，又B，D，M三點共線，所以，a3c，e.9.設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓1的左、右焦點，P為橢圓上任一點，點M的坐標(biāo)為(6，4)，則|PM|PF1|的最大值為_.答案15解析因為橢圓1中，a5，b4，所以c3，得焦點為F1(3，0)，F(xiàn)2(3，0).根據(jù)橢圓的定義，得|PM|PF1|PM|(2a|PF2|)10(|PM|PF2|).因為|PM|PF2|MF2|，當(dāng)且僅當(dāng)P在MF2的延長線上時等號成立，此時|PM|PF1|的最大值為10515.10.已知A(1，2)，B(1，2)，動點P滿足.若雙曲線1(a>0，b>0)的漸近線與動點P的軌跡沒有公共點，則雙曲線離心率的取值范圍是_.答案(1，2)解析設(shè)P(x，y)，由題設(shè)條件，得動點P的軌跡為(x1)(x1)(y2)(y2)0，即x2(y2)21，它是以(0，2)為圓心，1為半徑的圓.又雙曲線1(a>0，b>0)的漸近線方程為y±x，即bx±ay0，由題意，可得>1，即>1，所以e<2，又e>1，故1<e<2.11.已知拋物線C1：yax2(a0)的焦點F也是橢圓C2：1(b0)的一個焦點，點M，P分別為曲線C1，C2上的點，則|MP|MF|的最小值為_.答案2解析P代入橢圓C2：1，可得1，b，焦點F(0，1)，拋物線C1：x24y，準(zhǔn)線方程為y1.設(shè)點M在準(zhǔn)線上的射影為D，則根據(jù)拋物線的定義可知|MF|MD|，要求|MP|MF|取得最小值，即求|MP|MD|取得最小值，當(dāng)D，M，P三點共線時，|MP|MD|最小，為1(1)2.12.已知橢圓C：1(ab0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P是橢圓上異于長軸端點的任意一點，若M是線段PF1上一點，且滿足2，·0，則橢圓C的離心率的取值范圍為_.答案解析設(shè)P(x，y)(y0)，取MF1的中點N，由2知，解得點N，又·0，所以，連接ON，由三角形的中位線可知，即(x，y)·0，整理得(xc)2y2c2(y0)，所以點P的軌跡為以(c，0)為圓心，c為半徑的圓(去除兩點(0，0)，(2c，0)，要使得圓與橢圓有公共點，則acc，所以橢圓的離心率為.