2022年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第五單元 四邊形 課時(shí)訓(xùn)練（二十六）正方形及中點(diǎn)四邊形練習(xí)|夯實(shí)基礎(chǔ)|1.xx·廣安 下列說法:四邊相等的四邊形一定是菱形;順次連接矩形各邊中點(diǎn)形成的四邊形一定是正方形;對角線相等的四邊形一定是矩形;經(jīng)過平行四邊形對角線交點(diǎn)的直線,一定能把平行四邊形分成面積相等的兩部分.其中說法正確的個(gè)數(shù)為()A.4 B.3 C.2 D.12.小紅用次數(shù)最少的對折方法驗(yàn)證了一條四邊形絲巾的形狀是正方形,她對折了()A.1次 B.2次 C.3次 D.4次3.若順次連接四邊形ABCD四邊的中點(diǎn),得到的圖形是一個(gè)矩形,則四邊形ABCD一定是()A.矩形B.菱形C.對角線相等的四邊形D.對角線互相垂直的四邊形4.xx·河北 如圖K26-1是邊長為10 cm的正方形鐵片,過兩個(gè)頂點(diǎn)剪掉一個(gè)三角形,以下四種剪法中,裁剪線長度所標(biāo)的數(shù)據(jù)(單位:cm)不正確的是()圖K26-1圖K26-25.xx·黔東南州 如圖K26-3,正方形ABCD中,E為AB中點(diǎn),FEAB,AF=2AE,FC交BD于點(diǎn)O,則DOC的度數(shù)為()圖K26-3A.60° B.67.5°C.75° D.54°6.小明在學(xué)習(xí)了正方形之后,給同桌小文出了道題,從下列四個(gè)條件:AB=BC;ABC=90°AC=BD;ACBD中選兩個(gè)作為補(bǔ)充條件,使ABCD成為正方形(如圖K26-4),現(xiàn)有下列四種選法,你認(rèn)為錯(cuò)誤的是()圖K26-4A. B. C. D.7.xx·黃岡 已知:如圖K26-5,在正方形ABCD的外側(cè),作等邊三角形ADE,則BED=度. 圖K26-58.xx·大慶 如圖K26-6,點(diǎn)M,N在半圓的直徑AB上,點(diǎn)P,Q在上,四邊形MNPQ為正方形.若半圓的半徑為,則正方形的邊長為. 圖K26-69.xx·深圳 如圖K26-7,四邊形ACDF是正方形,CEA和ABF都是直角且E,A,B三點(diǎn)共線,AB=4,則陰影部分的面積是. 圖K26-710.xx·武漢 以正方形ABCD的邊AD為邊作等邊三角形ADE,則BEC的度數(shù)是. 11.xx·義烏 如圖K26-8為某城市部分街道示意圖,四邊形ABCD為正方形,點(diǎn)G在對角線BD上,GECD,GFBC,AD=1500 m,小敏行走的路線為BAGE,小聰行走的路線為BADEF,若小敏行走的路程為3100 m,則小聰行走的路程為m. 圖K26-812.xx·舟山 如圖K26-9,等邊三角形AEF的頂點(diǎn)E,F在矩形ABCD的邊BC,CD上,且CEF=45°.求證:矩形ABCD是正方形.圖K26-913.如圖K26-10,四邊形ABCD是正方形,點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn),AEF=90°,且EF交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)F.求證:AE=EF.圖K26-10|拓展提升|14.xx·煙臺(tái) 【問題解決】一節(jié)數(shù)學(xué)課上,老師提出了這樣一個(gè)問題:如圖K26-11,點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn),PA=1,PB=2,PC=3,你能求出APB的度數(shù)嗎?小明通過觀察、分析、思考,形成了如下思路:思路一:將PBC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到BP'A,連接PP',求出APB的度數(shù);思路二:將APB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到CP'B,連接PP',求出APB的度數(shù).請參考小明的思路,任選一種寫出完整的解答過程.【類比探究】如圖,若點(diǎn)P是正方形ABCD外一點(diǎn),PA=3,PB=1,PC=,求APB的度數(shù).圖K26-11參考答案1.C解析 正確;由于矩形的對角線相等,根據(jù)三角形的中位線定理,可得順次連接矩形各邊中點(diǎn)所得四邊形的四邊都相等,由此可判定所得四邊形是菱形,故錯(cuò)誤;對角線相等的平行四邊形是矩形,對角線相等的四邊形不一定是矩形,故錯(cuò)誤;正確.綜上所述,正確的說法有2個(gè).故選C.2.B3.D解析 如圖,四邊形EFGH是矩形,且E,F,G,H分別是AB,BC,CD,AD的中點(diǎn),根據(jù)三角形中位線定理得:EHFGBD,EFACHG.四邊形EFGH是矩形,即EFFG,ACBD.4.A解析 選項(xiàng)A不正確.理由:正方形的邊長為10,所以對角線=1014,因?yàn)?5>14,所以這個(gè)圖形不可能存在.故選A.5.A解析 連接BF,E為AB中點(diǎn),FEAB,EF垂直平分AB,AF=BF.AF=2AE,AF=AB,AF=BF=AB,ABF為等邊三角形,FBA=60°,BF=BC,FCB=BFC=15°,四邊形ABCD為正方形,DBC=45°,根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和得DOC=15°+45°=60°.6.B解析 此題考查正方形的判定,即在平行四邊形的基礎(chǔ)上,需要再同時(shí)具備矩形和菱形的特征.是菱形的特征;是矩形的特征;是矩形的特征,是菱形的特征.而B中都是矩形的特征.故選B.7.45解析 由題意得,AB=AE,BAD=90°,DAE=AED=60°,所以BAE=150°,AEB=15°.所以BED=AED-AEB=60°-15°=45°.8.2解析 連接OP,設(shè)正方形的邊長為a(a>0),則ON=,PN=a,在RtOPN中,ON2+PN2=OP2,即2+a2=()2,解得a=2.9.8解析 四邊形ACDF是正方形,AC=AF,CAF=90°,CAE+BAF=90°,又CAE+ECA=90°,ECA=BAF,則在ACE和FAB中,ACEFAB(AAS),AB=CE=4,陰影部分的面積=AB·CE=×4×4=8.10.30°或150°解析 如圖,ADE是等邊三角形,DE=DA,DEA=1=60°.四邊形ABCD是正方形,DC=DA,2=90°.CDE=150°,DE=DC,3=(180°-150°)=15°.同理可求得4=15°.BEC=30°.如圖,ADE是等邊三角形,DE=DA,1=2=60°,四邊形ABCD是正方形,DC=DA,CDA=90°.DE=DC,3=30°,4=(180°-30°)=75°.同理可求得5=75°.BEC=360°245=150°.故答案為30°或150°.11.4600解析 連接GC,由四邊形ABCD為正方形可得ADGCDG,所以GC=AG,由四邊形GECF為矩形可得GC=EF,所以EF=AG,因?yàn)樾∶粜凶叩穆肪€為BAGE,所以BA+AG+GE=3100 m.因?yàn)樾÷斝凶叩穆肪€為BADEF,所以BA+AD+DE+EF=BA+1500+GE+AG=3100+1500=4600(m).12.證明:四邊形ABCD是矩形,B=D=C=90°,AEF是等邊三角形,AE=AF,AEF=AFE=60°,CEF=45°,CFE=CEF=45°,AFD=AEB=180°-45°-60°=75°,ABEADF,AB=AD,矩形ABCD是正方形.13.證明:取AB的中點(diǎn)H,連接EH.AEF=90°,2+AEB=90°,四邊形ABCD是正方形,1+AEB=90°,1=2,E是BC的中點(diǎn),H是AB的中點(diǎn),BH=BE,AH=CE,BHE=45°,CF是DCG的平分線,FCG=45°,AHE=ECF=135°,在AHE和ECF中,AHEECF(ASA),AE=EF.14.解析 將PBC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到P'BA,連接PP',得到等腰直角三角形BP'P,從而得到PP'=2,BPP'=45°,又AP'=CP=3,AP=1,AP2+P'P2=1+8=9=P'A2,根據(jù)勾股定理的逆定理得APP'=90°,從而求出APB=45°+90°=135°.將PBC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到P'BA,連接PP',方法和上述類似,求出APB=45°.解:【問題解決】如圖,將PBC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到P'BA,連接PP'.P'B=PB=2,P'BP=90°,PP'=2,BPP'=45°.又AP'=CP=3,AP=1,AP2+P'P2=1+8=9=P'A2,APP'=90°,APB=45°+90°=135°.【類比探究】如圖,將PBC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到P'BA,連接PP'.P'B=PB=1,P'BP=90°,PP'=,BPP'=45°.又AP'=CP=,AP=3,AP2+P'P2=9+2=11=P'A2,APP'=90°,APB=90°-45°=45°.