2022年高一下學期第一次月考數(shù)學試卷（理科） 含解析(I)一選擇題：（每小題只有一個正確答案，每小題5分，共60分）1 +1與1的等差中項是（）A1B1CD±12下列命題正確的是（）A單位向量都相等B若與共線，與共線，則與共線C若|+|=|，則=0D若與都是單位向量，則=13等比數(shù)列an中，“公比q1”是“數(shù)列an單調(diào)遞增”的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件4如圖，在等腰ABC中，AB=AC=1，A=120°，則向量在向量上的投影等于（）ABCD5把1，3，6，10，15，21這些數(shù)叫做三角形數(shù)，這是因為這些數(shù)目的點子可以排成一個正三角形（如圖所示）則第七個三角形數(shù)是（）A27B28C29D306在銳角ABC中，a=2，b=2，B=45°，則A等于（）A30°B60°C60°或120°D30°或150°7等比數(shù)列an的前n項和為Sn，且4a1，2a2，a3成等差數(shù)列若a1=1，則S4=（）A15B7C8D168設(shè)an（nN*）是等差數(shù)列，Sn是其前n項的和，且S5S6，S6=S7S8，則下列結(jié)論錯誤的是（）Ad0Ba7=0CS9S5DS6與S7均為Sn的最大值9若ABC的內(nèi)切圓面積為3，三角形面積是10，A=60°，則BC邊的長是（）A5B6C7D810已知四邊形ABCD， =（1，1），+=，則四邊形ABCD的面積為（）A1BCD211已知ABC內(nèi)接于單位圓，且ABC面積為S，則長為sinA，sinB，sinC的三條線段（）A不能構(gòu)成三角形B能構(gòu)成一個三角形，其面積為C能構(gòu)成一個三角形，其面積大于D能構(gòu)成一個三角形，其面積小于12已知O為ABC的外心，滿足，則ABC的最大內(nèi)角的余弦值為（）ABCD二填空題：（每小題5分，共20分；直接將答案填寫在答卷上）13已知=（2，3），=（4，y+1），且，則y=14已知數(shù)列an滿足：a1=2，an+1=（nN*），則該數(shù)列前xx項積a1a2axxaxx=15ABC中，6sinA=4sinB=3sinC，則cosC=16若a，b是函數(shù)f（x）=x2px+q（p0，q0）的兩個不同的零點，且a，b，2這三個數(shù)可適當排序后成等差數(shù)列，也可適當排序后成等比數(shù)列，則p+q的值等于三解答題：（共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17已知=（1，cosx），=（，sinx），x（0，）（1）若，求的值；（2）若，求sinxcosx的值18已知AD是ABC的角平分線，且AC=2，AB=4，cosBAC=（1）求ABC的面積； （2）求AD的長19設(shè)公差不等于零的等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且S5=30，a1，a2，a4成等比數(shù)列（1）求數(shù)列an的通項公式；（2）求的值20定義：稱為n個正數(shù)p1，p2，pn的“均倒數(shù)”，已知數(shù)列an的前n項的“均倒數(shù)”為（1）求an的通項公式（2）設(shè)Cn=，求數(shù)列cn的前n項和Sn21已知ABC三個內(nèi)角A、B、C的對邊為a、b、c，acosAbcosB=0，ab（1）求角C； （2）若y=，試確定實數(shù)y的取值范圍22我們把一系列向量（i=1，2，3，n）按次序排成一列，稱之為向量列，記作，已知向量列滿足： =（1，1），=（xn，yn）=（xn1yn1，xn1+yn1）（n2）（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)n表示向量與間的夾角，若bn=，對于任意正整數(shù)n，不等式+a（a+2）恒成立，求實數(shù)a的范圍附加題23已知：sinx+siny+sinz=cosx+cosy+cosz=0，求S=tan（x+y+z）+tanxtanytanz的值參考答案與試題解析一選擇題：（每小題只有一個正確答案，每小題5分，共60分）1 +1與1的等差中項是（）A1B1CD±1【考點】等差數(shù)列【分析】由等差中項的定義易得答案【解答】解：設(shè)x為+1與1的等差中項，則1x=x+1，即x=故選：C2下列命題正確的是（）A單位向量都相等B若與共線，與共線，則與共線C若|+|=|，則=0D若與都是單位向量，則=1【考點】平行向量與共線向量；平面向量數(shù)量積的運算；數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系【分析】題設(shè)條件簡單，本題的解題需要從選項入手，逐一進行驗證排除【解答】解：向量有大小、方向兩個屬性，向量的相等指的是大小相等方向相同，故A不對；B選項對三個非零向量是正確的，若是零向量時，若與共線，與共線，則與共線不一定成立當兩個向量互相垂直時兩向量和的模與差的模一定相等，故C選項是正確的若與都是單位向量，則=1不一定成立，當兩者垂直時，內(nèi)積為零由分析知，應選C3等比數(shù)列an中，“公比q1”是“數(shù)列an單調(diào)遞增”的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷【分析】根據(jù)等比數(shù)列遞增的性質(zhì)以及充分條件和必要條件的定義進行判斷即可【解答】解：若a10，q1時，an遞減，數(shù)列an單調(diào)遞增不成立若數(shù)列an單調(diào)遞增，當a10，0q1時，滿足an遞增，但q1不成立“公比q1”是“數(shù)列an單調(diào)遞增”的既不充分也不必要條件故選：D4如圖，在等腰ABC中，AB=AC=1，A=120°，則向量在向量上的投影等于（）ABCD【考點】平面向量數(shù)量積的運算【分析】由題意可得ABC=30°，再根據(jù)一個向量在另一個向量上的投影的定義求得向量在向量上的投影【解答】解：由題意可得ABC=30°，向量在向量上的投影等于|cosABC=1×=，故選：B5把1，3，6，10，15，21這些數(shù)叫做三角形數(shù)，這是因為這些數(shù)目的點子可以排成一個正三角形（如圖所示）則第七個三角形數(shù)是（）A27B28C29D30【考點】歸納推理【分析】原來三角形數(shù)是從l開始的連續(xù)自然數(shù)的和l是第一個三角形數(shù)，3是第二個三角形數(shù)，6是第三個三角形數(shù)，10是第四個三角形數(shù)，15是第五個三角形數(shù)那么，第七個三角形數(shù)就是：l+2+3+4+5+6+7=28【解答】解：原來三角形數(shù)是從l開始的連續(xù)自然數(shù)的和l是第一個三角形數(shù)，第1個數(shù)是1；3是第二個三角形數(shù)，第2個數(shù)是3=1+2；6是第三個三角形數(shù)，第3個數(shù)是：6=1+2+3；10是第四個三角形數(shù)，第4個數(shù)是：10=1+2+3+4；15是第五個三角形數(shù)，第5個數(shù)是：15=1+2+3+4+5；那么，第七個三角形數(shù)就是：l+2+3+4+5+6+7=28故選：B6在銳角ABC中，a=2，b=2，B=45°，則A等于（）A30°B60°C60°或120°D30°或150°【考點】正弦定理【分析】由正弦定理可得sinA=，再由大邊對大角可得AB=45°，從而求得A的值【解答】解：由正弦定理可得 =，sinA=B=45°，ab，再由大邊對大角可得AB，故B=60°或120°，故選，C7等比數(shù)列an的前n項和為Sn，且4a1，2a2，a3成等差數(shù)列若a1=1，則S4=（）A15B7C8D16【考點】等比數(shù)列的前n項和【分析】利用4a1，2a2，a3成等差數(shù)列求出公比即可得到結(jié)論【解答】解：4a1，2a2，a3成等差數(shù)列a1=1，4a1+a3=2×2a2，即4+q24q=0，即q24q+4=0，（q2）2=0，解得q=2，a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，S4=1+2+4+8=15故選：A8設(shè)an（nN*）是等差數(shù)列，Sn是其前n項的和，且S5S6，S6=S7S8，則下列結(jié)論錯誤的是（）Ad0Ba7=0CS9S5DS6與S7均為Sn的最大值【考點】等差數(shù)列的前n項和【分析】利用結(jié)論：n2時，an=snsn1，易推出a60，a7=0，a80，然后逐一分析各選項，排除錯誤答案【解答】解：由S5S6得a1+a2+a3+a5a1+a2+a5+a6，即a60，又S6=S7，a1+a2+a6=a1+a2+a6+a7，a7=0，故B正確；同理由S7S8，得a80，d=a7a60，故A正確；而C選項S9S5，即a6+a7+a8+a90，可得2（a7+a8）0，由結(jié)論a7=0，a80，顯然C選項是錯誤的S5S6，S6=S7S8，S6與S7均為Sn的最大值，故D正確；故選C9若ABC的內(nèi)切圓面積為3，三角形面積是10，A=60°，則BC邊的長是（）A5B6C7D8【考點】正弦定理【分析】設(shè)三角形ABC內(nèi)切圓心為O，半徑為r，與AB，AC，BC分別切于E，F(xiàn)，D，由已知可求EAO=FAO=30°，利用圓的面積可求r，進而可求AE=AF=3，由BE=BD，CF=CD，可求AB+AC+BC=6+2BC，根據(jù)三角形面積公式即可解得BC的值【解答】解：設(shè)三角形ABC內(nèi)切圓心為O，半徑為r，與AB，AC，BC分別切于E，F(xiàn)，D ，則AO平分BAC，OE=OF=OD=r，因A=60°，所以EAO=FAO=30°，因為：ABC的內(nèi)切圓面積為3=r2，解得：r=，所以：AE=3，得：AE=AF=3，BE=BD，CF=CD，所以：AB+AC+BC=AE+EB+AF+FC+BC=3+3+（EB+FC）+BC=3+3+2BC=6+2BC，因為：S=（AB+AC+BC ）r=（AB+AC+BC ）=10，解得：AB+AC+BC=20，可得：6+2BC=20，所以：解得：BC=7故選：C10已知四邊形ABCD， =（1，1），+=，則四邊形ABCD的面積為（）A1BCD2【考點】向量在幾何中的應用【分析】根據(jù)題意，利用向量加法的平行四邊形法則得到四邊形ABCD是菱形且BAD=120°，因此算出|=|=，即可求出四邊形ABCD的面積【解答】解：因為四邊形ABCD， =，所以四邊形ABCD是平行四邊形，因為+=，所以AC是平行四邊形ABCD的角平分線，平行四邊形為菱形，且BAD=120°，根據(jù)=（1，1）可得菱形的邊長為因此四邊形ABCD的面積S=××sin60°=故選：C11已知ABC內(nèi)接于單位圓，且ABC面積為S，則長為sinA，sinB，sinC的三條線段（）A不能構(gòu)成三角形B能構(gòu)成一個三角形，其面積為C能構(gòu)成一個三角形，其面積大于D能構(gòu)成一個三角形，其面積小于【考點】三角形的面積公式【分析】設(shè)ABC的三邊分別為a，b，c利用正弦定理可得， =2可得a=2sinA，b=2sinB，c=2sinC由a，b，c為三角形的三邊判斷即可【解答】解：設(shè)ABC的三邊分別為a，b，c利用正弦定理可得， =2a=2sinA，b=2sinB，c=2sinCa，b，c為三角形的三邊sinA，sinB，sinC也能構(gòu)成三角形的邊，面積為原來三角形面積故選D12已知O為ABC的外心，滿足，則ABC的最大內(nèi)角的余弦值為（）ABCD【考點】平面向量數(shù)量積的運算【分析】設(shè)三角形ABC的外接圓半徑為R，將已知的等式變形后，左右兩邊平方，分別求出cosAOB=0，cosBOC=，cosAOC=，再根據(jù)圓心角等于同弧所對的圓周的兩倍，以及二倍角公式計算即可【解答】解：設(shè)外接圓的半徑為R，3+4=5，（3+4）2=（5）2，9（）2+16（）2+12=25（）2，9R2+16R2+12=25R2，9R2+16R2+12R2cosAOB=25R2，cosAOB=0，同理，求得cosBOC=，cosAOC=，ABC的最大內(nèi)角BAC，根據(jù)圓心角等于同弧所對的圓周的兩倍得，BAC=BOC，2cos2（BAC）1=cosBOC，2cos2（BAC）=1=cos2（BAC）=，cosBAC=故答案為：B二填空題：（每小題5分，共20分；直接將答案填寫在答卷上）13已知=（2，3），=（4，y+1），且，則y=5【考點】平面向量共線（平行）的坐標表示【分析】利用向量共線定理即可得出【解答】解：，3×42（y+1）=0，解得y=5，故答案為：514已知數(shù)列an滿足：a1=2，an+1=（nN*），則該數(shù)列前xx項積a1a2axxaxx=1【考點】數(shù)列遞推式【分析】利用遞推關(guān)系可得：an+4=an利用周期性即可得出【解答】解：a1=2，an+1=（nN*），a2=3，a3=，a4=，a5=2，an+4=an則該數(shù)列前xx項積a1a2axxaxx=1，故答案為：115ABC中，6sinA=4sinB=3sinC，則cosC=【考點】余弦定理；正弦定理【分析】由正弦定理可得6a=4b=3c，進而可用a表示b，c，代入余弦定理化簡可得【解答】解：6sinA=4sinB=3sinC，由正弦定理可得6a=4b=3cb=，c=2a，由余弦定理可得cosC=故答案為：16若a，b是函數(shù)f（x）=x2px+q（p0，q0）的兩個不同的零點，且a，b，2這三個數(shù)可適當排序后成等差數(shù)列，也可適當排序后成等比數(shù)列，則p+q的值等于9【考點】等比數(shù)列的性質(zhì)；等差數(shù)列的性質(zhì)【分析】由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到a+b=p，ab=q，再由a，b，2這三個數(shù)可適當排序后成等差數(shù)列，也可適當排序后成等比數(shù)列列關(guān)于a，b的方程組，求得a，b后得答案【解答】解：由題意可得：a+b=p，ab=q，p0，q0，可得a0，b0，又a，b，2這三個數(shù)可適當排序后成等差數(shù)列，也可適當排序后成等比數(shù)列，可得或解得：；解得：p=a+b=5，q=1×4=4，則p+q=9故答案為：9三解答題：（共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17已知=（1，cosx），=（，sinx），x（0，）（1）若，求的值；（2）若，求sinxcosx的值【考點】三角函數(shù)的化簡求值；平行向量與共線向量；數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系【分析】（1）根據(jù)可推斷出求得tanx的值，進而把分子分母同時除以cosx，把原式轉(zhuǎn)化成關(guān)于tanx的式子，進而把tanx的值代入即可（2）根據(jù)兩向量垂直可推斷出，利用配方法（sinxcosx）2=12sinxcosx進而把sinx和cosx的值代入求得答案【解答】解：（1）（2）又18已知AD是ABC的角平分線，且AC=2，AB=4，cosBAC=（1）求ABC的面積； （2）求AD的長【考點】余弦定理；正弦定理【分析】（1）由cosBAC=，BAC（0，），可得sinBAC=，即可得出SABC（2）由AD是ABC的角平分線，可得=2，BAD=BAC，利用cosBAC=12sin2BAD，解得sinBAD利用SABD=SABC=，即可得出【解答】解：（1）cosBAC=，BAC（0，），sinBAC=SABC=×2×4×=（2）由AD是ABC的角平分線，=2，BAD=BAC，cosBAC=12sin2BAD，=12sin2BAD，解得sinBAD=SABD=SABC=×解得AD=19設(shè)公差不等于零的等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且S5=30，a1，a2，a4成等比數(shù)列（1）求數(shù)列an的通項公式；（2）求的值【考點】數(shù)列的求和；等差數(shù)列的前n項和【分析】（1）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式即可得出；（2）=，利用“裂項求和”即可得出【解答】解：（1）設(shè)數(shù)列an的首項為a1，公差為d，則d0，S5=30，a1，a2，a4成等比數(shù)列，解得a1=d=2，（其中d=0舍去），an=2+2（n1）=2n（2）=，=+=20定義：稱為n個正數(shù)p1，p2，pn的“均倒數(shù)”，已知數(shù)列an的前n項的“均倒數(shù)”為（1）求an的通項公式（2）設(shè)Cn=，求數(shù)列cn的前n項和Sn【考點】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式【分析】（1）數(shù)列an的前項和為Sn=n（n+2），由此能求出an的通項公式（2）由Cn=，利用錯位相減法能求出數(shù)列cn的前n項和Sn【解答】解：（1）數(shù)列an的前n項的“均倒數(shù)”為，根據(jù)題意得數(shù)列an的前項和為：Sn=n（n+2），當n2時，an=SnSn1=n（n+2）（n1）（n2）=2n+1，n=1時，a1=S1=3適合上式，an=2n+1（2）由（1）得Cn=，3Sn=，得：2Sn=3+=3+=，Sn=221已知ABC三個內(nèi)角A、B、C的對邊為a、b、c，acosAbcosB=0，ab（1）求角C； （2）若y=，試確定實數(shù)y的取值范圍【考點】三角函數(shù)中的恒等變換應用；正弦定理【分析】（1）由acosA=bcosB，利用正弦定理可得：sin2A=sin2B，2A，2B（0，2）由于ab，可得AB，可得A+B=即可得出C（2）由sinB=cosA 得y=，令 sinA+cosA=t（1，則 sinAcosA=，y=，根據(jù)t在（1，單調(diào)遞增，即可求得實數(shù)y的取值范圍【解答】（本題滿分為14分）解：（1）acosA=bcosB，sinAcosA=sinBcosB，sin2A=sin2B，2A，2B（0，2）2A=2B，或2A=2B，ab，AB，A+B=C=（A+B）=（2）sinB=cosA，y=，sinA+cosA=sin（A+），A（0，），A+（，）sin（A+）（，1，sinA+cosA（1，令 sinA+cosA=t（1，則 sinAcosA=，y=，t在（1，單調(diào)遞增，0t=，y2，又ab，故等號不成立，y的取值范圍為（2，+）22我們把一系列向量（i=1，2，3，n）按次序排成一列，稱之為向量列，記作，已知向量列滿足： =（1，1），=（xn，yn）=（xn1yn1，xn1+yn1）（n2）（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)n表示向量與間的夾角，若bn=，對于任意正整數(shù)n，不等式+a（a+2）恒成立，求實數(shù)a的范圍【考點】數(shù)列與不等式的綜合；等比關(guān)系的確定【分析】（1）利用向量模的坐標公式求出|的模，得到|與|的關(guān)系，利用等比數(shù)列的定義能證明數(shù)列是等比數(shù)列（2）利用向量的坐標形式的數(shù)量積公式求出，的數(shù)量積，利用向量的模、夾角形式的數(shù)量積公式求出夾角的余弦，從而得到bn=，由此能求出結(jié)果【解答】證明：（1）向量列滿足： =（1，1），=（xn，yn）=（xn1yn1，xn1+yn1），|=|，數(shù)列是等比數(shù)列解：（2）n表示向量與間的夾角，cosQn=，Qn=，bn=，+=，記f（n）=，則f（n+1）f（n）=0，f（n）隨n單調(diào)增加，f（n）m對于一切大于1的自然數(shù)n都成立等價于mf（2）=，對于任意正整數(shù)n，不等式+=a（a+2）恒成立，a（a+2）2f（2）=，解得1a1+，實數(shù)a的范圍是（1，1+）附加題23已知：sinx+siny+sinz=cosx+cosy+cosz=0，求S=tan（x+y+z）+tanxtanytanz的值【考點】兩角和與差的正切函數(shù)【分析】把已知等式變形，平方作和后可得cos（xy）=，cos（yz）=，cos（zx）=，表明角x，y，z中任兩角的終邊夾角為120度然后把x，y用z表示后利用兩角和的正切得答案【解答】解：由sinx+siny+sinz=cosx+cosy+cosz=0，得sinx+siny=sinz且cosx+cosy=cosz，平方相加，得2+2cosxcosy+2sinxsiny=1，即cos（xy）=，同理，cos（yz）=，cos（zx）=，這表明角x，y，z中任兩角的終邊夾角為120度不妨設(shè) x=y+120°+2k1180°（k1Z），y=z+120°+2k2180°（k2Z），則x=z+2（k1+k2）×180°，x+y+z=3z+2（k1+k2+1）×180°，S=tan（x+y+z）+tanxtanytanz=tan（3z）+tan（z+240°）tan（z+120°）tanz=tan（3z）+tanztan（z+60°）tan（z60°）=tan（3z）tan（3z）=0xx10月25日