2022年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 不等式、推理與證明第七節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法(理)練習(xí)
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2022年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 不等式、推理與證明第七節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法(理)練習(xí)
2022年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 不等式、推理與證明第七節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法(理)練習(xí)一、選擇題(6×5分30分)1(xx·懷化模擬)用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“當(dāng)n是正奇數(shù)時(shí),xnyn能被xy整除”,在第二步時(shí),正確的證法是()A假設(shè)nk(kN*),證明nk1命題成立B假設(shè)nk(k是正奇數(shù)),證明nk1命題成立C假設(shè)n2k1(kN*),證明nk1命題成立D假設(shè)nk(k是正奇數(shù)),證明nk2命題成立解析:A、B、C中,k1不一定表示奇數(shù),只有D中k為奇數(shù),k2為奇數(shù)答案:D2(xx·鶴壁模擬)用數(shù)學(xué)歸納法證明“1<n(nN*,n>1)”時(shí),由nk(k>1)不等式成立,推證nk1時(shí),左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是()A2k1 B2k1C2k D2k1解析:增加的項(xiàng)數(shù)為(2k11)(2k1)2k12k2k.答案:C3(xx·巢湖聯(lián)考)對于不等式<n1(nN*),某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法的證明過程如下:(1)當(dāng)n1時(shí),<11,不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時(shí),不等式成立,即<k1,則當(dāng)nk1時(shí),<(k1)1,當(dāng)nk1時(shí),不等式成立,則上述證法()A過程全部正確Bn1驗(yàn)得不正確C歸納假設(shè)不正確D從nk到nk1的推理不正確解析:在nk1時(shí),沒有應(yīng)用nk時(shí)的假設(shè),不是數(shù)學(xué)歸納法答案:D4(xx·漯河模擬)用數(shù)學(xué)歸納法證明“n3(n1)3(n2)3(nN*)能被9整除”,要利用歸納假設(shè)證nk1時(shí)的情況,只需展開()A(k3)3 B(k2)3C(k1)3 D(k1)3(k2)3解析:假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時(shí),原式能被9整除,即k3(k1)3(k2)3能被9整除當(dāng)nk1時(shí),(k1)3(k2)3(k3)3為了能用上面的歸納假設(shè),只需將(k3)3展開,讓其出現(xiàn)k3即可答案:A5(xx·潮州二模)證明1<n1(n>1),當(dāng)n2時(shí),左邊式子等于()A1 B1C1 D1解析:當(dāng)n2時(shí),左邊的式子為11.答案:D6已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn2an(n2),而a11,通過計(jì)算a2,a3,a4,猜想an()A. B.C. D.解析:由Snn2an,知Sn1(n1)2an1Sn1Sn(n1)2an1n2anan1(n1)2an1n2an,an1an(n2)當(dāng)n2時(shí),S24a2,又S2a1a2a2,a3a2,a4a3.由a11,a2,a3,a4,猜想an.答案:B二、填空題(3×5分15分)7在數(shù)列an中,a1且Snn(2n1)an,通過計(jì)算a2,a3,a4猜想an的表達(dá)式是_解析:a1且Snn(2n1)·an,a1a22×(2×21)×a2,a2.又a1a2a33×(2×31)×a3,a3.又a1a2a3a44×(2×41)×a4,a4.猜想:an.答案:an8(xx·紹興月考)用數(shù)學(xué)歸納法證明12(nN,且n1),第一步要證的不等式是_解析:n2時(shí),左邊11,右邊2.答案:129(xx·東莞調(diào)研)已知整數(shù)對的序列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),則第60個(gè)數(shù)對是_解析:本題規(guī)律:211;31221;4132231;514233241;一個(gè)整數(shù)n所擁有數(shù)對為(n1)對設(shè)123(n1)60,60,n11時(shí)還多5對數(shù),且這5對數(shù)和都為12,12111210394857,第60個(gè)數(shù)對為(5,7)答案:(5,7)三、解答題(共37分)10(12分)用數(shù)學(xué)歸納法證明下面的等式:12223242(1)n1·n2(1)n1.證明:(1)當(dāng)n1時(shí),左邊121,右邊(1)0·1,原等式成立(2)假設(shè)nk(kN*,k1)時(shí),等式成立,即有12223242(1)k1·k2(1)k1.那么,當(dāng)nk1時(shí),則有12223242(1)k1·k2(1)k(k1)2(1)k1(1)k·(k1)2(1)k·k2(k1)(1)k,nk1時(shí),等式也成立,由(1)(2)得對任意nN*有12223242(1)n1·n2(1)n1.11(12分)(xx·東北六校聯(lián)考)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且方程x2anxan0有一根為Sn1,n1,2,3,.(1)求a1,a2;(2)猜想數(shù)列Sn的通項(xiàng)公式,并給出嚴(yán)格的證明解析:(1)當(dāng)n1時(shí),x2a1xa10有一根為S11a11,于是(a11)2a1(a11)a10,解得a1.當(dāng)n2時(shí),x2a2xa20有一根為S21a2,于是(a2)2a2(a2)a20,解得a2.(2)由題設(shè)(Sn1)2an(Sn1)an0,Sn22Sn1anSn0.當(dāng)n2時(shí),anSnSn1,代入上式得Sn1Sn2Sn10.由(1)得S1a1,S2a1a2.由可得S3.由此猜想Sn,n1,2,3.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論()n1時(shí)已知結(jié)論成立()假設(shè)nk(kN*,k1)時(shí)結(jié)論成立,即Sk,當(dāng)nk1時(shí),由得Sk1,即Sk1,故nk1時(shí)結(jié)論也成立綜上,由()、()可知Sn對所有正整數(shù)n都成立12(13分)(xx·溫州模擬)已知f(x),nN*,試比較f()與的大小,并且說明理由解析:f()1,而1,f()與的大小等價(jià)于2n與n2的大小當(dāng)n1時(shí),21>12;當(dāng)n2時(shí),2222;當(dāng)n3時(shí),23<32;當(dāng)n4時(shí),2442;當(dāng)n5時(shí),25>52.猜想當(dāng)n5時(shí),2n>n2.以下用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)n5時(shí),由上可知不等式成立;假設(shè)nk(k5,kN*)時(shí),不等式成立,即2k>k2,則當(dāng)nk1時(shí),2k12·2k>2k2,又2k2(k1)2(k1)22>0(k5),即2k1>(k1)2,nk1時(shí),不等式成立綜合對n5,nN*不等式2n>n2成立當(dāng)n1或n5時(shí),f()>;當(dāng)n3時(shí),f()<;當(dāng)n2或4時(shí),f().