2022年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 不等式、推理與證明第七節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法（理）練習(xí)一、選擇題(6×5分30分)1(xx·懷化模擬)用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“當(dāng)n是正奇數(shù)時(shí)，xnyn能被xy整除”，在第二步時(shí)，正確的證法是()A假設(shè)nk(kN*)，證明nk1命題成立B假設(shè)nk(k是正奇數(shù))，證明nk1命題成立C假設(shè)n2k1(kN*)，證明nk1命題成立D假設(shè)nk(k是正奇數(shù))，證明nk2命題成立解析：A、B、C中，k1不一定表示奇數(shù)，只有D中k為奇數(shù)，k2為奇數(shù)答案：D2(xx·鶴壁模擬)用數(shù)學(xué)歸納法證明“1<n(nN*，n>1)”時(shí)，由nk(k>1)不等式成立，推證nk1時(shí)，左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是()A2k1 B2k1C2k D2k1解析：增加的項(xiàng)數(shù)為(2k11)(2k1)2k12k2k.答案：C3(xx·巢湖聯(lián)考)對于不等式<n1(nN*)，某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法的證明過程如下：(1)當(dāng)n1時(shí)，<11，不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時(shí)，不等式成立，即<k1，則當(dāng)nk1時(shí)，<(k1)1，當(dāng)nk1時(shí)，不等式成立，則上述證法()A過程全部正確Bn1驗(yàn)得不正確C歸納假設(shè)不正確D從nk到nk1的推理不正確解析：在nk1時(shí)，沒有應(yīng)用nk時(shí)的假設(shè)，不是數(shù)學(xué)歸納法答案：D4(xx·漯河模擬)用數(shù)學(xué)歸納法證明“n3(n1)3(n2)3(nN*)能被9整除”，要利用歸納假設(shè)證nk1時(shí)的情況，只需展開()A(k3)3 B(k2)3C(k1)3 D(k1)3(k2)3解析：假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時(shí)，原式能被9整除，即k3(k1)3(k2)3能被9整除當(dāng)nk1時(shí)，(k1)3(k2)3(k3)3為了能用上面的歸納假設(shè)，只需將(k3)3展開，讓其出現(xiàn)k3即可答案：A5(xx·潮州二模)證明1<n1(n>1)，當(dāng)n2時(shí)，左邊式子等于()A1 B1C1 D1解析：當(dāng)n2時(shí)，左邊的式子為11.答案：D6已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn2an(n2)，而a11，通過計(jì)算a2，a3，a4，猜想an()A. B.C. D.解析：由Snn2an，知Sn1(n1)2an1Sn1Sn(n1)2an1n2anan1(n1)2an1n2an，an1an(n2)當(dāng)n2時(shí)，S24a2，又S2a1a2a2，a3a2，a4a3.由a11，a2，a3，a4，猜想an.答案：B二、填空題(3×5分15分)7在數(shù)列an中，a1且Snn(2n1)an，通過計(jì)算a2，a3，a4猜想an的表達(dá)式是_解析：a1且Snn(2n1)·an，a1a22×(2×21)×a2，a2.又a1a2a33×(2×31)×a3，a3.又a1a2a3a44×(2×41)×a4，a4.猜想：an.答案：an8(xx·紹興月考)用數(shù)學(xué)歸納法證明12(nN，且n1)，第一步要證的不等式是_解析：n2時(shí)，左邊11，右邊2.答案：129(xx·東莞調(diào)研)已知整數(shù)對的序列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，則第60個(gè)數(shù)對是_解析：本題規(guī)律：211；31221；4132231；514233241；一個(gè)整數(shù)n所擁有數(shù)對為(n1)對設(shè)123(n1)60，60，n11時(shí)還多5對數(shù)，且這5對數(shù)和都為12，12111210394857，第60個(gè)數(shù)對為(5,7)答案：(5,7)三、解答題(共37分)10(12分)用數(shù)學(xué)歸納法證明下面的等式：12223242(1)n1·n2(1)n1.證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊121，右邊(1)0·1，原等式成立(2)假設(shè)nk(kN*，k1)時(shí)，等式成立，即有12223242(1)k1·k2(1)k1.那么，當(dāng)nk1時(shí)，則有12223242(1)k1·k2(1)k(k1)2(1)k1(1)k·(k1)2(1)k·k2(k1)(1)k，nk1時(shí)，等式也成立，由(1)(2)得對任意nN*有12223242(1)n1·n2(1)n1.11(12分)(xx·東北六校聯(lián)考)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且方程x2anxan0有一根為Sn1，n1,2,3，.(1)求a1，a2；(2)猜想數(shù)列Sn的通項(xiàng)公式，并給出嚴(yán)格的證明解析：(1)當(dāng)n1時(shí)，x2a1xa10有一根為S11a11，于是(a11)2a1(a11)a10，解得a1.當(dāng)n2時(shí)，x2a2xa20有一根為S21a2，于是(a2)2a2(a2)a20，解得a2.(2)由題設(shè)(Sn1)2an(Sn1)an0，Sn22Sn1anSn0.當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1，代入上式得Sn1Sn2Sn10.由(1)得S1a1，S2a1a2.由可得S3.由此猜想Sn，n1,2,3.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論()n1時(shí)已知結(jié)論成立()假設(shè)nk(kN*，k1)時(shí)結(jié)論成立，即Sk，當(dāng)nk1時(shí)，由得Sk1，即Sk1，故nk1時(shí)結(jié)論也成立綜上，由()、()可知Sn對所有正整數(shù)n都成立12(13分)(xx·溫州模擬)已知f(x)，nN*，試比較f()與的大小，并且說明理由解析：f()1，而1，f()與的大小等價(jià)于2n與n2的大小當(dāng)n1時(shí)，21>12；當(dāng)n2時(shí)，2222；當(dāng)n3時(shí)，23<32；當(dāng)n4時(shí)，2442；當(dāng)n5時(shí)，25>52.猜想當(dāng)n5時(shí)，2n>n2.以下用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n5時(shí)，由上可知不等式成立；假設(shè)nk(k5，kN*)時(shí)，不等式成立，即2k>k2，則當(dāng)nk1時(shí)，2k12·2k>2k2，又2k2(k1)2(k1)22>0(k5)，即2k1>(k1)2，nk1時(shí)，不等式成立綜合對n5，nN*不等式2n>n2成立當(dāng)n1或n5時(shí)，f()>；當(dāng)n3時(shí)，f()<；當(dāng)n2或4時(shí)，f().