2022年高中數(shù)學(xué) 階段性測(cè)試題3 新人教B版選修1-1一、選擇題(本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1設(shè)橢圓1(m>0，n>0)的右焦點(diǎn)與拋物線y28x的焦點(diǎn)相同，離心率為，則此橢圓的方程為()A.1B.1C.1 D.1答案B解析拋物線焦點(diǎn)為(2,0)，2，又，m4，n12.2以1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓方程為()A.1B.1C.1 D.1答案D解析雙曲線1，可化為：1，焦點(diǎn)為(0，±4)，頂點(diǎn)為(0，±2)，橢圓方程為：1.3已知拋物線x24y的焦點(diǎn)F和點(diǎn)A(1,8)，點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，則|PA|PF|的最小值為()A16 B6C12 D9答案D解析如圖，過(guò)點(diǎn)A作準(zhǔn)線的垂線，B為垂足，與拋物線交于一點(diǎn)P，則點(diǎn)P為所求的點(diǎn)，|PA|PF|的最小值為|AB|的長(zhǎng)度4已知兩定點(diǎn)F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)，且|F1F2|是|PF1|與|PF2|的等差中項(xiàng)，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是()A橢圓 B雙曲線C拋物線 D線段答案D解析依題意知|PF1|PF2|F1F2|2，作圖可知點(diǎn)P的軌跡為線段，故選D.5橢圓a2x2y21的一個(gè)焦點(diǎn)是(2,0)，則a等于()A. B.C. D.答案B解析橢圓a2x2y21可化為1，a<0，排除C、D.當(dāng)a時(shí)，62，2(1)，62224，一個(gè)焦點(diǎn)是(2,0)6(xx·廈門模擬)已知橢圓1(a>b>0)，雙曲線1(a>0，b>0)和拋物線y22px(p>0)的離心率分別是e1，e2，e3，則()Ae1e2>e3 Be1e2e3Ce1e2<e3 De1e2e3答案C解析e1e2·<1e3.7在拋物線y28x中，以(1，1)為中點(diǎn)的弦的方程是()Ax4y30 Bx4y30C4xy30 D4xy30答案C解析設(shè)弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，(x1x2)，則y8x1，y8x2，兩式相減得(y1y2)(y1y2)8(x1x2)，又y1y22，4，弦所在直線的斜率為4，又過(guò)點(diǎn)(1，1)，所求直線方程為4xy30.8.1與1(a>b>0)的漸近線()A重合B不重合，但關(guān)于x軸對(duì)稱C不重合，但關(guān)于y軸對(duì)稱D不重合，但關(guān)于直線yx對(duì)稱答案A9動(dòng)圓的圓心在拋物線y28x上，且動(dòng)圓恒與直線x20相切，則動(dòng)圓必過(guò)定點(diǎn)()A(4,0) B(2,0)C(0,2) D(0，2)答案B解析直線x20恰好為拋物線y28x的準(zhǔn)線，由拋物線定義知，動(dòng)圓必過(guò)拋物線焦點(diǎn)(2,0)10設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)，A是拋物線上的一點(diǎn)，與x軸正向的夾角為60°，則為()A.P B.PC.P D.P答案B解析根據(jù)題意得A點(diǎn)為直線y(x)與拋物線y22px的兩個(gè)交點(diǎn)中橫坐標(biāo)較大的那個(gè)，聯(lián)立方程組求出x1P，x2P，所以A(P，P)，則|OAP，故選B.11圓心在拋物線y22x上，且與x軸和該拋物線的準(zhǔn)線都相切的一個(gè)圓的方程是()Ax2y2x2y0 Bx2y2x2y10Cx2y2x2y10 Dx2y2x2y0答案D解析拋物線y22x的準(zhǔn)線為x，設(shè)圓心為(a，b)，則有b22a，因?yàn)閳A與x軸及拋物線準(zhǔn)線都相切，故|b|a，兩式聯(lián)立解得a，b±1，此時(shí)圓半徑r|b|1.12如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，P是側(cè)面BB1C1C內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若P到直線BC與直線C1D1的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所在的曲線是()A直線 B圓C雙曲線 D拋物線答案D解析點(diǎn)P到直線C1D1的距離等于它到定點(diǎn)C1的距離，動(dòng)點(diǎn)P到直線BC的距離等于它到定點(diǎn)C1的距離二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題4分，共16分，將正確答案填在題中橫線上)13已知長(zhǎng)方形ABCD，AB4，BC3，則以A、B為焦點(diǎn)，且過(guò)C、D兩點(diǎn)的橢圓的離心率為_(kāi)答案解析AB2c4，c2.又ACCB5382a，a4.即橢圓的離心率為.14設(shè)中心在原點(diǎn)的橢圓與雙曲線2x22y21有公共的焦點(diǎn)，且它們的離心率互為倒數(shù)，則該橢圓的方程是_答案y21解析雙曲線2x22y21的離心率為，所求橢圓的離心率為，又焦點(diǎn)為(±1,0)，所求橢圓的方程為y21.15拋物線形拱橋的跨度是20米，拱高是4米，每隔4米用一支柱支撐，其中最長(zhǎng)支柱的長(zhǎng)是_答案3.84米解析如圖，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系設(shè)拋物線方程為：x22py(p>0)點(diǎn)A(10，4)在拋物線上，1008p，p，x225y，其中最長(zhǎng)一根長(zhǎng)柱與拋物線的交點(diǎn)為B(x0，y0)，由題意知x02，y0，最長(zhǎng)的支柱長(zhǎng)為43.84(米)16以下四個(gè)關(guān)于圓錐曲線的命題：設(shè)A，B為兩個(gè)定點(diǎn)，k為非零常數(shù)，|k，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線；過(guò)定圓C上一定點(diǎn)A作圓的動(dòng)弦AB，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若()，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓；方程2x25x20的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；雙曲線1與橢圓y21有相同的焦點(diǎn)其中正確命題的序號(hào)是_答案解析雙曲線的定義是：平面上與兩個(gè)定點(diǎn)A，B的距離的差的絕對(duì)值為常數(shù)2a，且0<2a<|AB|，那么點(diǎn)P的軌跡為雙曲線，故錯(cuò)；由()得點(diǎn)P為弦AB的中點(diǎn)，其軌跡為圓，故錯(cuò)；設(shè)2x25x20的兩根為x1，x2，則由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1x2，x1x21，由此可知兩根互為倒數(shù)，且均為正，故正確；1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±，0)，y21的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±，0)，故正確三、解答題(本大題共6個(gè)小題，共74分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17(本題滿分12分)求以橢圓3x213y239的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，以直線y±為漸近線的雙曲線方程解析橢圓3x213y239可化為1，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±，0)，所求雙曲線的焦點(diǎn)為(±，0)，設(shè)雙曲線方程為：1(a>0，b>0)雙曲線的漸近線為y±x，a2，b2，即所求的雙曲線方程為：1.18(本題滿分12分)若已知橢圓1與雙曲線x21有相同的焦點(diǎn)，又橢圓與雙曲線交于點(diǎn)P，求橢圓及雙曲線的方程解析由橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)得10m1b，即m9b，由點(diǎn)P在橢圓、雙曲線上，得y2m，y2，解由、組成的方程組得m1，b8，橢圓方程為y21，雙曲線方程為x21.19(本題滿分12分)已知拋物線方程為y22x，(1)設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(，0)，求拋物線上距點(diǎn)A最近的點(diǎn)P的坐標(biāo)及相應(yīng)的距離|PA|；(2)設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a,0)(aR)，求拋物線上的點(diǎn)到點(diǎn)A距離的最小值d，并寫(xiě)出df(a)的函數(shù)表達(dá)式解析(1)設(shè)拋物線上任一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則|PA|2(x)2y2(x)22x(x)2，x0，且在此區(qū)間上單調(diào)遞增，故當(dāng)x0時(shí)，|PA|min，故距A最近的點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,0)(2)由(1)知|PA|2x(a1)2(2a1)，當(dāng)a10時(shí)，即a1時(shí)，此時(shí)當(dāng)xa1時(shí)，dmin；當(dāng)a1<0時(shí)，即a<1時(shí)，此時(shí)當(dāng)x0時(shí)，dmin|a|.綜上，d.20(本題滿分12分)汽車前燈反射鏡與軸截面的交線是拋物線的一部分，燈口所在的圓面與反射鏡的軸垂直，燈泡位于拋物線焦點(diǎn)處，已知燈口的直徑是24 cm，燈深10 cm，那么燈泡與反射鏡頂點(diǎn)的(即截得拋物線頂點(diǎn))距離是多少？解析取反射鏡的軸即拋物線的對(duì)稱軸為x軸，拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系xOy，如右圖所示因燈口直徑|AB|24，燈深|OP|10，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)是(10,12)設(shè)拋物線的方程是y22px(p>0)由點(diǎn)A(10,12)在拋物線上，得1222p×10，p7.2.拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(3.6,0)因此燈泡與反射鏡頂點(diǎn)的距離是3.6 cm.21(本題滿分12分)已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，其準(zhǔn)線過(guò)雙曲線1(a>0，b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)；又拋物線與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)為M，求拋物線和雙曲線的方程解析拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，與雙曲線1(a>0，b>0)的一個(gè)交點(diǎn)為M，設(shè)拋物線方程為y22px(p>0)，將點(diǎn)M坐標(biāo)代入得p2，y24x，其準(zhǔn)線為x1，拋物線的準(zhǔn)線過(guò)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，雙曲線的焦點(diǎn)為(±1,0)且點(diǎn)M在雙曲線上，a2，b2，則雙曲線的方程為4x21.22(本題滿分14分)如圖，點(diǎn)A是橢圓C：1(a>b>0)的短軸位于x軸下方的端點(diǎn)，過(guò)A作斜率為1的直線交橢圓于B點(diǎn)，P點(diǎn)在y軸上，且BPx軸，·9.(1)若P的坐標(biāo)為(0,1)，求橢圓C的方程；(2)若P的坐標(biāo)為(0，t)，求t的取值范圍解析(1)A(0，b)，l的方程為ybx，P(0,1)，則B(1b,1)，(1b,1b)，(0，b1)，又·9，(1b,1b)·(0，b1)9，即(b1)29，b2，點(diǎn)B(3,1)在橢圓上，1，a212，所求的橢圓方程為1.(2)P(0，t)，A(0，b)，B(tb，t)，(tb，tb)，(0，tb)，·9，(tb)29，b3t，B(3，t)，代入橢圓1，a2，a2>b2，>(3t)2，0<t<.