第4講導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用與熱點問題考情考向·高考導(dǎo)航導(dǎo)數(shù)日益成為解決問題必不可少的工具，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值(最值)是高考的常見題型，而導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、不等式、方程、數(shù)列等的交匯命題，是高考的熱點和難點解答題的熱點題型有：(1)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式或探討方程的根(2)利用導(dǎo)數(shù)求解參數(shù)的范圍或值真題體驗1(2018·全國卷)已知函數(shù)f(x).(1)求曲線yf(x)在點(0，1)處的切線方程；(2)證明：當(dāng)a1時，f(x)e0.解析：(1)由題意：f(x)得f(x)；f(0)2；即曲線yf(x)在點(0，1)處的切線斜率為2，y(1)2(x0)，即2xy10.(2)當(dāng)a1時，f(x)e，令g(x)x2x1ex1，則g(x)2x1ex1，當(dāng)x1時，g(x)0，g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x1時，g(x)0，g(x)單調(diào)遞增所以g(x)g(1)0.因此當(dāng)a1，f(x)e0.2(2019·全國卷)已知函數(shù)f(x)(x1)ln xx1.證明：(1)f(x)存在唯一的極值點；(2)f(x)0有且僅有兩個實根，且兩個實根互為倒數(shù)證明：(1)f(x)的定義域為(0，)f(x)ln x1ln x，因為yln x單調(diào)遞增，y單調(diào)遞減，所以f(x)單調(diào)遞增，又f(1)10，f(2)ln 20，故存在唯一x0(1,2)，使得f(x0)0.又當(dāng)xx0時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)xx0時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增，因此，f(x)存在唯一的極值點(2)由(1)知f(x0)f(1)2，又f(e2)e230，所以f(x)0在(x0，)內(nèi)存在唯一根xa.由x01得1x0.又fln10，故是f(x)0在(0，x0)的唯一根綜上，f(x)0有且僅有兩個實根，且兩個實根互為倒數(shù)主干整合1常見構(gòu)造輔助函數(shù)的四種方法(1)直接構(gòu)造法：證明不等式f(x)g(x)(f(x)g(x)的問題轉(zhuǎn)化為證明f(x)g(x)0(f(x)g(x)0)，進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)h(x)f(x)g(x)(2)構(gòu)造“形似”函數(shù)：稍作變形后構(gòu)造對原不等式同解變形，如移項、通分、取對數(shù)，把不等式轉(zhuǎn)化為左右兩邊是相同結(jié)構(gòu)的式子的結(jié)構(gòu)，根據(jù)“相同結(jié)構(gòu)”構(gòu)造輔助函數(shù)(3)適當(dāng)放縮后再構(gòu)造：若所構(gòu)造函數(shù)最值不易求解，可將所證明不等式進(jìn)行放縮，再重新構(gòu)造函數(shù)(4)構(gòu)造雙函數(shù)：若直接構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)，難以判斷符號，導(dǎo)數(shù)的零點也不易求得，因此單調(diào)性和極值點都不易獲得，從而構(gòu)造f(x)和g(x)，利用其最值求解2不等式的恒成立與能成立問題(1)f(x)g(x)對一切xa，b恒成立a，b是f(x)g(x)的解集的子集f(x)g(x)min0(xa，b)(2)f(x)g(x)對xa，b能成立a，b與f(x)g(x)的解集的交集不是空集f(x)g(x)max0(xa，b)(3)對x1，x2a，b使得f(x1)g(x2)f(x)maxg(x)min.(4)對x1a，b，x2a，b使得f(x1)g(x2)f(x)ming(x)min.3零點存在性定理在函數(shù)的零點問題中的應(yīng)用第一步：求導(dǎo)函數(shù)根據(jù)導(dǎo)數(shù)公式，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，并寫出定義域第二步：討論單調(diào)性由f(x)0(或f(x)0)討論函數(shù)的單調(diào)性第三步：定區(qū)間端點處的函數(shù)值符號確定單調(diào)區(qū)間端點處的函數(shù)值及符號第四步：判定零點根據(jù)零點存在性定理判斷零點存在與否及其個數(shù)4分離參數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法解決函數(shù)的零點問題第一步：分離參變量由已知的含參方程將參數(shù)與已知變量分離第二步：研究函數(shù)將已知范圍的變量的代數(shù)式作為函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其圖象第三步：利用圖象找交點利用圖象找到產(chǎn)生不同交點個數(shù)的參數(shù)的取值范圍第四步：運動定范圍通過改變未知變量的范圍找出臨界條件熱點一利用導(dǎo)數(shù)研究不等式問題利用導(dǎo)數(shù)證明不等式例11(2019·梅州三模節(jié)選)已知函數(shù)f(x)ln(x1)(1)證明：f(x1)；(2)證明：e2x2(x1)ex2x3.審題指導(dǎo)第(1)小題利用移項作差構(gòu)造法構(gòu)造函數(shù)，通過求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性，求解最值即可；第(2)小題利用換元的思想和第(1)小題的結(jié)論證明不等式解析(1)令h(x)f(x1)(x0)，則h(x)ln x，h(x)，所以當(dāng)x(0,1)時，h(x)0，當(dāng)x(1，)時，h(x)0，所以h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減，所以h(x)h(1)0，所以f(x1).(2)由(1)易知ln t，t0.要證e2x2(x1)ex2x3，即(ex1)22x(ex1)4，只需證ex12x，即證x.令tex，則x，即x，得證用導(dǎo)數(shù)證明不等式的方法(1)利用單調(diào)性：若f(x)在a，b上是增函數(shù)，則xa，b，有f(a)f(x)f(b)，x1，x2a，b，且x1x2，有f(x1)f(x2)對于減函數(shù)有類似結(jié)論(2)利用最值：若f(x)在某個范圍D內(nèi)有最大值M(或最小值m)，則xD，有f(x)M(或f(x)m)(3)證明f(x)g(x)，可構(gòu)造函數(shù)F(x)f(x)g(x)，證明F(x)0.利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立、存在性問題例12(2019·西安三模)已知f(x)2ln(x2)(x1)2，g(x)k(x1)(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間(2)當(dāng)k2時，求證：對于x1，f(x)g(x)恒成立(3)若存在x01，使得當(dāng)x(1，x0)時，恒有f(x)g(x)成立，試求k的取值范圍審題指導(dǎo)(1)求f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)，再求單調(diào)區(qū)間(2)構(gòu)造函數(shù)證明不等式(3)構(gòu)造函數(shù)、研究其單調(diào)性，從而確定參數(shù)范圍解析(1)f(x)2(x1)(x2)當(dāng)f(x)0時，x23x10，解得2x.當(dāng)f(x)0時，解得x.所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.(2)證明：設(shè)h(x)f(x)g(x)2ln(x2)(x1)2k(x1)(x1)當(dāng)k2時，由題意，當(dāng)x(1，)時，h(x)0恒成立h(x)2，當(dāng)x1時，h(x)0恒成立，h(x)單調(diào)遞減又h(1)0，當(dāng)x(1，)時，h(x)h(1)0恒成立，即f(x)g(x)0對于x1，f(x)g(x)恒成立(3)因為h(x)k.由(2)知，當(dāng)k2時，f(x)g(x)恒成立，即對于x1，2ln(x2)(x1)22(x1)，不存在滿足條件的x0；當(dāng)k2時，對于x1，x10，此時2(x1)k(x1)2ln(x2)(x1)22(x1)k(x1)，即f(x)g(x)恒成立，不存在滿足條件的x0；當(dāng)k2時，令t(x)2x2(k6)x(2k2)，可知t(x)與h(x)符號相同，當(dāng)x(x0，)時，t(x)0，h(x)0，h(x)單調(diào)遞減當(dāng)x(1，x0)時，h(x)h(1)0，即f(x)g(x)0恒成立綜上，k的取值范圍為(，2)1利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問題的“兩種”常用方法(1)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題：將原不等式分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題，利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的最值，根據(jù)要求得所求范圍一般地，f(x)a恒成立，只需f(x)mina即可；f(x)a恒成立，只需f(x)maxa即可(2)轉(zhuǎn)化為含參數(shù)函數(shù)的最值問題：將不等式轉(zhuǎn)化為某含待求參數(shù)的函數(shù)的最值問題，利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的極值(最值)，伴有對參數(shù)的分類討論，然后構(gòu)建不等式求解2存在型不等式恒成立問題的求解策略“恒成立”與“存在性”問題的求解是“互補”關(guān)系，即f(x)g(a)對于xD恒成立，應(yīng)求f(x)的最小值；若存在xD，使得f(x)g(a)成立，應(yīng)求f(x)的最大值在具體問題中究竟是求最大值還是最小值，可以先聯(lián)想“恒成立”是求最大值還是最小值，這樣，就可以解決相應(yīng)的“存在性”問題是求最大值還是最小值，然后構(gòu)建目標(biāo)不等式求參數(shù)范圍(2020·江淮十校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)ln xax2x，aR.(1)當(dāng)a0時，求曲線yf(x)在(1，f(1)處的切線方程；(2)若a2，正實數(shù)x1，x2滿足f(x1)f(x2)x1x20，證明：x1x2.解析：(1)當(dāng)a0時，f(x)ln xx，則f(1)1，切點為(1,1)，又f(x)1，切線斜率kf(1)2.故切線方程為y12(x1)，即2xy10.(2)證明：當(dāng)a2時，f(x)ln xx2x，x0.f(x1)f(x2)x1x20，即ln x1xx1ln x2xx2x1x20，從而(x1x2)2(x1x2)x1x2ln(x1x2)令tx1x2，(t)tln t，得(t)1.易知(t)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(1，)上單調(diào)遞增，所以(t)(1)1，所以(x1x2)2(x1x2)1.又x10，x20，所以x1x2.熱點二利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點問題直觀想象素養(yǎng)直觀想象數(shù)形結(jié)合求解零點問題在運用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問題時，要注意三點：第一要徹底明白一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征，對數(shù)學(xué)題目中的條件和結(jié)論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義；第二是恰當(dāng)設(shè)參、合理用參，建立關(guān)系，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做好數(shù)形轉(zhuǎn)化；第三是正確確定參數(shù)的取值范圍在解答導(dǎo)數(shù)問題中，主要存在兩類問題，一是“有圖考圖”，二是“無圖考圖”.例2(2019·日照三模)設(shè)函數(shù)f(x)x2a(ln x1)(a0)(1)證明：當(dāng)a時，f(x)0.(2)判斷函數(shù)f(x)有幾個不同的零點，并說明理由審題指導(dǎo)(1)要證明f(x)0，只需證明f(x)min0，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求出f(x)min，證明其在0a時恒大于等于0即可(2)要判斷函數(shù)f(x)的零點的個數(shù)，結(jié)合(1)需分a，0a，a，三種情況進(jìn)行分類討論解析(1)函數(shù)的定義域為(0，)，令f(x)2x0，則x ，所以當(dāng)x時，f(x)0，當(dāng)x時，f(x)0，所以f(x)的最小值為f，當(dāng)0a時，ln1ln10，所以f0，所以f(x)0成立(2)當(dāng)a時，由(1)得，f(x)x2(ln x1)的最小值為f0，即f(x)x2(ln x1)有唯一的零點x；當(dāng)0a時，由(1)得，f(x)x2a(ln x1)的最小值為f，且f0，即f(x)x2a(ln x1)不存在零點；當(dāng)a時，f(x)的最小值f0，又 ，f0，所以函數(shù)f(x)在上有唯一的零點，又當(dāng)a時，a ，f(a)a2a(ln a1)a(aln a1)，令g(a)aln a1，g(a)1，g(a)0，得a1，可知g(a)在上遞減，在(1，)上遞增，所以g(a)g(1)0，所以f(a)0，所以函數(shù)f(x)在上有唯一的零點，所以，當(dāng)a時，f(x)有2個不同的零點，綜上所述，當(dāng)a時，有唯一的零點；當(dāng)0a時，不存在零點；當(dāng)a時，有2個不同的零點1對于函數(shù)零點的個數(shù)的相關(guān)問題，利用導(dǎo)數(shù)和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想來求解，這類問題求解的通法是：(1)構(gòu)造函數(shù)，這是解決此類問題的關(guān)鍵點和難點，并求其定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)，得單調(diào)區(qū)間和極值點；(3)畫出函數(shù)草圖；(4)數(shù)形結(jié)合，挖掘隱含條件，確定函數(shù)圖象與x軸的交點情況，進(jìn)而求解2研究方程的根的情況，可以通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢等，并借助函數(shù)的大致圖象判斷方程的根的情況，這是導(dǎo)數(shù)這一工具在研究方程中的重要應(yīng)用(2020·佛山模擬)已知函數(shù)f(x)(x2ax)ln xx2(其中aR)，(1)若a0，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性(2)若a0，求證：函數(shù)f(x)有唯一的零點解析：(1)f(x)的定義域為(0，)，f(x)(2xa)ln x(x2ax)x(2xa)ln x2xa(2xa)(1ln x)，令f(x)0，即(2xa)(1ln x)0x1，x2，當(dāng)x1x2，即，a時，f(x)0，f(x)是(0，)上的增函數(shù)；當(dāng)x1x2，即，0a時，當(dāng)x時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x2x1，即，a時，當(dāng)x時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增；綜上所述，當(dāng)0a時，f(x)在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；當(dāng)a時，f(x)在(0，)單調(diào)遞增；當(dāng)a時，f(x)在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減(2)若a0，令f(x)0，即(2xa)(1ln x)0，得x，當(dāng)x時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增，故當(dāng)x時，f(x)取得極小值fln0，以下證明：在區(qū)間上，f(x)0，令x，t1，則x，f(x)f，f(x)0f0(t)0atett0atett，因為a0，t1，不等式atett顯然成立，故在區(qū)間上，f(x)0，又f(1)0，即f(1)f0，故當(dāng)a0時，函數(shù)f(x)有唯一的零點x0.限時60分鐘滿分60分解答題(本大題共5小題，每小題12分，共60分)1(2019·天津卷節(jié)選)設(shè)函數(shù)f(x)excos x，g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)x時，證明f(x)g(x)0.解析：(1)由已知，有f(x)ex(cos xsin x)因此，當(dāng)x(kZ)時，有sin xcos x，得f(x)0，則f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x(kZ)時，有sin xcos x，得f(x)0，則f(x)單調(diào)遞增所以，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(kZ)，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(kZ)(2)證明：記h(x)f(x)g(x)，依題意及(1)，有g(shù)(x)ex(cos xsin x)，從而g(x)2exsin x當(dāng)x時，g(x)0，故h(x)f(x)g(x)g(x)(1)g(x)0.因此，h(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減，進(jìn)而h(x)hf0.所以，當(dāng)x時，f(x)g(x)0.2(2019·大慶三模)設(shè)函數(shù)f(x)kln x，k0.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)證明：若f(x)存在零點，則f(x)在區(qū)間(1，)上僅有一個零點解析：(1)由f(x)kln x(k0)得f(x)x.由f(x)0解得x.f(x)與f(x)在區(qū)間(0，)上的變化情況如下：x(0，)(，)f(x)0f(x)所以，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0，)，單調(diào)遞增區(qū)間是(，)；f(x)在x處取得極小值f().(2)證明：由(1)知，f(x)在區(qū)間(0，)上的最小值為f().因為f(x)存在零點，所以0，從而ke.當(dāng)ke時，f(x)在區(qū)間(1，)上單調(diào)遞減，且f()0，所以x是f(x)在區(qū)間(1，上的唯一零點當(dāng)ke時，f(x)在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞減，且f(1)0，f()0，所以f(x)在區(qū)間(1，上僅有一個零點綜上可知，若f(x)存在零點，則f(x)在區(qū)間(1，上僅有一個零點3(2019·全國卷)已知函數(shù)f(x)2sin xxcos xx，f(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù)(1)證明：f(x)在區(qū)間(0，)存在唯一零點；(2)若x0，時，f(x)ax，求a的取值范圍解：(1)設(shè)g(x)f(x)，則g(x)cos xxsin x1，g(x)xcos x.當(dāng)x時，g(x)0；當(dāng)x時，g(x)0，所以g(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減又g(0)0，g0，g()2，故g(x)在(0，)存在唯一零點，所以f(x)在區(qū)間(0，)存在唯一零點(2)由題設(shè)知f()a，f()0，可得a0，由(1)知，f(x)在(0，)只有一個零點，設(shè)為x0，且當(dāng)x(0，x0)時，f(x)0；當(dāng)x(x0，)時，f(x)0，所以f(x)在(0，x0)上單調(diào)遞增，在(x0，)上單調(diào)遞減又f(0)0，f()0，所以當(dāng)x0，時，f(x)0.又當(dāng)a0，x0，時，ax0，故f(x)ax.因此，a的取值范圍是(，04(2019·成都診斷)已知函數(shù)f(x)(x22axa2)·ln x，aR.(1)當(dāng)a0時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)a1時，令F(x)xln x，證明：F(x)e2，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)；(3)若函數(shù)f(x)不存在極值點，求實數(shù)a的取值范圍解析：(1)當(dāng)a0時，f(x)x2ln x(x0)，此時f(x)2xln xxx(2ln x1)令f(x)0，解得xe.函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(e，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0，e)(2)證明：F(x)xln xxln xx.由F(x)2ln x，得F(x)在(0，e2)上單調(diào)遞減，在(e2，)上單調(diào)遞增，F(xiàn)(x)F(e2)e2.(3)f(x)2(xa)ln x·(2xln xxa)令g(x)2xln xxa，則g(x)32ln x，函數(shù)g(x)在(0，e)上單調(diào)遞減，在(e，)上單調(diào)遞增，g(x)g(e)2ea.當(dāng)a0時，函數(shù)f(x)無極值，2ea0，解得a2e.當(dāng)a0時，g(x)min2ea0，即函數(shù)g(x)在(0，)上存在零點，記為x0.由函數(shù)f(x)無極值點，易知xa為方程f(x)0的重根，2aln aaa0，即2aln a0，a1.當(dāng)0a1時，x01且x0a，函數(shù)f(x)的極值點為a和x0；當(dāng)a1時，x01且x0a，函數(shù)f(x)的極值點為a和x0；當(dāng)a1時，x01，此時函數(shù)f(x)無極值綜上，a2e或a1.5(2019·深圳三模)已知函數(shù)f(x)xln x.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：對任意的t0，存在唯一的m使tf(m)；(3)設(shè)(2)中所確定的m關(guān)于t的函數(shù)為mg(t)，證明：當(dāng)te時，有1.解析：(1)f(x)xln x，f(x)ln x1(x0)，當(dāng)x時，f(x)0，此時f(x)在上單調(diào)遞減，當(dāng)x時，f(x)0，f(x)在上單調(diào)遞增(2)證明：當(dāng)0x1時，f(x)0，又t0，令h(x)f(x)t，x1，)，由(1)知h(x)在區(qū)間1，)上為增函數(shù)，h(1)t0，h(et)t(et1)0，存在唯一的m，使tf(m)成立(3)證明：mg(t)且由(2)知tf(m)，t0，當(dāng)te時，若mg(t)e，則由f(m)的單調(diào)性有tf(m)f(e)e，矛盾，me，又，其中uln m，u1，要使1成立，只需0ln uu，令F(u)ln uu，u1，F(xiàn)(u)，當(dāng)1u時F(u)0，F(xiàn)(u)單調(diào)遞增，當(dāng)u時，F(xiàn)(u)0，F(xiàn)(u)單調(diào)遞減對u1，F(xiàn)(u)F0，即ln uu成立綜上，當(dāng)te時，1成立限時60分鐘滿分60分解答題(本大題共5小題，每小題12分，共60分)1(2019·全國卷)已知函數(shù)f(x)2sin xxcos xx，f(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù)(1)證明：f(x)在區(qū)間(0，)存在唯一零點；(2)若x0，時，f(x)ax，求a的取值范圍解：(1)設(shè)g(x)f(x)，則g(x)cos xxsin x1，g(x)xcos x.當(dāng)x時，g(x)0；當(dāng)x時，g(x)0，所以g(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減又g(0)0，g0，g()2，故g(x)在(0，)存在唯一零點，所以f(x)在區(qū)間(0，)存在唯一零點(2)由題設(shè)知f()a，f()0，可得a0，由(1)知，f(x)在(0，)只有一個零點，設(shè)為x0，且當(dāng)x(0，x0)時，f(x)0；當(dāng)x(x0，)時，f(x)0，所以f(x)在(0，x0)上單調(diào)遞增，在(x0，)上單調(diào)遞減又f(0)0，f()0，所以當(dāng)x0，時，f(x)0.又當(dāng)a0，x0，時，ax0，故f(x)ax.因此，a的取值范圍是(，02(2020·成都診斷)已知函數(shù)f(x)(x22axa2)·ln x，aR.(1)當(dāng)a0時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)a1時，令F(x)xln x，證明：F(x)e2，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)；(3)若函數(shù)f(x)不存在極值點，求實數(shù)a的取值范圍解析：(1)當(dāng)a0時，f(x)x2ln x(x0)，此時f(x)2xln xxx(2ln x1)令f(x)0，解得xe.函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(e，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0，e)(2)證明：F(x)xln xxln xx.由F(x)2ln x，得F(x)在(0，e2)上單調(diào)遞減，在(e2，)上單調(diào)遞增，F(xiàn)(x)F(e2)e2.(3)f(x)2(xa)ln x·(2xln xxa)令g(x)2xln xxa，則g(x)32ln x，函數(shù)g(x)在(0，e)上單調(diào)遞減，在(e，)上單調(diào)遞增，g(x)g(e)2ea.當(dāng)a0時，函數(shù)f(x)無極值，2ea0，解得a2e.當(dāng)a0時，g(x)min2ea0，即函數(shù)g(x)在(0，)上存在零點，記為x0.由函數(shù)f(x)無極值點，易知xa為方程f(x)0的重根，2aln aaa0，即2aln a0，a1.當(dāng)0a1時，x01且x0a，函數(shù)f(x)的極值點為a和x0；當(dāng)a1時，x01且x0a，函數(shù)f(x)的極值點為a和x0；當(dāng)a1時，x01，此時函數(shù)f(x)無極值綜上，a2e或a1.3(2019·深圳三模)已知函數(shù)f(x)xln x.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：對任意的t0，存在唯一的m使tf(m)；(3)設(shè)(2)中所確定的m關(guān)于t的函數(shù)為mg(t)，證明：當(dāng)te時，有1.解析：(1)f(x)xln x，f(x)ln x1(x0)，當(dāng)x時，f(x)0，此時f(x)在上單調(diào)遞減，當(dāng)x時，f(x)0，f(x)在上單調(diào)遞增(2)證明：當(dāng)0x1時，f(x)0，又t0，令h(x)f(x)t，x1，)，由(1)知h(x)在區(qū)間1，)上為增函數(shù)，h(1)t0，h(et)t(et1)0，存在唯一的m，使tf(m)成立(3)證明：mg(t)且由(2)知tf(m)，t0，當(dāng)te時，若mg(t)e，則由f(m)的單調(diào)性有tf(m)f(e)e，矛盾，me，又，其中uln m，u1，要使1成立，只需0ln uu，令F(u)ln uu，u1，F(xiàn)(u)，當(dāng)1u時F(u)0，F(xiàn)(u)單調(diào)遞增，當(dāng)u時，F(xiàn)(u)0，F(xiàn)(u)單調(diào)遞減對u1，F(xiàn)(u)F0，即ln uu成立綜上，當(dāng)te時，1成立4(2019·廈門二調(diào))已知函數(shù)f(x)aln x，g(x)xf(x)(1)討論h(x)g(x)f(x)的單調(diào)性；(2)若h(x)的極值點為3，設(shè)方程f(x)mx0的兩個根為x1，x2，且ea，求證：.解析：(1)h(x)g(x)f(x)xaln x，其定義域為(0，)，h(x).在(0，)遞增；a10即a1時，x(0,1a)時，h(x)0，x(1a，)時，h(x)0，h(x)在(0,1a)遞減，在(1a，)遞增，綜上，a1時，h(x)在(0,1a)遞減，在(1a，)遞增，a1時，h(x)在(0，)遞增(2)證明：由(1)得x1a是函數(shù)h(x)的唯一極值點，故a2.2ln x1mx10,2ln x2mx20，2(ln x2ln x1)m(x1x2)，又f(x)2ln x，f(x)，mln.令te2，(t)ln t，則(t)0，(t)在e2，)上遞增，(t)(e2)11.故.5(2019·全國卷)已知函數(shù)f(x)ln x.(1)討論f(x)的單調(diào)性，并證明f(x)有且僅有兩個零點；(2)設(shè)x0是f(x)的一個零點，證明曲線yln x在點A(x0，ln x0)處的切線也是曲線yex的切線解：(1)f(x)的定義域為(0,1)(1，)因為f(x)0，所以f(x)在(0,1)，(1，)單調(diào)遞增因為f(e)10，f(e2)20，所以f(x)在(1，)有唯一零點x1，即f(x1)0.又01，fln x1f(x1)0，故f(x)在(0,1)有唯一零點.綜上，f(x)有且僅有兩個零點(2)因為，故點B在曲線yex上由題設(shè)知f(x0)0，即ln x0，故直線AB的斜率k.曲線yex在點B處切線的斜率是，曲線yln x在點A(x0，ln x0)處切線的斜率也是，所以曲線yln x在點A(x0，ln x0)處的切線也是曲線yex的切線高考解答題·審題與規(guī)范(一)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)類考題重在“拆分”思維流程函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題一般以函數(shù)為載體，以導(dǎo)數(shù)為工具，重點考查函數(shù)的一些性質(zhì)，如含參函數(shù)的單調(diào)性、極值或最值的探求與討論，復(fù)雜函數(shù)零點的討論，函數(shù)不等式中參數(shù)范圍的討論，恒成立和能成立問題的討論等，是近幾年高考試題的命題熱點對于這類綜合問題，一般是先求導(dǎo)，再變形、分離或分解出基本函數(shù)，再根據(jù)題意處理.真題案例審題指導(dǎo)審題方法(12分)(2019·全國卷)已知函數(shù)f(x)sin xln(1x)，f(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù)，證明：(1)f(x)在區(qū)間存在唯一極大值點；(2)f(x)有且僅有2個零點.(1)設(shè)g(x)f(x)，對g(x)求導(dǎo)可得g(x)在(1，)單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，得證(2)對x進(jìn)行討論，當(dāng)x(1,0時，利用函數(shù)單調(diào)性確定此區(qū)間上有唯一零點；當(dāng)x時，利用函數(shù)單調(diào)性，確定f(x)先增后減且f(0)0，f0，所以此區(qū)間上沒有零點；當(dāng)x時，利用函數(shù)單調(diào)性確定此區(qū)間上有唯一零點；當(dāng)x(，)時，f(x)0，所以此區(qū)間上沒有零點.審結(jié)論問題解決的最終目標(biāo)就是求出結(jié)論或說明已給結(jié)論正確或錯誤因而解決問題時的思維過程大多都是圍繞著結(jié)論這個目標(biāo)進(jìn)行定向思考的審視結(jié)論就是在結(jié)論的啟發(fā)下，探索已知條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系和轉(zhuǎn)化規(guī)律善于從結(jié)論中捕捉解題信息，善于對結(jié)論進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使之逐步靠近條件，從而發(fā)現(xiàn)和確定解題方向規(guī)范解答評分細(xì)則解析(1)設(shè)g(x)f(x)，則g(x)cos x，g(x)sin x.1分當(dāng)x時，g(x)單調(diào)遞減，而g(0)0，g0，可得g(x)在有唯一零點.2分設(shè)零點為.則當(dāng)x(1，)時，g(x)0；當(dāng)x時，g(x)0.3分所以g(x)在(1，)單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故g(x)在存在唯一極大值點，即f(x)在存在唯一極大值點.4分(2)f(x)的定義域為(1，)()當(dāng)x(1,0時，由(1)知，f(x)在(1,0)單調(diào)遞增，而f(0)0，所以當(dāng)x(1,0)時，f(x)0，故f(x)在(1,0)單調(diào)遞減又f(0)0，從而x0是f(x)在(1,0的唯一零點.6分()當(dāng)x時，由(1)知，f(x)在(0，)單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，而f(0)0，f0，所以存在，使得f()0，且當(dāng)x(0，)時，f(x)0；當(dāng)x時，f(x)0.故f(x)在(0，)單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.8分又f(0)0，f1ln0，所以當(dāng)x時，f(x)0.從而，f(x)在沒有零點.9分()當(dāng)x時，f(x)0，所以f(x)在單調(diào)遞減而f0，f()0，所以f(x)在有唯一零點.10分()當(dāng)x(，)時，ln(x1)1，所以f(x)0，從而f(x)在(，)沒有零點綜上，f(x)有且僅有2個零點.12分第(1)問踩點得分構(gòu)造函數(shù)g(x)f(x)并正確求導(dǎo)g(x)得1分判斷g(x)在上遞減，由零點存在定理判定g(x)在有唯一零點，得1分判斷g(x)在(1，)，上的符號，得1分得出g(x)f(x)在有唯一極大值點得1分第(2)問踩點得分判斷f(x)在(1,0)遞增，得1分，判斷f(x)在(1,0)遞減，又f(0)0，有唯一零點，得1分當(dāng)x時判斷f(x)的單調(diào)性，得1分；判斷f(x)存在零點，研究f(x)的單調(diào)性，得1分由f(0)0，f0，結(jié)合f(x)的單調(diào)性，得出f(x)在上無零點，得1分當(dāng)x時，研究f(x)的單調(diào)性，由零點存在定理得出結(jié)論，得1分當(dāng)x(，)時，f(x)0，從而f(x)在(，)上無零點得1分，根據(jù)分類討論，得出總結(jié)論，得1分.- 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