2022年高三數(shù)學(xué)摸底考試試題 文（含解析）新人教A版【試卷綜評】本試卷試題主要注重基本知識、基本能力、基本方法等當(dāng)面的考察，覆蓋面廣，注重數(shù)學(xué)思想方法的簡單應(yīng)用，試題有新意，符合課改和教改方向，能有效地測評學(xué)生，有利于學(xué)生自我評價，有利于指導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)，既重視雙基能力培養(yǎng)，側(cè)重學(xué)生自主探究能力，分析問題和解決問題的能力，突出應(yīng)用，同時對觀察與猜想、閱讀與思考等方面的考查。一.選擇題【題文】1.已知集合，則 A. B. C. D.【知識點】交集的運算.A1 【答案解析】C 解析：因為，所以，故選C.【思路點撥】先化簡集合N，再進行判斷即可.【題文】2.復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點在A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【知識點】復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義L4 【答案解析】D 解析：復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限故選：D【思路點撥】利用復(fù)數(shù)的代數(shù)運算將原式轉(zhuǎn)化，即可判斷它在復(fù)平面內(nèi)的位置【題文】3.某校數(shù)學(xué)教研組為了解學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情況，采用分層抽樣的方法從高一600人、高二780人、高三n人中，抽取35人進行問卷調(diào)查，已知高二被抽取的人數(shù)為13人，則n等于A、660 B、720 C、780 D、800【知識點】分層抽樣方法I1 【答案解析】B 解析：高一600人、高二780人、高三n人中，抽取35人進行問卷調(diào)查，已知高二被抽取的人數(shù)為13人，解得n=720，故選：B【思路點撥】根據(jù)分層抽樣的定義，建立條件關(guān)系即可得到結(jié)論【題文】4.設(shè)，則下列關(guān)系中正確的是A B C D【知識點】對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；比較大小.B7 【答案解析】A 解析：因為，同理可得：，又因為是定義域內(nèi)的增函數(shù)，且，所以，故選A?！舅悸伏c撥】先把b,c轉(zhuǎn)化成以2為底的對數(shù)，再結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷.【題文】5. 5.設(shè)是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若，則 A、75 B、90 C、105 D、120【知識點】等差中項的性質(zhì).D2 【答案解析】C 解析：因為，可得：，所以,解得：或（舍去，因為公差為正數(shù)），所以，則,故選C.【思路點撥】結(jié)合已知條件先得到，再聯(lián)立組成方程組解出，進而求出公差，最后求出結(jié)果即可.【題文】6. 4張卡片上分別寫有數(shù)字1，2，3，4，從這4張卡片中隨機抽取2張，則取出的2張卡片上的數(shù)學(xué)之和為偶數(shù)的概率是A. B. C. D.【知識點】古典概型.K2 【答案解析】B 解析：4張卡片上分別寫有數(shù)字1，2，3，4，從這4張卡片中隨機抽取2張，共有12,13,14,23,24,34計6種情況，而取出的2張卡片上的數(shù)學(xué)之和為偶數(shù)的有13,24計2種情況，根據(jù)古典概型的計算公式可得概率為，故選B.【思路點撥】先列舉4張卡片上分別寫有數(shù)字1，2，3，4，從這4張卡片中隨機抽取2張的所有情況，再列舉2張卡片上的數(shù)學(xué)之和為偶數(shù)的基本情況的種數(shù)，再求概率即可.【題文】7. 已知實數(shù)滿足，則目標函數(shù)的最小值為A-5 B-4 C-3 D-2【知識點】簡單線性規(guī)劃L4 【答案解析】C 解析：由約束條件作出可行域如圖，化目標函數(shù)z=x+y為直線方程的斜截式，得y=-x+z，由圖可知，當(dāng)直線y=-x+z過可行域內(nèi)的點B（-6，3）時，直線在y軸上的截距最小，即z最小目標函數(shù)z=x+y的最小值為-6+3=-3故選：C【思路點撥】由約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，由圖得到最優(yōu)解，求出最優(yōu)解的坐標，代入目標函數(shù)得答案【題文】8.閱讀程序框圖，運行相應(yīng)程序，則輸出的值為A3 B4 C5 D6【知識點】程序框圖. L1 【答案解析】B 解析：該程序框圖是循環(huán)結(jié)構(gòu)經(jīng)第一次循環(huán)得到i=1，a=2；經(jīng)第二次循環(huán)得到i=2，a=5；經(jīng)第三次循環(huán)得到i=3，a=16； 經(jīng)第四次循環(huán)得到i=4，a=65滿足判斷框的條件，執(zhí)行是，輸出4故選B【思路點撥】通過程序框圖的要求，寫出前四次循環(huán)的結(jié)果得到輸出的值【題文】9.如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1 cm，粗實線為某空間幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為 A. 2 cm3 B. 4cm3 C. 6cm3 D.8cm3知識點】由三視圖求面積、體積G2 【答案解析】B 解析：由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個以俯視圖為底面的四棱錐，其底面面積高h=2，故體積V= Sh= ×6×2=4cm3，故選：B【思路點撥】由三視圖可知，兩個這樣的幾何體以俯視圖為底面的四棱錐，求出底面面積和高，代入棱錐體積公式，可得答案【題文】10.函數(shù)在上的圖象大致為 A B C D【知識點】函數(shù)的圖像. B9 【答案解析】D 解析：定義域關(guān)于原點對稱，因為，所以函數(shù)為定義域內(nèi)的奇函數(shù)，故排除B,C,令,則，排除A，故選C.【思路點撥】先利用函數(shù)的奇偶性排除B,C，再利用函數(shù)的值排除A即可.【題文】11.已知點在球O的球面上,.球心O到平面的距離為1，則球O的表面積為 【知識點】球的體積和表面積G8 【答案解析】A 解析：由已知中AB=AC=2，BAC=90°，可得BC為平面ABC截球所得截面的直徑，即，r=，又球心到平面ABC的距離d=1，球的半徑球的表面積S=4R2=12，故選B【思路點撥】由已知中球面上有A、B、C三點，AB=AC=2，BAC=90°，我們可以求出平面ABC截球所得截面的直徑BC的長，進而求出截面圓的半徑r，根據(jù)已知中球心到平面ABC的距離，根據(jù)球的半徑，求出球的半徑，代入球的表面積公式，即可得到答案【題文】12. 拋物線的焦點為，是拋物線上的點，若三角形的外接圓與拋物線的準線相切，且該圓的面積為36，則的值為A2 B4 C6 D8【知識點】拋物線的簡單性質(zhì)H7 【答案解析】D 解析：OFM的外接圓與拋物線C的準線相切，OFM的外接圓的圓心到準線的距離等于圓的半徑圓面積為36，圓的半徑為6，又圓心在OF的垂直平分線上，p=8，故選：D【思路點撥】根據(jù)OFM的外接圓與拋物線C的準線相切，可得OFM的外接圓的圓心到準線的距離等于圓的半徑，由此可求p的值二填空題【題文】13. 函數(shù)的最小正周期為 【知識點】三角函數(shù)的周期.L4 【答案解析】 解析：原函數(shù)化簡為，由周期公式，故答案為.【思路點撥】先化簡，再計算周期即可.【題文】14.已知，且，則的最小值 【知識點】基本不等式.L4 【答案解析】 解析：由基本不等式可知：，故答案為.【思路點撥】直接利用基本不等式即可.【題文】15.在邊長為2的等邊三角形中，是的中點，為線段上一動點，則的取值范圍為 【知識點】平面向量數(shù)量積的運算F3 【答案解析】 解析：由題意可得和的夾角為60°，設(shè)|=x，x0，2，=（-）（-）=-+2=2×1-2xcos60°-xcos60°+x2=x2-x+2=(x)2+，故當(dāng)x=時，取得最小值為，當(dāng)x=2時，取得最大值為3，故答案為 ，3?！舅悸伏c撥】由題意可得和的夾角為60°，設(shè)|=x，x0，2，根據(jù)的向量的之間的關(guān)系得到的表達式，借助于二次函數(shù)求出最值，即得它的取值范圍【題文】16如果定義在R上的函數(shù)對任意兩個不等的實數(shù)都有，則稱函數(shù)為“函數(shù)”給出函數(shù)：， 。以上函數(shù)為“函數(shù)”的序號為 【知識點】抽象函數(shù)及其應(yīng)用B9 【答案解析】解析：對于任意給定的不等實數(shù)x1，x2，不等式恒成立，不等式等價為（x1-x2）f（x1）-f（x2）0恒成立，即函數(shù)f（x）是定義在R上的增函數(shù)函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減不滿足條件，y=3-2cosx+2sinx=3+2（sinx-cox）=3-2sin（x-）0，函數(shù)單調(diào)遞增，滿足條件f（x）=，當(dāng)x0時，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)x0時，函數(shù)單調(diào)遞減，不滿足條件，當(dāng)x0時，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)x0時，函數(shù)單調(diào)遞減，不滿足條件故答案為：【思路點撥】不等式等價為（x1-x2）f（x1）-f（x2）0，即滿足條件的函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論三解答題【題文】17. 已知遞增等比數(shù)列的前n項和為，且.（）求數(shù)列的通項公式；（）若數(shù)列滿足，求的前項和【知識點】等比數(shù)列的通項公式；數(shù)列求和.D3 D4 【答案解析】（1）（2）見解析解析：（1）設(shè)公比為q，由題意：q>1, ，則，2分則 解得： 或（舍去），4分5分（2）7分則10分【思路點撥】（1）利用等比數(shù)列的通項公式計算即可；（2）利用分組求和即可.【題文】18. 在三角形中，角、的對邊分別為、，且三角形的面積為. (1)求角的大小 (2)已知,求sinAsinC的值【知識點】三角形面積公式；正余弦定理.C8 【答案解析】（1）（2）解析：(1)在三角形ABC中,由已知可得0 -6分(2) 由正弦定理可得 -12分【思路點撥】（1）利用三角形的面積公式即可；（2）結(jié)合正余弦定理即可.【題文】19. 為了解少年兒童的肥胖是否與常喝碳酸飲料有關(guān),現(xiàn)對30名六年級學(xué)生進行了問卷調(diào)查得到如下列聯(lián)表:平均每天喝500ml以上為常喝，體重超過50kg為肥胖。常喝不常喝合計肥胖2不肥胖18合計30已知在全部30人中隨機抽取1人,抽到肥胖的學(xué)生的概率為。（1）請將上面的列聯(lián)表補充完整（2）是否有99.5的把握認為肥胖與常喝碳酸飲料有關(guān)？說明你的理由（3）現(xiàn)從常喝碳酸飲料且肥胖的學(xué)生中（2名女生），抽取2人參加電視節(jié)目，則正好抽到一男一女的概率是多少？ 參考數(shù)據(jù)：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(參考公式：，其中)【知識點】獨立性檢驗的應(yīng)用I4 【答案解析】（1）見解析（2）有99.5的把握認為肥胖與常喝碳酸飲料有關(guān)。（3）解析：（1）設(shè)常喝碳酸飲料肥胖的學(xué)生有x人，常喝不常喝合計肥胖628不胖41822合計102030- 3分 （2）由已知數(shù)據(jù)可求得： 因此有99.5的把握認為肥胖與常喝碳酸飲料有關(guān)。- 7分（3）設(shè)常喝碳酸飲料的肥胖者男生為A、B、C、D，女生為E、F，則任取兩人有 AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，共15種。其中一男一女有AE，AF，BE，BF，CE，CF， DE，DF。故抽出一男一女的概率是 -12分【思路點撥】（1）根據(jù)全部50人中隨機抽取1人看營養(yǎng)說明的學(xué)生的概率為，做出看營養(yǎng)說明的人數(shù)，這樣用總?cè)藬?shù)減去看營養(yǎng)說明的人數(shù)，剩下的是不看的，根據(jù)所給的另外兩個數(shù)字，填上所有數(shù)字（2）根據(jù)列聯(lián)表所給的數(shù)據(jù)，代入求觀測值的公式，把觀測值同臨界值進行比較，得到有99.5%的把握說看營養(yǎng)說明與性別有關(guān)（3）利用列舉法，求出基本事件的個數(shù)，即可求出正好抽到一男一女的概率【題文】20.如圖,直三棱柱中，平面，其垂足落在直線上為的中點（1）求證： 平面A1PB（2）若，AC=2 ，求三棱錐的體積【知識點】線面平行的判定；椎體的體積公式.G4 G7 【答案解析】（1）見解析（2）解析：（1）證明：三棱柱 為直三棱柱 連接與交于點E, E為中點 連接PE 為的中點 PE PE 平面A1PB -4分（2）在直三棱柱 中，AC=2 為的中點，平面，其垂足落在直線上, .在中， ，,在中， -12分【思路點撥】（1）連接AB1與A1B交于點E，則PEB1C，由此能證明B1C平面A1PB（2）由已知得ABBC，ADA1B由VPA1BC=VA1BCP利用等體積法計算出三棱錐的體積【題文】21. 已知橢圓C：的兩焦點與短軸的一個端點的連線構(gòu)成等腰直角三角形，直線與以橢圓C的右焦點為圓心，以為半徑的圓相切。（1）求橢圓的方程。（2）若過橢圓的右焦點作直線交橢圓于兩點，交y軸于點，且求證：為定值【知識點】直線與圓錐曲線的綜合問題H8 【答案解析】（1）（2）解析：（1）由題意：以橢圓C的右焦點為圓心，以為半徑的圓的方程為,圓心到直線的距離*橢圓的兩焦點與短軸的一個端點的連線構(gòu)成等腰直角三角形， b=c,代入*式得b=1 故所求橢圓方程為 4分 （2）由題意：直線的斜率存在，所以設(shè)直線方程為,則將直線方程代入橢圓方程得：6分設(shè)，則8分由即：， 10分=-412分【思路點撥】（1）由題意：以橢圓C的右焦點為圓心，以為半徑的圓的方程為,圓心到直線的距離，由此結(jié)合已知條件能求出橢圓方程（2）設(shè)直線L方程為y=k（x-1），代入橢圓方程得：，由此利用韋達定理結(jié)合已知條件能證明1+2為定值.【題文】22. 已知函數(shù)函數(shù)的圖象在點處的切線方程是y=2x+1,（1）求a,b的值。（2）問：m在什么范圍取值時，對于任意的，函數(shù)在區(qū)間上總存在極值？【知識點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程B12 【答案解析】（1）b=-1（2）解析：（1） 因為函數(shù)的圖象在點處的切線的斜率為2所以，所以，則 代入切線可得b=-1 - 6分（2） ， 因為任意的，函數(shù)在區(qū)間上總存在極值， 又， 所以只需- 10分解得 -12分【思路點撥】（1）函數(shù)f（x）的圖象在x=1處的切線方程為y=2x+1可知，f（1）=2，f（1）=3，可解a、b的值；（2）轉(zhuǎn)化成g（x）=0在（t，3）上有實數(shù)根，列出等價條件，求出m的取值范圍