2022年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷（理科） 含解析(I)一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1直線x+y3=0的傾斜角為（）A30°B60°C120°D150°23個班分別從5個風(fēng)景點處選擇一處游覽，不同的選法種數(shù)是（）A53B35CA53DC533對任意的實數(shù)m，直線y=mx+1與圓x2+y2=4的位置關(guān)系一定是（）A相切B相交且直線過圓心C相交且直線不過圓心D相離4已知橢圓方程為的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過左焦點F1的直線交橢圓于A，B兩點，則ABF2的周長為（）A12B9C6D45若曲線表示焦點在y軸上的雙曲線，則實數(shù)m的取值范圍為（）Am1Bm0CD6設(shè)橢圓的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在橢圓上，若=，則|=（）A2B3CD7在（x1）n（nN+）的二項展開式中，若只有第4項的二項式系數(shù)最大，則的二項展開式中的常數(shù)項為（）A960B160C560D9608已知棱長為1的正方體的俯視圖是一個面積為1的正方形，則該正方體的正視圖的面積不可能是（）A1BCD9P是雙曲線的右支上一點，M，N分別是圓x2+y2+10x+21=0和x2+y210x+24=0上的點，則|PM|PN|的最大值為（）A6B7C8D9104個男生4個女生站成一排，要求相鄰兩人性別不同且男生甲與女生乙相鄰，則這樣的站法有（）A576種B504種C288種D252種11已知點P（x，y）在橢圓上運動，設(shè)，則d的最小值為（）ABCD12已知直線l與坐標(biāo)軸不垂直且橫、縱截距相等，圓C：（x+1）2+（y2）2=r2，若直線l和圓C相切，且滿足條件的直線l恰好有三條，則圓的半徑r的取值集合為（）ABCD二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13拋物線y2=2x的焦點到準(zhǔn)線的距離為14已知，則x2+y2的最小值是15將編號1，2，3，4，5的小球放入編號1，2，3，4，5的盒子中，每個盒子放一個小球，則至多有兩個小球的編號與盒子的編號相同的放法共有種16已知雙曲線C的右焦點為F，過F的直線l與雙曲線C交于不同兩點A、B，且A、B兩點間的距離恰好等于焦距，若這樣的直線l有且僅有兩條，則雙曲線C的離心率的取值范圍為三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17ABC中，點A（1，2），B（1，3），C（3，3）（1）求AC邊上的高所在直線的方程；（2）求AB邊上的中線的長度18已知（2x2x+1）（12x）6=a0+a1x+a2x2+a8x8（1）求a2；（2）求（a2+a4+a6+a8）2（a1+a3+a5+a7）219已知過點P（1，2）的直線l和圓x2+y2=6交于A，B兩點（1）若點P恰好為線段AB的中點，求直線l的方程；（2）若，求直線l的方程20設(shè)P是圓x2+y2=25上的動點，點D是P在x軸上投影，M為線段PD上一點，且（1）當(dāng)P在圓上運動時，求點M的軌跡C的方程；（2）過點（3，0）且斜率為的直線交軌跡C于A，B兩點，若點F（3，0），ABF求的面積21已知直線l1：4x3y+6=0和直線，若拋物線C：y2=2px（p0）上的點到直線l1和直線l2的距離之和的最小值為2（1）求拋物線C的方程；（2）在拋物線C上恒有兩點關(guān)于直線y=kx+3對稱，求k的取值范圍22已知橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，動點P在橢圓上運動，|PF1|PF2|的最大值為25，且點P到F1的距離的最小值為1（1）求橢圓T的方程；（2）直線l與橢圓T有且僅有一個交點A，且l切圓M：x2+y2=R2（其中（3R5）于點B，求A、B兩點間的距離|AB|的最大值；（3）當(dāng)過點C（10，1）的動直線與橢圓T相交于兩不同點G、H時，在線段GH上取一點D，滿足，求證：點D在定直線上參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1直線x+y3=0的傾斜角為（）A30°B60°C120°D150°【考點】直線的傾斜角【分析】將直線方程化為斜截式，求出斜率再求傾斜角【解答】解：將已知直線化為y=，所以直線的斜率為，所以直線的傾斜角為150°，故選：D23個班分別從5個風(fēng)景點處選擇一處游覽，不同的選法種數(shù)是（）A53B35CA53DC53【考點】計數(shù)原理的應(yīng)用【分析】每班從5個風(fēng)景點中選擇一處游覽，每班都有5種選擇，根據(jù)乘法原理，即可得到結(jié)論【解答】解：共3個班，每班從5個風(fēng)景點中選擇一處游覽，每班都有5種選擇，不同的選法共有53，故選：A3對任意的實數(shù)m，直線y=mx+1與圓x2+y2=4的位置關(guān)系一定是（）A相切B相交且直線過圓心C相交且直線不過圓心D相離【考點】直線與圓的位置關(guān)系【分析】對任意的實數(shù)m，直線y=mx+1恒過點（0，1），且斜率存在，判斷（0，1）在圓x2+y2=4的關(guān)系，可得結(jié)論【解答】解：對任意的實數(shù)m，直線y=mx+1恒過點（0，1），且斜率存在（0，1）在圓x2+y2=4內(nèi)，圓心坐標(biāo)（0，0）不滿足y=mx+1，所以直線不經(jīng)過圓的圓心，對任意的實數(shù)m，直線y=mx+1與圓x2+y2=2的位置關(guān)系一定是相交但直線不過圓心故選：C4已知橢圓方程為的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過左焦點F1的直線交橢圓于A，B兩點，則ABF2的周長為（）A12B9C6D4【考點】橢圓的簡單性質(zhì)【分析】由橢圓方程為焦點在x軸上，a=3，根據(jù)橢圓的定義可知：橢圓的定義可知：|AF1|+|AF2|=2a=6，|BF1|+|BF2|=2a=6，則ABF2的周長 （|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）=4a=12【解答】解：橢圓方程為焦點在x軸上，a=3，b=2，c=，由橢圓的定義可知：|AF1|+|AF2|=2a=6，|BF1|+|BF2|=2a=6，則ABF2的周長 （|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）=2a+2a=4a=12，ABF2的周長12，故選A5若曲線表示焦點在y軸上的雙曲線，則實數(shù)m的取值范圍為（）Am1Bm0CD【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)【分析】將曲線化成焦點在y軸上雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，得，由此建立關(guān)于m的不等式組，解之可得m0【解答】解：曲線表示焦點在y軸上的雙曲線，將曲線化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得，由此可得1m0且m0，解得m0故選：B6設(shè)橢圓的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在橢圓上，若=，則|=（）A2B3CD【考點】橢圓的簡單性質(zhì)；平面向量數(shù)量積的運算【分析】設(shè)|PF1|=m、|PF2|=n，根據(jù)橢圓的定義得到m+n=4在F1PF2中利用余弦定理，得4=m2+n22mncosF1PF2，結(jié)合=算出m2+n2=9，兩式聯(lián)解得出mn=，即得|的值【解答】解：橢圓中，a=2，b=，可得c=1，焦距|F1F2|=2設(shè)|PF1|=m、|PF2|=n，根據(jù)橢圓的定義，可得m+n=2a=4，平方得m2+2mn+n2=16F1PF2中，根據(jù)余弦定理得：|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|22|PF1|PF2|cosF1PF2，即4=m2+n22mncosF1PF2，=，cosF1PF2=mncosF1PF2=，代入并整理，可得m2+n2=9，用減去，可得2mn=7，解得mn=，即|=故選：C7在（x1）n（nN+）的二項展開式中，若只有第4項的二項式系數(shù)最大，則的二項展開式中的常數(shù)項為（）A960B160C560D960【考點】二項式定理的應(yīng)用【分析】先求得n=6，再利用二項展開式的通項公式，求得的二項展開式中的常數(shù)項【解答】解：在（x1）n（nN+）的二項展開式中，若只有第4項的二項式系數(shù)最大，則n=6，則=的二項展開式的通項公式為Tr+1=26r（1）rx3r，令3r=0，求得r=3，可得展開式中的常數(shù)項為23（1）=160，故選：B8已知棱長為1的正方體的俯視圖是一個面積為1的正方形，則該正方體的正視圖的面積不可能是（）A1BCD【考點】簡單空間圖形的三視圖【分析】求出滿足條件的該正方體的正視圖的面積的范圍為即可得出【解答】解：水平放置的正方體，當(dāng)正視圖為正方形時，其面積最小為1；當(dāng)正視圖為對角面時，其面積最大為因此滿足棱長為1的正方體的俯視圖是一個面積為1的正方形，則該正方體的正視圖的面積的范圍為因此可知：A，B，D皆有可能，而1，故C不可能故選C9P是雙曲線的右支上一點，M，N分別是圓x2+y2+10x+21=0和x2+y210x+24=0上的點，則|PM|PN|的最大值為（）A6B7C8D9【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)【分析】由題設(shè)通過雙曲線的定義推出|PF1|PF2|=6，利用|MP|PF1|+|MF1|，|PN|PF2|NF2|，推出|PM|PN|PF1|+|MF1|PF2|NF2|，求出最大值【解答】解：雙曲線雙曲線，如圖：a=3，b=4，c=5，F(xiàn)1（5，0），F(xiàn)2（5，0），x2+y2+10x+21=0，x2+y210x+24=0，（x+5）2+y2=4和（x5）2+y2=1，|PF1|PF2|=2a=6，|MP|PF1|+|MF1|，|PN|PF2|NF2|，|PN|PF2|+|NF2|，所以，|PM|PN|PF1|+|MF1|PF2|+|NF2|=6+1+2=9故選D104個男生4個女生站成一排，要求相鄰兩人性別不同且男生甲與女生乙相鄰，則這樣的站法有（）A576種B504種C288種D252種【考點】排列、組合及簡單計數(shù)問題【分析】把男生甲與女生乙排在一起作為一個元素，剩余3個男生與3個女生，按照男生、女生不相鄰的插空排法共有不同的站法；再把男生甲與女生乙放入，符合條件的是種不同的站法【解答】解：4個男生4個女生站成一排，把男生甲與女生乙排在一起作為一個元素，剩余3個男生與3個女生，按照男生、女生不相鄰的插空排法，有=6×24=144種不同的站法；現(xiàn)在有7個位置把男生甲與女生乙放入，符合條件的是：=×7×144=504故選：B11已知點P（x，y）在橢圓上運動，設(shè)，則d的最小值為（）ABCD【考點】橢圓的簡單性質(zhì)【分析】由設(shè)P（2cos， sin），則設(shè)=cos=cos，當(dāng)sin=0，cos=1時，d的最小值【解答】解：橢圓焦點在x軸上，由點P（x，y）在橢圓上，設(shè)P（2cos， sin），則設(shè)=cos，=cos，當(dāng)sin=0，cos=1時，d的最小值為=1=21，d的最小值21，故選B12已知直線l與坐標(biāo)軸不垂直且橫、縱截距相等，圓C：（x+1）2+（y2）2=r2，若直線l和圓C相切，且滿足條件的直線l恰好有三條，則圓的半徑r的取值集合為（）ABCD【考點】直線與圓的位置關(guān)系【分析】當(dāng)r=1，2時，符合題意，排除B，A，C，即可得出結(jié)論【解答】解：由題意，r=1時，直線過原點，方程x=0，與x軸垂直，另外一條與圓C相切；斜率為1，與圓C相切，有兩條，符合題意，排除Br=2時，直線過原點，方程y=0，與y軸垂直，另外一條與圓C相切；斜率為1，與圓C相切，有兩條，符合題意，排除A，C故選D二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13拋物線y2=2x的焦點到準(zhǔn)線的距離為1【考點】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程【分析】利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得 p=1，由焦點到準(zhǔn)線的距離為p，從而得到結(jié)果【解答】解：拋物線y2=2x的焦點到準(zhǔn)線的距離為p，由標(biāo)準(zhǔn)方程可得p=1，故答案是：114已知，則x2+y2的最小值是5【考點】簡單線性規(guī)劃【分析】（1）畫可行域；（2）設(shè)目標(biāo)函數(shù) z=x2+y2z為以（0，0）為圓心的圓 半徑平方（也可以理解為可行域內(nèi)點到（0，0）點距離平方）；（3）利用目標(biāo)函數(shù)幾何意義求最值【解答】解：已知，如圖畫出可行域，得交點A（1，2），B（3，4），令z=x2+y2，z為以（0，0）為圓心的圓半徑平方（也可以理解為可行域內(nèi)點到（0，0）點距離平方），因此點A（1，2），使z最小代入得z=1+4=5則x2+y2的最小值是515將編號1，2，3，4，5的小球放入編號1，2，3，4，5的盒子中，每個盒子放一個小球，則至多有兩個小球的編號與盒子的編號相同的放法共有109種【考點】排列、組合及簡單計數(shù)問題【分析】利用間接法，由分步計數(shù)原理計算可得答案【解答】解：5個球全排列為A55=120種情況3個球的編號與盒子的相同，先選出3個小球，放到對應(yīng)序號的盒子里，有C53=10種情況，另外2個球，有1種不同的放法，故10種情況4個球的編號與盒子的相同，有1種不同的放法，故至多有兩個小球的編號與盒子的編號相同的放法共有120101=109種不同的放法，故答案為：10916已知雙曲線C的右焦點為F，過F的直線l與雙曲線C交于不同兩點A、B，且A、B兩點間的距離恰好等于焦距，若這樣的直線l有且僅有兩條，則雙曲線C的離心率的取值范圍為（1，）（2，+）【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)【分析】討論當(dāng)A，B均在右支上，可得c，當(dāng)A，B在左右兩支上，可得c2a，運用離心率公式，解不等式即可得到所求范圍【解答】解：當(dāng)A，B均在右支上，可得c，即有2b2ac，即2c2ac2a20，即為2e2e20，解得1e；當(dāng)A，B在左右兩支上，可得c2a，即有e2故答案為：（1，）（2，+）三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17ABC中，點A（1，2），B（1，3），C（3，3）（1）求AC邊上的高所在直線的方程；（2）求AB邊上的中線的長度【考點】待定系數(shù)法求直線方程【分析】（1）由斜率公式易知kAC，由垂直關(guān)系可得AC邊上的高所在的直線方程的斜率k，代入點斜式易得；（2）求得線段AB的中點坐標(biāo)為M（0，），然后利用兩點間的距離公式進行解答【解答】解：（1）由斜率公式易知kAC=，AC邊上的高所在的直線的斜率k=，又AC邊上的高所在的直線過點B（1，3），代入點斜式易得y3=（x+1），整理，得：2x5y+17=0（2）由A（1，2），B（1，3）得到AB邊的中點坐標(biāo)M是（0，），故中線長|CM|=18已知（2x2x+1）（12x）6=a0+a1x+a2x2+a8x8（1）求a2；（2）求（a2+a4+a6+a8）2（a1+a3+a5+a7）2【考點】根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化及其化簡運算【分析】（1）利用展開式的通項公式，求得a2的值（2）令x=0，可得a0 =1，再分別令x=1、x=1，可得兩個式子，化簡這2個式子，可得要求式子的值【解答】解：（1）分析項的構(gòu)成，知：（2）原式=（a1+a2+a3+a8）（a1+a2a3+a4a5+a6a7+a8），令x=0，得a0=1，令x=1，得a0+a1+a2+a3+a8=2a1+a2+a3+a8=1，令x=1，得a0a1+a2a3+a4a5+a6a7+a8=2916a1+a2a3+a4a5+a6a7+a8=2915從而原式=291519已知過點P（1，2）的直線l和圓x2+y2=6交于A，B兩點（1）若點P恰好為線段AB的中點，求直線l的方程；（2）若，求直線l的方程【考點】直線和圓的方程的應(yīng)用【分析】（1）圓心為原點O，由已知OPl，求出l的斜率，可得直線l的方程；（2）分類討論，利用垂徑定理，求出直線的斜率，即可求出直線l的方程【解答】解：（1）易知圓心為原點O，由已知OPl，所以kOPkl=1，而kOP=2，解出，由點斜式可得直線的方程為：x+2y5=0；（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時，剛好滿足，此時直線方程為x=1；若直線斜率存在，設(shè)為y2=k（x1），整理為kxy+（2k）=0由垂徑定理，可得圓心到直線的距離，所以，解出，此時直線的方程為3x4y+5=0綜上可知滿足條件的直線方程為：x=1或者3x4y+5=020設(shè)P是圓x2+y2=25上的動點，點D是P在x軸上投影，M為線段PD上一點，且（1）當(dāng)P在圓上運動時，求點M的軌跡C的方程；（2）過點（3，0）且斜率為的直線交軌跡C于A，B兩點，若點F（3，0），ABF求的面積【考點】直線與圓的位置關(guān)系【分析】（1）由題意可知：M的坐標(biāo)為（x，y），P的坐標(biāo)為（x'，y'），則，解得：，代入x'2+y'2=25，整理得點M的軌跡C的方程；（2）設(shè)直線方程，代入橢圓方程，由韋達定理可知：x1+x2=3，x1x2=8，利用弦長公式求出丨AB丨，求出點F到AB的距離，即可求ABF的面積【解答】解：（1）設(shè)M的坐標(biāo)為（x，y），P的坐標(biāo)為（x'，y'），由，解得：，P在圓上，x'2+y'2=25，即x2+（y）2=25，整理得（2）直線，代入C的方程，整理得：x23x8=0由韋達定理可知：x1+x2=3，x1x2=8，線段AB的長度為，點F到AB的距離為，故21已知直線l1：4x3y+6=0和直線，若拋物線C：y2=2px（p0）上的點到直線l1和直線l2的距離之和的最小值為2（1）求拋物線C的方程；（2）在拋物線C上恒有兩點關(guān)于直線y=kx+3對稱，求k的取值范圍【考點】拋物線的簡單性質(zhì)【分析】（1）由拋物線的定義知：P到直線的距離等等于P到焦點的距離，則P距離之和的最小值為點F到直線l1的距離，利用點到直線的距離公式，即可求得p的值，求得拋物線C的方程；（2）可設(shè)直線AB：x=ky+m代入拋物線方程，由韋達定理及中點坐標(biāo)公式可知：又AB與拋物線有兩個不同的交點，故=16k2+16m0代入即可求得k的取值范圍【解答】解：（1）拋物線C：y2=2px（p0）焦點在x軸上，焦點F（，0），由拋物線的定義知：P到直線的距離等等于P到焦點的距離，P到兩直線的距離之和的最小值為點F到直線l1的距離，由點到直線的距離公式可知： =2，解得：p=2，拋物線的方程為y2=4x（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中點為M（x0，y0），關(guān)于直線y=kx+3對稱，故可設(shè)直線AB：x=ky+m，整理得：y2+4ky4m=0由韋達定理可知：y1+y2=4m，則，點M（x0，y0）在y=kx+3上，則2k=k（2k2+m）+3即又AB與拋物線有兩個不同的交點，故=16k2+16m0將m代入上式得：，即k（k+1）（k2k+3）0，k2k+30恒成立，解得：1k0，由故k的取值范圍為（1，0）22已知橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，動點P在橢圓上運動，|PF1|PF2|的最大值為25，且點P到F1的距離的最小值為1（1）求橢圓T的方程；（2）直線l與橢圓T有且僅有一個交點A，且l切圓M：x2+y2=R2（其中（3R5）于點B，求A、B兩點間的距離|AB|的最大值；（3）當(dāng)過點C（10，1）的動直線與橢圓T相交于兩不同點G、H時，在線段GH上取一點D，滿足，求證：點D在定直線上【考點】橢圓的簡單性質(zhì)【分析】（1）由于，則|PF1|PF2|的最大值為a2，a2=25，ac=1，c=4，即可求得b的值，求得橢圓T的方程；（2）設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，代入橢圓方程，由直線與圓相切代入即可求得A，B坐標(biāo)，由兩點之間的距離公式，利用韋達定理即可求得A、B兩點間的距離|AB|的最大值；（3）設(shè)G、H、D的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2），（x，y），由題設(shè)知，于是且從而又G、H在橢圓上，則，化簡整理得點D在定直線18x+5y45=0上【解答】解：（1）由于，所以|PF1|PF2|的最大值為a2，當(dāng)|PF1|=|PF2|時取等號，由已知可得a2=25，即a=5，又ac=1，c=4，所以b2=a2c2=9，故橢圓的方程為（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）分別為直線l與橢圓和圓的切點，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m因為A既在橢圓上，又在直線AB上，從而有，消y得（25k2+9）x2+50kmx+25（m29）=0由于直線與橢圓相切，故，=（50km）24（25k2+9）×25（m29）=0，從而可得m2=9+25k2，且由，消y得（k2+1）x2+2kmx+m2R2=0由于直線與橢圓相切，得m2=R2（1+k2），且由得，故，=，即|AB|2當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以|AB|的最大值為2（3）證明：設(shè)G、H、D的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2），（x，y），由題設(shè)知，均不為零，記，則0且1，又C、G、D、H四點共線，則于是且從而又G、H在橢圓上，則，消去x1，y1，x2，y2得90x+25y=9×25，即點D在定直線18x+5y45=0上xx1月14日