2022年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第八章8.2 點(diǎn)與直線、直線與直線的位置關(guān)系教案 理 北師大版考綱要求1能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直2能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo)3掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩條平行直線間的距離知識(shí)梳理1兩直線的位置關(guān)系平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系包括平行、相交、重合三種情況(1)兩直線平行對于直線l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，l1l2_.對于直線l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，l1l2_.(2)兩直線垂直對于直線l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，l1l2k1·k2_.對于直線l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，l1l2_.2兩直線的交點(diǎn)設(shè)直線l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，將這兩條直線的方程聯(lián)立，得方程組若方程組有唯一解，則l1與l2_，此解就是兩直線交點(diǎn)的坐標(biāo)；若方程組無解，則l1與l2_；若方程組有無數(shù)個(gè)解，則l1與l2_.3有關(guān)距離(1)兩點(diǎn)間的距離平面上兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離|P1P2|_.(2)點(diǎn)到直線的距離平面上一點(diǎn)P(x0，y0)到一條直線l：AxByC0的距離d_.(3)兩平行線間的距離已知l1，l2是平行線，求l1，l2間距離的方法：求一條直線上一點(diǎn)到另一條直線的距離；設(shè)l1：AxByC10，l2：AxByC20，則l1與l2之間的距離d_.4對稱問題(1)中點(diǎn)坐標(biāo)公式設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為_(2)中心對稱若點(diǎn)M(x1，y1)及N(x，y)關(guān)于P(a，b)對稱，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得_(3)軸對稱若兩點(diǎn)P1(x1，y1)與P2(x2，y2)關(guān)于直線l：AxByC0對稱，則線段P1P2的中點(diǎn)在對稱軸l上，而且連接P1P2的直線垂直于對稱軸l.由方程組可得到點(diǎn)P1關(guān)于l對稱的點(diǎn)P2的坐標(biāo)(x2，y2)(其中A0，x1x2)基礎(chǔ)自測1過點(diǎn)(1,0)且與直線x2y20平行的直線方程是()Ax2y10 Bx2y10C2xy20 Dx2y102點(diǎn)P在直線xy40上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|OP|的最小值為()A B2 C D23已知兩條直線yax2和y(a2)x1互相垂直，則a()A2 B1 C0 D14若三條直線2x3y80，xy10和xby0相交于一點(diǎn)，則b()A1 B C2 D5求與直線xy20平行，且它們之間的距離為3的直線方程思維拓展1研究兩直線的位置關(guān)系時(shí)，若直線方程的系數(shù)含有變量應(yīng)注意什么？提示：在利用斜率、截距研究兩直線的位置關(guān)系時(shí)，若直線方程中y的系數(shù)含有字母參數(shù)，則斜率可能有不存在的情況此時(shí)，應(yīng)對其按y的系數(shù)為零(斜率不存在)和不為零(斜率存在)兩種情況進(jìn)行討論利用斜率相等研究兩條直線平行時(shí)，要注意重合的情形2運(yùn)用距離公式時(shí)應(yīng)注意什么？提示：點(diǎn)到直線的斜率公式適用于任何形式的直線方程，在運(yùn)用該公式時(shí)，應(yīng)首先把直線方程化為一般式；在運(yùn)用兩平行線間的距離公式時(shí)，要注意先把兩直線方程中x，y的系數(shù)化成相等的形式一、兩直線的平行【例1】直線l1：2x(m1)y40與直線l2：mx3y20平行，則m的值為()A2 B3C2或3 D2或3方法提煉1判定兩直線平行的方法：(1)判定兩直線的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若k1k2，且b1b2，則兩直線平行；若斜率都不存在，還要判定是否重合(2)直接用以下方法，可避免對斜率是否存在進(jìn)行討論：設(shè)直線l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，l1l2A1B2A2B10且B1C2B2C10.2與直線AxByC0平行的直線方程可設(shè)為AxBym0(mC)，這也是經(jīng)常采用的解題技巧請做針對訓(xùn)練1二、兩直線的垂直【例2】求經(jīng)過點(diǎn)A(2,1)，且與直線2xy100垂直的直線l的方程方法提煉1判定兩直線垂直的方法：(1)判定兩直線的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若k1·k21，則兩直線垂直；若一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0，兩直線也垂直(2)直接用以下方法，可避免對斜率是否存在進(jìn)行討論：設(shè)直線l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，l1l2A1A2B1B20.2與AxByC0垂直的直線方程可設(shè)為BxAym0，這也是經(jīng)常采用的解題技巧請做針對訓(xùn)練2三、距離公式的應(yīng)用【例31】已知直線l過兩直線3x4y50,2x3y80的交點(diǎn)P，且與A(2,3)，B(4,5)兩點(diǎn)距離相等，求直線l的方程【例32】已知直線l過點(diǎn)P(3,1)，且被兩平行線l1：xy10，l2：xy60截得的線段長為5，求直線l的方程方法提煉運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式時(shí)，需把直線方程化為一般式；運(yùn)用兩平行線的距離公式時(shí)，需先把兩平行線方程中x，y的系數(shù)化為相同的形式請做針對訓(xùn)練3四、對稱問題【例41】已知直線l1：2x3y10，點(diǎn)A(1，2)求：(1)點(diǎn)A關(guān)于直線l1的對稱點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)直線m：3x2y60關(guān)于直線l1的對稱直線l2的方程；(3)直線l1關(guān)于點(diǎn)A對稱的直線l3的方程【例42】已知直線l1：2xy40，求l1關(guān)于直線l：3x4y10對稱的直線l2的方程方法提煉1在對稱問題中，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱是最基本也是最重要的對稱處理這種問題關(guān)鍵是抓住垂直與平分兩個(gè)幾何條件，轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系列方程求解；線關(guān)于線的對稱問題，可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對稱問題來解決；直線關(guān)于點(diǎn)的對稱可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱來處理，結(jié)合“代入法”求軌跡方程的思想方法解題也是這類問題的一個(gè)通法2求與距離有關(guān)的最值問題，一般是通過作圖，轉(zhuǎn)化為對稱問題加以解決請做針對訓(xùn)練4考情分析通過分析近幾年的高考試題可以看出，對于本節(jié)內(nèi)容的考查，主要側(cè)重以下幾個(gè)方面：(1)判斷兩直線平行與垂直的位置關(guān)系，或以平行、垂直的位置關(guān)系為載體求相關(guān)參數(shù)的值；(2)對距離公式的考查，主要是把它作為工具來使用；(3)對稱問題側(cè)重點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線的對稱思想方法主要側(cè)重分類討論、數(shù)形結(jié)合、方程思想等考查的形式以選擇題、填空題為主針對訓(xùn)練1與直線3x4y10平行且過點(diǎn)(1,2)的直線l的方程為_2(xx浙江高考，文12)若直線x2y50與直線2xmy60互相垂直，則實(shí)數(shù)m_.3若P(a，b)在直線xy10上，求的最小值4(1)在直線l：3xy10上求一點(diǎn)P，使得P到A(4,1)和B(0,4)的距離之差最大；(2)在直線l：3xy10上求一點(diǎn)Q，使得Q到A(4,1)和C(3,4)的距離之和最小參考答案基礎(chǔ)梳理自測知識(shí)梳理1(1)k1k2，且b1b2A1B2A2B10，且B1C2B2C10(2)1A1A2B1B202相交平行重合3(1)(2)(3)4(1)(2)基礎(chǔ)自測1A解析：所求直線與直線x2y20平行，所求直線的斜率為，方程為y0(x1)，即x2y10.2B解析：根據(jù)題意知，|OP|的最小值為原點(diǎn)O到直線xy40的距離根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，得2.3D解析：兩直線垂直，a(a2)1.a1.4B解析：解方程組得三條直線交于點(diǎn)(1，2)12b0，即b.5解：設(shè)與直線xy20平行的直線方程為xym0，根據(jù)平行線間的距離公式，得3|2m|6m4或m8，即所求的直線方程為xy40，或xy80.考點(diǎn)探究突破【例1】C解析：解法一：當(dāng)m1時(shí)，l1：2x40，l2：x3y20顯然l1與l2不平行；當(dāng)m1時(shí)，因?yàn)閘1l2，所以應(yīng)滿足且，解得m2或m3.解法二：若l1l2，需2×3m(m1)0，解得m3或m2.當(dāng)m3或2時(shí)，2(m1)120.m3或2為所求【例2】解：解法一：直線2xy100的斜率不為0，直線l的斜率存在，設(shè)直線l的斜率為k.直線l與直線2xy100垂直，k·(2)1.k.又l經(jīng)過點(diǎn)A(2,1)，所求直線l的方程為y1(x2)，即x2y0.解法二：設(shè)與直線2xy100垂直的直線方程為x2ym0.直線l經(jīng)過點(diǎn)A(2,1)，22×1m0.m0.所求直線l的方程為x2y0.【例31】解：解方程組得故交點(diǎn)P(1,2)(1)當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為y2k(x1)，即kxyk20.由題意得，解得k，直線l方程為y2(x1)即x3y50.(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，則l的方程為x1，此時(shí)也符合題目要求綜合(1)(2)知，所求直線方程為x3y50或x1.【例32】解法一：若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為x3，此時(shí)與l1，l2的交點(diǎn)分別是A(3，4)，B(3，9)，截得的線段長|AB|49|5，符合題意當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，則設(shè)直線l的方程為yk(x3)1，分別與直線l1，l2的方程聯(lián)立，由解得A.由解得B.由兩點(diǎn)間的距離公式，得2225，解得k0，即所求直線方程為y1.綜上可知，直線l的方程為x3，或y1.解法二：因?yàn)閮善叫芯€間的距離d，如圖，直線l被兩平行線截得的線段長為5，設(shè)直線l與兩平行線的夾角為，則，所以=45°.因?yàn)閮善叫芯€的斜率是，故所求直線的斜率不存在，或?yàn)?.又因?yàn)橹本€l過點(diǎn)P(3,1)，所以直線l的方程為x=3，或y=1.【例41】解：(1)設(shè)A(x，y)，由已知得解得故A.(2)在直線m上取一點(diǎn)，如M(2,0)，則M關(guān)于l1的對稱點(diǎn)必在l2上設(shè)對稱點(diǎn)為M(a，b)，則由得M.設(shè)m與l1的交點(diǎn)為N，由得N(4,3)又l2過N點(diǎn)，由兩點(diǎn)式得直線l2的方程為9x46y1020.(3)解法一：在l1：2x3y10上任取兩點(diǎn)，如M(1,1)，N(4,3)則M，N關(guān)于點(diǎn)A的對稱點(diǎn)M，N均在直線l3上易知M(3，5)，N(6，7)，由兩點(diǎn)式可得l3的方程為2x3y90.解法二：l1l3，可設(shè)l3的方程為2x3yc0(c1)點(diǎn)A到兩直線的距離相等，由點(diǎn)到直線的距離公式得，得c9，l3的方程為2x3y90.解法三：設(shè)P(x，y)是l3上任一點(diǎn)，則P(x，y)關(guān)于點(diǎn)A(1，2)的對稱點(diǎn)為P(2x，4y)P在直線l1上，2(2x)3(4y)10.整理得2x3y90.【例42】解：方法一：由得l1與l的交點(diǎn)為P(3，2)，顯然P也在l2上設(shè)l2的斜率為k，又l1的斜率為2，l的斜率為，則，解得k.故l2的直線方程為y2(x3)，即2x11y160.方法二：在直線l1上取一點(diǎn)A(2,0)，又設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為B(x0，y0)，則解得B.故由兩點(diǎn)式可求得直線l2的方程為2x11y160.演練鞏固提升針對訓(xùn)練13x4y110解析：解法一：設(shè)直線l的斜率為k.l與直線3x4y10平行，k.又l經(jīng)過點(diǎn)(1,2)，可得所求直線方程為y2(x1)，即3x4y110.解法二：設(shè)與直線3x4y10平行的直線l的方程為3x4ym0.l經(jīng)過點(diǎn)(1,2)，3×14×2m0，解得m11.所求直線方程為3x4y110.21解析：直線x2y50與2xmy60互相垂直，1×2(2)·m0，即m1.3解：，可看成是點(diǎn)P(a，b)與點(diǎn)(1,1)之間的距離又點(diǎn)P是直線xy10上任一點(diǎn)，即是點(diǎn)(1,1)與直線xy10上任一點(diǎn)之間的距離因此，點(diǎn)(1,1)到直線xy10的距離即是的最小值由于點(diǎn)(1,1)到直線xy10的距離為d，故的最小值為.4解：(1)如圖甲所示，設(shè)點(diǎn)B關(guān)于l的對稱點(diǎn)為B，連接AB并延長交l于P，此時(shí)的P滿足|PA|PB|的值最大圖甲設(shè)B的坐標(biāo)為(a，b)，則kBB·kl1，即·31.a3b120.又由于線段BB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，且在直線l上，3×10，即3ab60.聯(lián)立，解得a3，b3，B(3,3)于是AB的方程為，即2xy90.解方程組得即l與AB的交點(diǎn)坐標(biāo)為P(2,5)(2)如圖乙所示，設(shè)C關(guān)于l的對稱點(diǎn)為C，連接AC交l于點(diǎn)Q，此時(shí)的Q滿足|QA|QC|的值最小圖乙設(shè)C的坐標(biāo)為(x，y)，解得C.由兩點(diǎn)式得直線AC的方程為，即19x17y930.解方程組得所求點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.