2022年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第十一章11.4 直接證明與間接證明教案 理 北師大版考綱要求1了解直接證明的兩種基本方法分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點2了解間接證明的一種基本方法反證法；了解反證法的思考過程、特點 知識梳理1直接證明中最基本的兩種證明方法是_和_2綜合法是利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立綜合法簡稱為：_.3分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止分析法簡稱為：_.4反證法：假設(shè)原命題_，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明_，從而證明了_，這樣的證明方法叫反證法應(yīng)用反證法證明數(shù)學(xué)命題，一般有下面幾個步驟：第一步，分清命題“pq”的_；第二步，作出與命題結(jié)論q相矛盾的假設(shè)_；第三步，由p與q出發(fā)，應(yīng)用正確的推理方法，推出矛盾結(jié)果；第四步，斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因在于開始所作的假設(shè)q不真，于是原結(jié)論q成立，從而間接地證明了命題pq為真基礎(chǔ)自測1分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使結(jié)論成立的()A充分條件 B必要條件 C充要條件 D等價條件2用反證法證明“如果ab，那么”假設(shè)內(nèi)容應(yīng)是()A BC且 D或3設(shè)ta2b，Sab21，則下列關(guān)于t和S的大小關(guān)系中正確的是()AtS BtS CtS DtS4因為某種產(chǎn)品的兩種原料相繼提價，所以生產(chǎn)者決定對產(chǎn)品分兩次提價，現(xiàn)在有三種提價方案：方案甲：第一次提價p%，第二次提價q%；方案乙：第一次提價q%，第二次提價p%；方案丙：第一次提價%，第二次提價%，其中pq0.比較上述三種方案，提價最多的是()A甲 B乙 C丙 D一樣多思維拓展1綜合法與分析法有什么聯(lián)系與差異？提示：綜合法與分析法是直接證明的兩種基本方法，綜合法的特點是從已知看可知，逐步推出未知在使用綜合法證明時，易出現(xiàn)的錯誤是因果關(guān)系不明確，邏輯表達(dá)混亂分析法是從未知看需知，逐步靠攏已知當(dāng)命題的條件與結(jié)論之間的聯(lián)系不夠明顯、直接，證明中需要用哪些知識不太明確具體時，往往采用從結(jié)論出發(fā)，結(jié)合已知條件，逐步反推，尋求使當(dāng)前命題成立的充分條件，把證明轉(zhuǎn)化為判定這些條件是否具備的問題2綜合法與分析法各有什么優(yōu)點與缺點？提示：綜合法與分析法各有優(yōu)缺點，分析法思考起來比較簡單，易找到解題的思路和方法，缺點是敘述煩瑣；綜合法從條件推結(jié)論，較簡潔地解決問題，但不便于思考因此，通常將它們結(jié)合起來使用，先用分析法探索證明途徑，再用綜合法敘述出來3在什么情況下可考慮利用反證法證明問題？提示：反證法是間接證明的一種方法，它適用于以下兩種情形：(1)要證的結(jié)論與條件之間的聯(lián)系不明顯，直接由條件推出結(jié)論的線索不夠清晰；(2)若從正面證明，需要分成多種情形進(jìn)行討論，而從反面證明，只需研究一種或很少的幾種情形一、綜合法【例11】(xx上海高考，理15)若a，bR，且ab0.則下列不等式中，恒成立的是()Aa2b22ab Bab2C D2【例12】如圖，四邊形ABCD是正方形，PB平面ABCD，MA平面ABCD，PBAB2MA.求證：(1)平面AMD平面BPC；(2)平面PMD平面PBD.方法提煉1綜合法是“由因?qū)Ч?，它是從已知條件出發(fā)，順著推證，經(jīng)過一系列的中間推理，最后導(dǎo)出所證結(jié)論的真實性用綜合法證明題的邏輯關(guān)系是：AB1B2BnB(A為已知條件或數(shù)學(xué)定義、定理、公理，B為要證結(jié)論)，它的常見書面表達(dá)是“，”或“”2利用綜合法證不等式時，是以基本不等式為基礎(chǔ)，以不等式的性質(zhì)為依據(jù)，進(jìn)行推理論證的因此，關(guān)鍵是找到與要證結(jié)論相匹配的基本不等式及其不等式的性質(zhì)3綜合法是一種由因?qū)Ч淖C明方法，其邏輯依據(jù)是三段論式的演繹推理方法，這就是保證前提正確，推理合乎規(guī)律，才能保證結(jié)論的正確性請做針對訓(xùn)練1二、分析法【例21】ABC的三個內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，A，B，C的對邊分別為a，b，c.求證：.【例22】若a，b，c為不全相等的正數(shù)，求證：lglglglg alg blg c.方法提煉1分析法是“執(zhí)果索因”，它是從要證的結(jié)論出發(fā)，倒著分析，逐漸地靠近已知2用分析法證“若P，則Q”這個命題的模式是：為了證明命題Q為真，這只需證明命題P1為真，從而有這只需證明命題P2為真，從而有這只需證明命題P為真而已知P為真，故Q必為真特別警示：用分析法證題時，一定要嚴(yán)格按格式書寫，否則極易出錯3在解決問題時，我們經(jīng)常把綜合法和分析法結(jié)合起來使用，根據(jù)條件的結(jié)構(gòu)特點去轉(zhuǎn)化結(jié)論，得到中間結(jié)論Q；根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點去轉(zhuǎn)化條件，得到中間結(jié)論P，若由P可以推出Q成立，就可以證明結(jié)論成立一般情況下，用分析法尋找思路，用綜合法完成證明請做針對訓(xùn)練2三、反證法【例3】設(shè)an是公比為q的等比數(shù)列，Sn是它的前n項和(1)求證：數(shù)列Sn不是等比數(shù)列；(2)數(shù)列Sn是等差數(shù)列嗎？為什么？方法提煉反證法是間接證明問題的一種常用方法，它不是從已知條件去直接證明結(jié)論，而是先否定結(jié)論，在否定結(jié)論的基礎(chǔ)上進(jìn)行演繹推理，導(dǎo)出矛盾，從而肯定結(jié)論的真實性用反證法證明要把握三點：(1)反設(shè)：必須先否定結(jié)論，即肯定結(jié)論的反面；(2)歸謬：必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理，即應(yīng)把結(jié)論的反面作為條件，且必須依據(jù)這一條件進(jìn)行推證推導(dǎo)出的矛盾可能多種多樣，有的與已知矛盾，有的與假設(shè)矛盾，有的與已知事實矛盾等，但推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的；(3)結(jié)論：因為推理正確，所以產(chǎn)生矛盾的原因在于“反設(shè)”的謬誤，既然結(jié)論的反面不成立，從而肯定了結(jié)論成立請做針對訓(xùn)練3考情分析本節(jié)在高考中一般不會直接命題，仍然是以其他知識為載體，作為一種方法考查有關(guān)內(nèi)容因此，從該角度說它是每年高考的重點，幾乎涉及數(shù)學(xué)的各方面知識，代表著研究性命題的發(fā)展趨勢，在選擇題、填空題、解答題中都可能涉及該部分命題的方向主要在函數(shù)、三角恒等變換、數(shù)列、立體幾何、解析幾何等方面，以考查“直接證明”中的綜合法為主，偶爾也會出現(xiàn)利用反證法證明的題目，重點考查運算能力與邏輯推理能力針對訓(xùn)練1已知a，b，cR，且abc1.求證：8.2已知a，b(0，)，求證：.3已知p3q32，求證：pq2.參考答案基礎(chǔ)梳理自測知識梳理1綜合法分析法2由因?qū)Ч?執(zhí)果索因4不成立假設(shè)錯誤原命題成立條件和結(jié)論q基礎(chǔ)自測1A2D解析：假設(shè)結(jié)論不成立，即的否定為.3D解析：Stab21a2b(b1)20，St.4C解析：設(shè)產(chǎn)品的原價為a，則按方案甲可得提價后的價格為Aa(1p%)·(1q%)；按方案乙可得提價后的價格為Ba(1q%)(1p%)A；按方案丙可得提價后的價格為Caa2，則CBa2a(1p%)(1q%)(p%q%)20，故應(yīng)選C.考點探究突破【例11】D解析：當(dāng)ab時，(ab)20，即a2b22ab，故A不成立；當(dāng)a0，且b0時，B，C不成立；對于D，由ab0，知0，0，故2恒成立，等號成立的條件為ab.【例12】證明：(1)因為PB平面ABCD，MA平面ABCD，所以PBMA因為PB平面BPC，MA平面BPC，所以MA平面BPC.同理，DA平面BPC.又MA平面AMD，AD平面AMD，MAADA，所以平面AMD平面BPC.(2)連接AC，設(shè)ACBDE，取PD的中點F，連接EF，MF.因為四邊形ABCD為正方形，所以E為BD的中點因為F為PD的中點，所以EFPB.又AMPB，所以四邊形AEFM為平行四邊形所以MFAE.因為PB平面ABCD，AE平面ABCD，所以PBAE.所以MFPB.因為四邊形ABCD為正方形，所以ACBD.所以MFBD.所以MF平面PBD.又MF平面PMD，所以平面PMD平面PBD.【例21】證明：要證，即證3，也就是1，只需證c(bc)a(ab)(ab)(bc)，需證c2a2acb2，又ABC三內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，故B60°，由余弦定理，有b2c2a22accos 60°，即b2c2a2ac，故c2a2acb2得證于是原等式成立【例22】證明：要證lglglglg alg blg c，只需證lglg abc，即證··abc.因為a，b，c為不全相等的正數(shù)，所以0，0，0，且上述三式中等號不能同時成立所以··abc成立，所以lglglglg alg blg c成立【例3】(1)證明：若Sn是等比數(shù)列，則S1·S3，即(1q)2a1·a1(1qq2)，a10，(1q)21qq2，解得q0，這與q0相矛盾，故數(shù)列Sn不是等比數(shù)列(2)解：當(dāng)q1時，Sn是等差數(shù)列當(dāng)q1時，Sn不是等差數(shù)列假設(shè)q1時，S1，S2，S3成等差數(shù)列，即2S2S1S3，2a1(1q)a1a1(1qq2)由于a10，2(1q)2qq2，即qq2，q1，q0，這與q0相矛盾綜上可知，當(dāng)q1時，Sn是等差數(shù)列；當(dāng)q1時，Sn不是等差數(shù)列演練鞏固提升針對訓(xùn)練1證明：8，當(dāng)且僅當(dāng)abc時等號成立，不等式成立2證明：因為a，b(0，)，要證原不等式成立，只需證，即證(a3b3)2(a2b2)3，即證a62a3b3b6a63a4b23a2b4b6，只需證2a3b33a4b23a2b4.因為a，b(0，)，所以即證2ab3(a2b2)而a2b22ab,3(a2b2)6ab2ab成立，所以.3證明：假設(shè)pq2，那么p2q，p3(2q)3812q6q2q3.將p3q32代入得，6q212q60，即6(q1)20.由此得出矛盾，故pq2.