2022年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷（文科） 含解析(IV)一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1圓C：x2+y22x+2y2=0的圓心坐標(biāo)為（）A（1，1）B（1，1）C（1，1）D（1，1）2一個簡單幾何體的主視圖、俯視圖如圖所示，則其左視圖不可能為（）A正方形B圓C等腰三角形D直角梯形3若直線l1：2x+（m+1）y+4=0與直線l2：mx+3y2=0平行，則m的值為（）A2B3C2或3D2或34直線l：x+y4=0與圓C：x2+y2=4的位置關(guān)系是（）A相離B相切C相交不過圓心D相交且過圓心5某幾何體的三視圖如圖所示，則其表面積為（）A2B3C4D56長方體的三個相鄰面的面積分別是2，3，6，這個長方體的頂點(diǎn)都在同一個球面上，則這個球的表面積為（）AB56C14D167直線l過點(diǎn)A（1，2），在x軸上的截距取值范圍是（3，3），其斜率取值范圍是（）A1Bk1或kCk或k1Dk或k18圓O1：x2+y22x=0和圓O2：x2+y24y=0的公共弦長為（）ABC3D9已知三棱錐 SABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SA平面ABC，SA=2，AB=1，AC=2，BAC=60°，則球O的體積為（）A4BCD1210圓x2+y2+2x+4y3=0上到直線x+y+1=0的距離為的點(diǎn)有（）A1個B2個C3個D4個11如圖所示，在四邊形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=，BDCD將四邊形ABCD沿對角線BD折成四面體A'BCD，使平面A'BD平面BCD，則下列結(jié)論正確的是（）AA'CBDB四面體 A'BCD的體積為 CCA'與平面 A'BD所成的角為 30°DBA'C=90°12某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積的最大值為（）ABCD二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13已知 a，b，c是兩兩不等的實(shí)數(shù)，點(diǎn) P（b，b+c），點(diǎn)Q（a，c+a），則直線 PQ的傾斜角為14已知幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為15一個球與正三棱柱的三個側(cè)面和兩個底面都相切，已知這個球的體積為36，那么該三棱柱的體積是16如果實(shí)數(shù)x，y滿足等式（x2）2+y2=1，那么的取值范圍是三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17設(shè)直線l的方程為（a+1）x+y+2a=0（aR）（1）若l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求l的方程；（2）若l不經(jīng)過第二象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍18已知函數(shù)y=x24x+3與x軸交于M、N兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)P，圓心為C的圓恰好經(jīng)過M、N、P三點(diǎn)（1）求圓C的方程；（2）若圓C與直線xy+n=0交于A、B兩點(diǎn)，且線段|AB|=4，求n的值19如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱垂直底面，ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中點(diǎn)（）證明：平面BDC1平面BDC（）平面BDC1分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比20如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)面BB1C1C為菱形，B1C的中點(diǎn)為O，且AO平面BB1C1C（1）證明：B1CAB；（2）若ACAB1，CBB1=60°，BC=1，求三棱柱ABCA1B1C1的高21已知圓O：x2+y2=2，直線l：y=kx2（1）若直線l與圓O交于不同的兩點(diǎn)A，B，當(dāng)AOB=時，求k的值（2）若，P是直線l上的動點(diǎn)，過P作圓O的兩條切線PC、PD，切點(diǎn)為C、D，探究：直線CD是否過定點(diǎn)；（3）若EF、GH為圓O：x2+y2=2的兩條相互垂直的弦，垂足為M（1，），求四邊形EGFH的面積的最大值22設(shè)一直線l經(jīng)過點(diǎn)（1，1），此直線被兩平行直線l1：x+2y1=0和l2：x+2y3=0所截得線段的中點(diǎn)在直線xy1=0上，求直線 l的方程參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1圓C：x2+y22x+2y2=0的圓心坐標(biāo)為（）A（1，1）B（1，1）C（1，1）D（1，1）【考點(diǎn)】圓的一般方程【分析】圓x2+y2+Dx+Ey+F=0的圓心（，），由此能求出結(jié)果【解答】解：圓x2+y2+Dx+Ey+F=0的圓心（，），圓x2+y22x+2y2=0的圓心坐標(biāo)為：（1，1）故選：B2一個簡單幾何體的主視圖、俯視圖如圖所示，則其左視圖不可能為（）A正方形B圓C等腰三角形D直角梯形【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積【分析】分別令幾何體為正四棱柱，圓柱和底面為等腰直角三角形的三棱柱，可判斷A，B，C的真假，令底面是直角梯形，結(jié)合三視圖的定義，可判斷正視圖和俯視圖中有一個應(yīng)該是矩形中有一條實(shí)線（或虛線）的情況，可判斷D的真假【解答】解：如果該幾何體是一個正四棱柱，則其左視圖必為正方形，故A錯誤如果該幾何體是一個圓柱，則其左視圖必為圓，故B錯誤如果該幾何體是一個底面為等腰直角三角形的三棱柱，則其左視圖必為等腰三角形形，故C錯誤如果該幾何體的左視圖為直角梯形，則其正視圖和俯視圖中有一個矩形中應(yīng)該有一條實(shí)線（或虛線），故D正確故選D3若直線l1：2x+（m+1）y+4=0與直線l2：mx+3y2=0平行，則m的值為（）A2B3C2或3D2或3【考點(diǎn)】兩條直線平行的判定【分析】根據(jù)兩直線平行，且直線l2的斜率存在，故它們的斜率相等，解方程求得m的值【解答】解：直線l1：2x+（m+1）y+4=0與直線l2：mx+3y2=0平行，=，解得m=2或3，故選 C4直線l：x+y4=0與圓C：x2+y2=4的位置關(guān)系是（）A相離B相切C相交不過圓心D相交且過圓心【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系【分析】由圓C的方程求出圓心坐標(biāo)和半徑，由條件和點(diǎn)到直線的距離公式，求出圓C到直線l的距離，可得到答案【解答】解：由題意得，圓C：x2+y2=4的圓心C（0，0），半徑r=2，則圓心C到直線l：x+y4=0的距離：d=2=r，所以直線l與圓C相切，故選：B5某幾何體的三視圖如圖所示，則其表面積為（）A2B3C4D5【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積【分析】根據(jù)三視圖判斷幾何體的形狀，利用三視圖的數(shù)據(jù)和公式求解幾何體的表面積即可【解答】解：綜合三視圖可知，幾何體是一個半徑r=1的半個球體且表面積是底面積與半球面積的和，其表面積S=3故選B6長方體的三個相鄰面的面積分別是2，3，6，這個長方體的頂點(diǎn)都在同一個球面上，則這個球的表面積為（）AB56C14D16【考點(diǎn)】球的體積和表面積【分析】根據(jù)題意可得長方體的三條棱長，再結(jié)合題意與有關(guān)知識可得外接球的直徑就是長方體的對角線，求出長方體的對角線，即可得到球的直徑，進(jìn)而根據(jù)球的表面積公式求出球的表面積【解答】解：因?yàn)殚L方體相鄰的三個面的面積分別是2，3，6，長方體的一個頂點(diǎn)上的三條棱長分別是3，2，1，又因?yàn)殚L方體的8個頂點(diǎn)都在同一個球面上，所以長方體的對角線就是圓的直徑，因?yàn)殚L方體的體對角線的長是：球的半徑是：這個球的表面積：4 =14故選C7直線l過點(diǎn)A（1，2），在x軸上的截距取值范圍是（3，3），其斜率取值范圍是（）A1Bk1或kCk或k1Dk或k1【考點(diǎn)】直線的圖象特征與傾斜角、斜率的關(guān)系【分析】直接利用直線斜率公式求出兩個端點(diǎn)的斜率，即可得到結(jié)果【解答】解：因?yàn)橹本€l過點(diǎn)A（1，2），在x軸上的截距取值范圍是（3，3），所以直線端點(diǎn)的斜率分別為： =1， =，如圖：所以k或k1故選D8圓O1：x2+y22x=0和圓O2：x2+y24y=0的公共弦長為（）ABC3D【考點(diǎn)】直線與圓相交的性質(zhì)【分析】由條件求得公共弦所在的直線方程、一個圓的圓心到公共弦的距離，再利用垂徑定理求得公共弦的長【解答】解：圓O1的圓心為（1，0），半徑r1=1，圓O2的圓心為（0，2），半徑r2=2，故兩圓的圓心距，大于半徑之差而小于半徑之和，故兩圓相交圓和圓兩式相減得到相交弦所在直線方程x2y=0，圓心O1（1，0）到直線x2y=0距離為，由垂徑定理可得公共弦長為2=，故選：B9已知三棱錐 SABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SA平面ABC，SA=2，AB=1，AC=2，BAC=60°，則球O的體積為（）A4BCD12【考點(diǎn)】球的體積和表面積【分析】由三棱錐SABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SA平面ABC，SA=2，AB=1，AC=2，BAC=60°，知BC=，ABC=90°故ABC截球O所得的圓O的半徑r=AC=1，由此能求出球O的半徑，從而能求出球O的體積【解答】解：如圖，三棱錐SABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SA平面ABC，SA=2，AB=1，AC=2，BAC=60°，BC=，ABC=90°ABC截球O所得的圓O的半徑r=AC=1，球O的半徑R=2，球O的體積V=R3=故選：B10圓x2+y2+2x+4y3=0上到直線x+y+1=0的距離為的點(diǎn)有（）A1個B2個C3個D4個【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系【分析】圓x2+y2+2x+4y3=0可化為（x+1）2+（y+2）2=8，過圓心平行于直線x+y+1=0的直線與圓有兩個交點(diǎn)，另一條與直線x+y+1=0的距離為的平行線與圓相切，只有一個交點(diǎn)【解答】解：圓x2+y2+2x+4y3=0可化為（x+1）2+（y+2）2=8圓心坐標(biāo)是（1，2），半徑是2；圓心到直線的距離為d=，過圓心平行于直線x+y+1=0的直線與圓有兩個交點(diǎn)，另一條與直線x+y+1=0的距離為的平行線與圓相切，只有一個交點(diǎn)所以，共有3個交點(diǎn)故選：C11如圖所示，在四邊形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=，BDCD將四邊形ABCD沿對角線BD折成四面體A'BCD，使平面A'BD平面BCD，則下列結(jié)論正確的是（）AA'CBDB四面體 A'BCD的體積為 CCA'與平面 A'BD所成的角為 30°DBA'C=90°【考點(diǎn)】平面與平面垂直的性質(zhì)【分析】折疊前ABAD，折疊后CD平面A'BD，取BD的中點(diǎn)O，推導(dǎo)出A'O平面BCD，OC不垂直于BD由此能求出結(jié)果【解答】解：折疊前AB=AD=1，BD=，即ABAD，折疊后平面A'BD平面BCD，且CDBD，故CD平面A'BD，取BD的中點(diǎn)O，A'B=A'D，A'OBD又平面A'BD平面BCD，平面A'BD平面BCD=BD，A'O平面BCDCDBD，OC不垂直于BD假設(shè)A'CBD，OC為A'C在平面BCD內(nèi)的射影，OCBD，矛盾，A'C不垂直于BD，故A錯誤；CDBD，平面A'BD平面BCD，CD平面A'BD，A'C在平面A'BD內(nèi)的射影為A'DA'B=A'D=1，BD=，A'BA'D，A'BA'C，B正確，CA'D為直線CA'與平面A'BD所成的角，CA'D=45°，故C錯誤；VA'BCD=VCA'BD=SA'BDCD=，故B錯誤故選：D12某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積的最大值為（）ABCD【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積【分析】幾何體是一個三棱錐，三棱錐的底面是一條直角邊為1，斜邊為b的直角三角形，另一條直角邊是，三棱錐的一條側(cè)棱與底面垂直，由勾股定理可知這條邊是，表示出體積，根據(jù)不等式基本定理，得到最值【解答】解：由三視圖知，幾何體是一個三棱錐，三棱錐的底面是一條直角邊為1，斜邊為b的直角三角形，另一條直角邊是，三棱錐的一條側(cè)棱與底面垂直，由勾股定理可知這條邊是，幾何體的體積是V=×，在側(cè)面三角形上有a21+b21=6，V=，當(dāng)且僅當(dāng)側(cè)面的三角形是一個等腰直角三角形，故選：A二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13已知 a，b，c是兩兩不等的實(shí)數(shù)，點(diǎn) P（b，b+c），點(diǎn)Q（a，c+a），則直線 PQ的傾斜角為45°【考點(diǎn)】直線的傾斜角【分析】由經(jīng)過兩點(diǎn)直線的斜率公式，得PQ的斜率為1，再根據(jù)斜率k與傾斜角的關(guān)系，得tan=1，結(jié)合直線傾斜角的取值范圍即可得到直線PQ的傾斜角【解答】解：點(diǎn)P（b，b+c），點(diǎn)Q（a，c+a），直線PQ的斜率為k=1設(shè)直線的傾斜角為，則tan=10，），=45°，故答案是：45°14已知幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為64+4【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積【分析】先根據(jù)三視圖判斷幾何體的形狀再根據(jù)體積公式計(jì)算即可【解答】解：幾何體為正方體與圓柱的組合體，V圓柱=4；V正方體=4×4×4=64；答案是64+415一個球與正三棱柱的三個側(cè)面和兩個底面都相切，已知這個球的體積為36，那么該三棱柱的體積是162【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺的體積【分析】根據(jù)球的體積得出球的半徑，由球與棱柱相切可知棱柱的高為球的直徑，棱柱底面三角形的內(nèi)切圓為球的大圓，從而計(jì)算出棱柱的底面邊長和高【解答】解：設(shè)球的半徑為r，則=36，解得r=3球與正三棱柱的三個側(cè)面相切，球的大圓為棱柱底面等邊三角形的內(nèi)切圓，棱柱底面正三角形的邊長為2=6球與棱柱的兩底面相切，棱柱的高為2r=6三棱柱的體積V=162故答案為16216如果實(shí)數(shù)x，y滿足等式（x2）2+y2=1，那么的取值范圍是，+）【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系【分析】設(shè)k=，則y=kx（k+3）表示經(jīng)過點(diǎn)P（1，3）的直線，k為直線的斜率，所以求的取值范圍就等價于求同時經(jīng)過點(diǎn)P（1，3）和圓上的點(diǎn)的直線中斜率的最大最小值，當(dāng)過P直線與圓相切時，如圖所示，直線PA與直線PB與圓相切，此時直線PB斜率不存在，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心C到直線PA的距離d，令d=r求出此時k的值，確定出t的范圍，即為所求式子的范圍【解答】解：設(shè)k=，則y=kx（k+3）表示經(jīng)過點(diǎn)P（1，3）的直線，k為直線的斜率，求的取值范圍就等價于求同時經(jīng)過點(diǎn)P（1，3）和圓上的點(diǎn)的直線中斜率的最大最小值，從圖中可知，當(dāng)過P的直線與圓相切時斜率取最大最小值，此時對應(yīng)的直線斜率分別為kPB和kPA，其中kPB不存在，由圓心C（2，0）到直線y=kx（k+3）的距離=r=1，解得：k=，則的取值范圍是，+）故答案為：，+）三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17設(shè)直線l的方程為（a+1）x+y+2a=0（aR）（1）若l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求l的方程；（2）若l不經(jīng)過第二象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍【考點(diǎn)】直線的截距式方程；確定直線位置的幾何要素；過兩條直線交點(diǎn)的直線系方程【分析】（1）先求出直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距，再利用 l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等 建立方程，解方程求出a的值，從而得到所求的直線l方程（2）把直線l的方程可化為 y=（a+1）x+a2，由題意得，解不等式組求得a的范圍【解答】解：（1）令x=0，得y=a2 令y=0，得（a1）l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，解之，得a=2或a=0所求的直線l方程為3x+y=0或x+y+2=0（2）直線l的方程可化為 y=（a+1）x+a2l不過第二象限，a1a的取值范圍為（，118已知函數(shù)y=x24x+3與x軸交于M、N兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)P，圓心為C的圓恰好經(jīng)過M、N、P三點(diǎn)（1）求圓C的方程；（2）若圓C與直線xy+n=0交于A、B兩點(diǎn)，且線段|AB|=4，求n的值【考點(diǎn)】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；直線與圓的位置關(guān)系【分析】（1）由題意與坐標(biāo)軸交點(diǎn)為M（3，0），N（1，0），P（0，3），由此能求出圓的方程（2）由題意|AB|=4：設(shè)圓心到直線距離為d，則，由此能求出結(jié)果【解答】解：（1）由題意與坐標(biāo)軸交點(diǎn)為M（3，0），N（1，0），P（0，3），設(shè)圓的方程為：（xa）2+（yb）2=r2代入點(diǎn)，得，解得a=2，b=2，r=，圓的方程為：（x2）2+（y2）2=5（2）由題意|AB|=4：設(shè)圓心到直線距離為d，則，即：，解得：19如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱垂直底面，ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中點(diǎn)（）證明：平面BDC1平面BDC（）平面BDC1分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比【考點(diǎn)】平面與平面垂直的判定；棱柱的結(jié)構(gòu)特征；棱柱、棱錐、棱臺的體積【分析】（）由題意易證DC1平面BDC，再由面面垂直的判定定理即可證得平面BDC1平面BDC；（）設(shè)棱錐BDACC1的體積為V1，AC=1，易求V1=××1×1=，三棱柱ABCA1B1C1的體積V=1，于是可得（VV1）：V1=1：1，從而可得答案【解答】證明：（1）由題意知BCCC1，BCAC，CC1AC=C，BC平面ACC1A1，又DC1平面ACC1A1，DC1BC由題設(shè)知A1DC1=ADC=45°，CDC1=90°，即DC1DC，又DCBC=C，DC1平面BDC，又DC1平面BDC1，平面BDC1平面BDC；（2）設(shè)棱錐BDACC1的體積為V1，AC=1，由題意得V1=××1×1=，又三棱柱ABCA1B1C1的體積V=1，（VV1）：V1=1：1，平面BDC1分此棱柱兩部分體積的比為1：120如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)面BB1C1C為菱形，B1C的中點(diǎn)為O，且AO平面BB1C1C（1）證明：B1CAB；（2）若ACAB1，CBB1=60°，BC=1，求三棱柱ABCA1B1C1的高【考點(diǎn)】直線與平面垂直的性質(zhì)；棱柱、棱錐、棱臺的體積【分析】（1）連接BC1，則O為B1C與BC1的交點(diǎn)，證明B1C平面ABO，可得B1CAB；（2）作ODBC，垂足為D，連接AD，作OHAD，垂足為H，證明CBB1為等邊三角形，求出B1到平面ABC的距離，即可求三棱柱ABCA1B1C1的高【解答】（1）證明：連接BC1，則O為B1C與BC1的交點(diǎn)，側(cè)面BB1C1C為菱形，BC1B1C，AO平面BB1C1C，AOB1C，AOBC1=O，B1C平面ABO，AB平面ABO，B1CAB；（2）解：作ODBC，垂足為D，連接AD，作OHAD，垂足為H，BCAO，BCOD，AOOD=O，BC平面AOD，OHBC，OHAD，BCAD=D，OH平面ABC，CBB1=60°，CBB1為等邊三角形，BC=1，OD=，ACAB1，OA=B1C=，由OHAD=ODOA，可得AD=，OH=，O為B1C的中點(diǎn)，B1到平面ABC的距離為，三棱柱ABCA1B1C1的高21已知圓O：x2+y2=2，直線l：y=kx2（1）若直線l與圓O交于不同的兩點(diǎn)A，B，當(dāng)AOB=時，求k的值（2）若，P是直線l上的動點(diǎn)，過P作圓O的兩條切線PC、PD，切點(diǎn)為C、D，探究：直線CD是否過定點(diǎn)；（3）若EF、GH為圓O：x2+y2=2的兩條相互垂直的弦，垂足為M（1，），求四邊形EGFH的面積的最大值【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系；兩點(diǎn)間的距離公式【分析】（1）利用點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合點(diǎn)O到l的距離，可求k的值；（2）由題意可知：O、P、C、D四點(diǎn)共圓且在以O(shè)P為直徑的圓上，C、D在圓O：x2+y2=2上可得直線C，D的方程，即可求得直線CD是否過定點(diǎn)；（3）設(shè)圓心O到直線EF、GH的距離分別為d1，d2則，表示出四邊形EGFH的面積，利用基本不等式，可求四邊形EGFH的面積最大值【解答】解：（1）AOB=，點(diǎn)O到l的距離=，（2）由題意可知：O、P、C、D四點(diǎn)共圓且在以O(shè)P為直徑的圓上，設(shè)，其方程為：，即，又C、D在圓O：x2+y2=2上，即由，得，直線CD過定點(diǎn)（3）設(shè)圓心O到直線EF、GH的距離分別為d1，d2則|EF|=2，當(dāng)且僅當(dāng)即時，取“=”四邊形EGFH的面積的最大值為22設(shè)一直線l經(jīng)過點(diǎn)（1，1），此直線被兩平行直線l1：x+2y1=0和l2：x+2y3=0所截得線段的中點(diǎn)在直線xy1=0上，求直線 l的方程【考點(diǎn)】待定系數(shù)法求直線方程【分析】記直線l與兩平行線的交點(diǎn)為C、D，CD的中點(diǎn)為M，由兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)、中點(diǎn)坐標(biāo)的求法得到點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求直線 l的方程【解答】解：設(shè)直線 xy1=0與l1，l2的交點(diǎn)為 C（xC，yC），D（xD，yD），則，則C，D的中點(diǎn)M為又l過點(diǎn)（1，1）由兩點(diǎn)式得l的方程為，即2x+7y5=0為所求方程xx1月18日