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1、2022年高考數(shù)學一輪復習 第十三篇 推理證明、算法、復數(shù) 第2講　直接證明與間接證明教案 理 新人教版 【xx年高考會這樣考】 1．在歷年的高考中，證明方法是常考內(nèi)容，考查的主要方式是對它們原理的理解和用法．難度多為中檔題，也有高檔題． 2．從考查形式上看，主要以不等式、立體幾何、解析幾何、函數(shù)與方程、數(shù)列等知識為載體，考查綜合法、分析法、反證法等方法． 【復習指導】 在備考中，對本部分的內(nèi)容，要抓住關(guān)鍵，即分析法、綜合法、反證法，要搞清三種方法的特點，把握三種方法在解決問題中的一般步驟，熟悉三種方法適用于解決的問題的類型，同時也要加強訓練，達到熟能生巧，有效運用它們的目的．　　

2、 基礎(chǔ)梳理 1．直接證明 (1)綜合法 ①定義：利用已知條件和某些數(shù)學定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法． ②框圖表示：→→→…→ (其中P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等，Q表示要證的結(jié)論)． (2)分析法 ①定義：從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止．這種證明方法叫做分析法． ②框圖表示：→→→…→ . 2．間接證明 一般地，由證明p?q轉(zhuǎn)向證明：綈q?r?…?t. t與假設(shè)矛盾，或與某個真命題矛盾．從

3、而判定綈q為假，推出q為真的方法，叫做反證法． 一個關(guān)系 綜合法與分析法的關(guān)系 分析法與綜合法相輔相成，對較復雜的問題，常常先從結(jié)論進行分析，尋求結(jié)論與條件、基礎(chǔ)知識之間的關(guān)系，找到解決問題的思路，再運用綜合法證明，或者在證明時將兩種方法交叉使用． 兩個防范 (1)利用反證法證明數(shù)學問題時，要假設(shè)結(jié)論錯誤，并用假設(shè)命題進行推理，沒有用假設(shè)命題推理而推出矛盾結(jié)果，其推理過程是錯誤的． (2)用分析法證明數(shù)學問題時，要注意書寫格式的規(guī)范性，常常用“要證(欲證)…”“即要證…”“就要證…”等分析到一個明顯成立的結(jié)論P，再說明所要證明的數(shù)學問題成立． 雙基自測 1．(人教A版教材習

4、題改編)p＝＋，q＝·(m、n、a、b、c、d均為正數(shù))，則p、q的大小為(　　)． A．p≥q B．p≤q C．p＞q D．不確定 解析　q＝ ≥ ＝＋＝p，當且僅當＝時取等號． 答案　B 2．設(shè)a＝lg 2＋lg 5，b＝ex(x＜0)，則a與b大小關(guān)系為(　　)． A．a(chǎn)＞b B．a(chǎn)＜b C．a(chǎn)＝b D．a(chǎn)≤b 解析　a＝lg 2＋lg 5＝1，b＝ex，當x＜0時，0＜b＜1. ∴a＞b. 答案　A 3．否定“自然數(shù)a，b，c中恰有一個偶數(shù)”時，正確的反設(shè)為(　　)． A．a(chǎn)，b，c都是奇數(shù) B．a(chǎn)，b，c都

5、是偶數(shù) C．a(chǎn)，b，c中至少有兩個偶數(shù) D．a(chǎn)，b，c中至少有兩個偶數(shù)或都是奇數(shù) 解析　∵a，b，c恰有一個偶數(shù)，即a，b，c中只有一個偶數(shù)，其反面是有兩個或兩個以上偶數(shù)或沒有一個偶數(shù)即全都是奇數(shù)，故只有D正確． 答案　D 4．(xx·廣州調(diào)研)設(shè)a、b∈R，若a－|b|＞0，則下列不等式中正確的是(　　)． A．b－a＞0 B．a(chǎn)3＋b3＜0 C．a(chǎn)2－b2＜0 D．b＋a＞0 解析　∵a－|b|＞0，∴|b|＜a，∴a＞0，∴－a＜b＜a，∴b＋a＞0. 答案　D 5．在用反證法證明數(shù)學命題時，如果原命題的否定事項不止一個時，必須將結(jié)論的否定情

6、況逐一駁倒，才能肯定原命題的正確． 例如：在△ABC中，若AB＝AC，P是△ABC內(nèi)一點，∠APB＞∠APC，求證：∠BAP＜∠CAP，用反證法證明時應分：假設(shè)________和________兩類． 答案　∠BAP＝∠CAP　∠BAP＞∠CAP　　 考向一　綜合法的應用 【例1】?設(shè)a，b，c＞0，證明：＋＋≥a＋b＋c. [審題視點] 用綜合法證明，可考慮運用基本不等式． 證明　∵a，b，c＞0，根據(jù)均值不等式， 有＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c. 三式相加：＋＋＋a＋b＋c≥2(a＋b＋c)． 當且僅當a＝b＝c時取等號． 即＋＋≥a＋b＋c. 綜合法是一種由

7、因?qū)Ч淖C明方法，即由已知條件出發(fā)，推導出所要證明的等式或不等式成立．因此，綜合法又叫做順推證法或由因?qū)Чǎ溥壿嬕罁?jù)是三段論式的演繹推理方法，這就要保證前提正確，推理合乎規(guī)律，才能保證結(jié)論的正確性． 【訓練1】 設(shè)a，b為互不相等的正數(shù)，且a＋b＝1，證明：＋＞4. 證明　＋＝·(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4. 又a與b不相等．故＋＞4. 考向二　分析法的應用 【例2】?已知m＞0，a，b∈R，求證：2≤. [審題視點] 先去分母，合并同類項，化成積式． 證明　∵m＞0，∴1＋m＞0. 所以要證原不等式成立， 只需證明(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2)， 即證m

8、(a2－2ab＋b2)≥0， 即證(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0顯然成立， 故原不等式得證． 逆向思考是用分析法證題的主要思想，通過反推，逐步尋找使結(jié)論成立的充分條件，正確把握轉(zhuǎn)化方向是使問題順利獲解的關(guān)鍵． 【訓練2】 已知a，b，m都是正數(shù)，且a＜b. 求證：＞. 證明　要證明＞，由于a，b，m都是正數(shù)， 只需證a(b＋m)＜b(a＋m)， 只需證am＜bm， 由于m＞0，所以，只需證a＜b. 已知a＜b，所以原不等式成立． (說明：本題還可用作差比較法、綜合法、反證法) 考向三　反證法的應用 【例3】?已知函數(shù)f(x)＝ax＋(a＞1)． (1)證明：

9、函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)． (2)用反證法證明f(x)＝0沒有負根． [審題視點] 第(1)問用單調(diào)增函數(shù)的定義證明；第(2)問假設(shè)存在x0＜0后，應推導出x0的范圍與x0＜0矛盾即可． 證明　(1)法一　任取x1，x2∈(－1，＋∞)，不妨設(shè)x1＜x2，則x2－x1＞0，ax2－x1＞1，且ax1＞0. 所以ax2－ax1＝ax1(ax2－x1－1)＞0.又因為x1＋1＞0，x2＋1＞0，所以－＝＝＞0， 于是f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋－＞0， 故函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)． 法二　f′(x)＝axln a＋＞0， ∴f(x)在(－1，

10、＋∞)上為增函數(shù)． (2)假設(shè)存在x0＜0(x0≠－1)滿足f(x0)＝0，則ax0＝－，又0＜ax0＜1，所以0＜－＜1，即＜x0＜2，與x0＜0(x0≠－1)假設(shè)矛盾．故f(x0)＝0沒有負根． 當一個命題的結(jié)論是以“至多”，“至少”、“唯一”或以否定形式出現(xiàn)時，宜用反證法來證，反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾，矛盾可以是：①與已知條件矛盾；②與假設(shè)矛盾；③與定義、公理、定理矛盾；④與事實矛盾等方面，反證法常常是解決某些“疑難”問題的有力工具，是數(shù)學證明中的一件有力武器． 【訓練3】 已知a，b為非零向量，且a，b不平行，求證：向量a＋b與a－b不平行． 證明　假設(shè)向量a＋b

11、與a－b平行， 即存在實數(shù)λ使a＋b＝λ(a－b)成立， 則(1－λ)a＋(1＋λ)b＝0，∵a，b不平行， ∴得 所以方程組無解，故假設(shè)不成立，故原命題成立．　　 規(guī)范解答24——怎樣用反證法證明問題 【問題研究】 反證法是主要的間接證明方法，其基本特點是反設(shè)結(jié)論，導出矛盾，當問題從正面證明無法入手時，就可以考慮使用反證法進行證明.在高考中，對反證法的考查往往是在試題中某個重要的步驟進行. 【解決方案】 首先反設(shè)，且反設(shè)必須恰當，然后再推理、得出矛盾，最后肯定. 【示例】?(本題滿分12分)(xx·安徽)設(shè)直線l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，其中實數(shù)k1，k2滿足

12、k1k2＋2＝0. (1)證明l1與l2相交； (2)證明l1與l2的交點在橢圓2x2＋y2＝1上． 第(1)問采用反證法，第(2)問解l1與l2的交點坐標，代入橢圓方程驗證． [解答示范] 證明　(1)假設(shè)l1與l2不相交， 則l1與l2平行或重合，有k1＝k2，(2分) 代入k1k2＋2＝0，得k＋2＝0.(4分) 這與k1為實數(shù)的事實相矛盾，從而k1≠k2，即l1與l2相交．(6分) (2)由方程組 解得交點P的坐標(x，y)為(9分) 從而2x2＋y2＝22＋2 ＝＝＝1， 此即表明交點P(x，y)在橢圓2x2＋y2＝1上．(12分) 用反證法證明不等式要

13、把握三點：(1)必須先否定結(jié)論，即肯定結(jié)論的反面；(2)必須從否定結(jié)論進行推理， 即應把結(jié)論的反面作為條件，且必須依據(jù)這一條件進行推證；(3)推導出的矛盾可能多種多樣，有的與已知矛盾，有的與假設(shè)矛盾，有的與已知事實矛盾等，但是推導出的矛盾必須是明顯的． 【試一試】 已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足an＋Sn＝2. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)求證數(shù)列{an}中不存在三項按原來順序成等差數(shù)列． [嘗試解答]　(1)當n＝1時，a1＋S1＝2a1＝2，則a1＝1. 又an＋Sn＝2，所以an＋1＋Sn＋1＝2，兩式相減得an＋1＝an， 所以{an}是首項為1，公比為的等比數(shù)列，所以an＝. (2)反證法：假設(shè)存在三項按原來順序成等差數(shù)列，記為ap＋1，aq＋1，ar＋1(p＜q＜r，且p，q，r∈N*)， 則2·＝＋，所以2·2r－q＝2r－p＋1.① 又因為p＜q＜r，所以r－q，r－p∈N*. 所以①式左邊是偶數(shù)，右邊是奇數(shù)，等式不成立，所以假設(shè)不成立，原命題得證．