2022年高中數(shù)學 第四章圓與方程復(fù)習教案 新人教A版必修2 復(fù)習知識點： 一：圓的方程。（1）標準方程（幾何式）： （圓心為A(a,b),半徑為r） （2）圓的一般方程（代數(shù)式）：（） 圓心 半徑 提示：求圓的方程的主要方法有兩種：一是定義法，二是待定系數(shù)法。定義法是指用定義求出圓心坐標和半徑長，從而得到圓的標準方程；待定系數(shù)法即列出關(guān)于的方程組，求而得到圓的一般方程，一般步驟為：(1)根據(jù)題意，設(shè)所求的圓的標準方程為(2)根據(jù)已知條件，建立關(guān)于的方程組；(3)解方程組。求出的值，并把它們代人所設(shè)的方程中去，就得到所求圓的一般方程二：點與圓的位置關(guān)系的判斷方法，：若 ，則點P在圓上；若 ,則點P在圓外；若 ,則點P在圓內(nèi)；三：直線與圓的位置關(guān)系判斷方法：（1）幾何法：由圓心到直線的距離d和圓r的半徑的大小關(guān)系來判斷。(1) 相交 （2）相切 （3）相離 適用于已知直線和圓的方程判斷二者關(guān)系，也適用于其中有參數(shù)，對參數(shù)談?wù)摰膯栴}。利用這種方法，可以簡單的算出直線與圓相交時的相交弦的長，以及當直線與圓相離時，圓上的點到直線的最遠、最近距離等。（2）代數(shù)法：由直線與圓的方程聯(lián)立消元得到 ,然后由判別式來判斷。(1) 相交 （2）相切 （3）相離 利用這種方法，可以很簡單的求出直線與圓有交點時的交點坐標。四：圓與圓的位置關(guān)系判斷方法：（1）幾何法：兩圓的連心線長為，圓的半徑與圓的半徑，則判別圓與圓的位置關(guān)系的依據(jù)有以下幾點：1）當 時，圓與圓相離；2）當 時，圓與圓外切；3）當 時，圓與圓相交；4）當 時，圓與圓內(nèi)切；5）當 時，圓與圓內(nèi)含；（2）代數(shù)法：由兩圓的方程聯(lián)立得到關(guān)于x或y的一元二次方程, 然后由判別式來判斷。=0為外切或內(nèi)切，>0為相交，<0為相離或內(nèi)含。若兩圓相交，兩圓方程相減得公共弦所在直線方程。五：直線與圓的方程的應(yīng)用：利用平面直角坐標系解決直線與圓的位置關(guān)系。 典型例題與練習： 類型一：求圓的方程例1：已知一圓經(jīng)過點A（2，3）和B（2，5），且圓心C在直線l： 上，求此圓的標準方程（三種方法求解）。類型二：軌跡方程與切線方程例2：已知點P（10，0），Q為圓上一點動點，當Q在圓上運動時，求PQ的中點M的軌跡方程（參照課本例題求解，答案：）。例題3：求由下列條件所決定圓的圓的切線方程：(1)經(jīng)過點，(2)經(jīng)過點，(3)斜率為。（參照成才之路P85頁）結(jié)論：已知圓的方程是x2+y2=r2,求經(jīng)過圓上一點M(x0,y0)的切線方程（答案）。類型三：直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系例題4：已知直線，直線以及上一點求圓心在上且與直線相切于點的圓的方程例題5：一圓與y軸相切，圓心在直線x3y=0上，且直線y=x截圓所得弦長為2，求此圓的方程.例6： 求經(jīng)過兩圓（x+3）2+y2=13和x2+（y+3）2=37的交點，且圓心在直線xy4=0上的圓的方程.例7： 已知圓C：（x1）2（y2）225，直線l：（2m+1）x+（m+1）y7m4=0（mR）.（1）證明：不論m取什么實數(shù)，直線l與圓恒交于兩點；（2）求直線被圓C截得的弦長最小時l的方程.類型四：弦長問題例8：已知圓C：內(nèi)有一點P（2，2），過點P作直線l交圓C于A、B兩點.(1)當l經(jīng)過圓心C時，求直線l的方程；(2)當弦AB被點P平分時，寫出直線l的方程；(3) 當直線l的傾斜角為45º時，求弦AB的長.類型五：對稱問題與距離最值問題例9：一束光線l自A（3，3）發(fā)出，射到x軸上，被x軸反射到C：x2y24x4y70上（1）求反射線通過圓心C時，光線l的方程；（2）求在x軸上，反射點M的范圍例題10：已知實數(shù)x、y滿足方程x2+y24x+1=0.求（1）的最大值和最小值；（2）yx的最小值；（3）x2+y2的最大值和最小值.精選精練：一、選擇題1 圓：和圓：交于兩點，則的垂直平分線的方程是（ ）A. B C D 2 方程表示的曲線是（ ）A一個圓 B 兩個半圓 C兩個圓 D 半圓3已知圓：及直線，當直線被截得的弦長為時，則（ ）A B C D4 圓的圓心到直線的距離是（ ）AB C D 5 直線截圓得的劣弧所對的圓心角為（ ）A B C D 6 圓上的點到直線的距離的最小值是（ ）A 6 B 4 C 5 D 1 7兩圓和的位置關(guān)系是（ ）A 相離 B相交 C 內(nèi)切 D外切8 直線與圓交于兩點，則（是原點）的面積為（ ） 9 直線過點，與圓有兩個交點時，斜率的取值范圍是( )A B CD 10 已知圓C的半徑為，圓心在軸的正半軸上，直線與圓C相切，則圓C的方程為（ ）A B C D 11 若過定點且斜率為的直線與圓在第一象限內(nèi)的部分有交點，則的取值范圍是（ ） A B C D 12設(shè)直線過點，且與圓相切，則的斜率是（）A BC D二、填空題1 若點在軸上，且，則點的坐標為 2若曲線與直線始終有交點，則的取值范圍是_；若有一個交點，則的取值范圍是_；若有兩個交點，則的取值范圍是_；3 已知圓的方程為，過點的直線與圓交于兩點，若使最小，則直線的方程是_ 4 如果實數(shù)滿足等式，那么的最大值是_ 5 過圓外一點，引圓的兩條切線，切點為，則直線的方程為_ 6 直線被曲線所截得的弦長等于 7 圓：的外有一點，由點向圓引切線的長_ 8 對于任意實數(shù)，直線與圓的位置關(guān)系是 9 動圓的圓心的軌跡方程是 10 為圓上的動點，則點到直線的距離的最小值為_ 必修 第四章 圓與方程復(fù)習提綱答案例題1：解：因為A（2，3），B（2，5），所以線段AB的中點D的坐標為（0，4），又 ，所以線段AB的垂直平分線的方程是聯(lián)立方程組，解得所以，圓心坐標為C（1，2），半徑，所以，此圓的標準方程是例題4：解：設(shè)圓心為，半徑為，依題意，.設(shè)直線的斜率，過兩點的直線斜率，因，故，解得.所求圓的方程為.例題5：解：因圓與y軸相切，且圓心在直線x3y=0上，故設(shè)圓方程為（x3b）2+（yb）2=9b2.又因為直線y=x截圓得弦長為2，則有（）2+（）2=9b2，解得b=±1.故所求圓方程為（x3）2+（y1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9.評述：在解決求圓的方程這類問題時，應(yīng)當注意以下幾點：（1）確定圓方程首先明確是標準方程還是一般方程；（2）根據(jù)幾何關(guān)系（如本例的相切、弦長等）建立方程求得a、b、r或D、E、F（3）待定系數(shù)法的應(yīng)用，解答中要盡量減少未知量的個數(shù).例題6：剖析：根據(jù)已知，可通過解方程組得圓上兩點，（x+3）2+y2=13，x2+（y+3）2=37 由圓心在直線xy4=0上，三個獨立條件，用待定系數(shù)法求出圓的方程；也可根據(jù)已知，設(shè)所求圓的方程為（x+3）2+y213+x2+（y+3）237=0，再由圓心在直線xy4=0上，定出參數(shù)，得圓方程.解：因為所求的圓經(jīng)過兩圓（x+3）2+y2=13和x2+（y+3）2=37的交點，所以設(shè)所求圓的方程為（x+3）2+y213+x2+（y+3）237=0.展開、配方、整理，得（x+）2+（y+）2=+.圓心為（，），代入方程xy4=0，得=7.故所求圓的方程為（x+）2+（y+）2= .評述：圓C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，圓C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0，若圓C1、C2相交，那么過兩圓公共點的圓系方程為（x2+y2+D1x+E1y+F1）+（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0（R且1）.它表示除圓C2以外的所有經(jīng)過兩圓C1、C2公共點的圓.特別提示 在過兩圓公共點的圖象方程中，若=1，可得兩圓公共弦所在的直線方程.例題7：剖析：直線過定點，而該定點在圓內(nèi)，此題便可解得.（1）證明：l的方程（x+y4）+m（2x+y7）=0.得mR， 2x+y7=0， x=3，x+y4=0， y=1，即l恒過定點A（3，1）.圓心C（1，2），AC5（半徑），點A在圓C內(nèi)，從而直線l恒與圓C相交于兩點.（2）解：弦長最小時，lAC，由kAC，l的方程為2xy5=0.評述：若定點A在圓外，要使直線與圓相交則需要什么條件呢？例題8：解：(1)已知圓C：的圓心為C（1，0），因直線過點P、C，所以直線l的斜率為2， 直線l的方程為y=2(x-1),即 2x-y-20.(2)當弦AB被點P平分時，lPC, 直線l的方程為, 即 x+2y-6=0(3)當直線l的傾斜角為45º時，斜率為1，直線l的方程為y-2=x-2 ,即 x-y=0圓心C到直線l的距離為，圓的半徑為3，弦AB的長為例題9：解： C：(x2)2(y2)21（）C關(guān)于x軸的對稱點C(2，2)，過A，C的方程：xy0為光線l的方程（）A關(guān)于x軸的對稱點A(3，3)，設(shè)過A的直線為y3k(x3)，當該直線與C相切時，有或過A，C的兩條切線為 令y0，得反射點M在x軸上的活動范圍是例題10：解：（1）如圖，方程x2+y24x+1=0表示以點（2，0）為圓心，以為半徑的圓.設(shè)=k，即y=kx，由圓心（2，0）到y(tǒng)=kx的距離為半徑時直線與圓相切，斜率取得最大、最小值.由=，解得k2=3.所以kmax=，kmin=.（也可由平面幾何知識，有OC=2，OP=，POC=60°，直線OP的傾斜角為60°，直線OP的傾斜角為120°解之）（2）設(shè)yx=b，則y=x+b，僅當直線y=x+b與圓切于第四象限時，縱軸截距b取最小值.由點到直線的距離公式，得=，即b=2±，故（yx）min=2.（3）x2+y2是圓上點與原點距離之平方，故連結(jié)OC，與圓交于B點，并延長交圓于C，則（x2+y2）max=OC=2+，（x2+y2）min=OB=2.精選精練一、選擇題1 C 由平面幾何知識知的垂直平分線就是連心線2B 對分類討論得兩種情況 3 C 4A 5 C 直線的傾斜角為，得等邊三角形6B 7 B 8 D 弦長為，9 C ，相切時的斜率為10D 設(shè)圓心為11 A 圓與軸的正半軸交于12 D 得三角形的三邊，得的角 二、填空題1 設(shè)則2 ； 曲線代表半圓3 當時，最小，4 設(shè)， 另可考慮斜率的幾何意義來做5 設(shè)切點為，則的方程為的方程為，則6 ，78 相切或相交 ；另法：直線恒過，而在圓上9 圓心為，令 10