2022年高中數(shù)學(xué) 第1章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用知能基礎(chǔ)測試 新人教B版選修2-2一、選擇題(本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1曲線yx22x在點(diǎn) 處的切線的傾斜角為()A1B45°C45°D135°答案D解析yx2，所以斜率k121，因此傾斜角為135°.故選D.2下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是()A.1B(log2x)C(3x)3x·log3eD(x2cosx)2xsinx答案B解析1，所以A不正確；(3x)3xln3，所以C不正確；(x2cosx)2xcosxx2·(sinx)，所以D不正確；(log2x)，所以B對(duì)故選B.3如圖，一個(gè)正五角星薄片(其對(duì)稱軸與水面垂直)勻速地升出水面，記t時(shí)刻五角星露出水面部分的圖形面積為S(t)(S(0)0)，則導(dǎo)函數(shù)yS(t)的圖像大致為()答案A解析由圖象知，五角星露出水面的面積的變化率是增減增減，其中恰露出一個(gè)角時(shí)變化不連續(xù)，故選A.4已知函數(shù)f(x)x42x33m，xR，若f(x)90恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()AmBm>CmDm<答案A解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)x42x33m，所以f(x)2x36x2.令f(x)0，得x0或x3.經(jīng)檢驗(yàn)知x3是函數(shù)的一個(gè)最小值點(diǎn)，所以函數(shù)的最小值點(diǎn)為f(3)3m.不等式f(x)90恒成立，即f(x)9恒成立，所以3m9，解得m.5直線y4x與曲線yx3在第一象限內(nèi)圍成的封閉圖形的面積為()A2B4 C2D4答案D解析如圖所示由解得或第一象限的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,8)由定積分的幾何意義得S(4xx3)dx(2x2)|844.6已知f(x)xlnx，若f(x0)2，則x0()Ae2BeC.Dln2答案B解析f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)lnx1，由f(x0)2，得lnx012，解得x0e.7(xx·會(huì)寧縣期中)曲線f(x)x3x2的一條切線平行于直線y4x1，則切點(diǎn)P0的坐標(biāo)為()A(0，1)或(1,0)B(1,0)或(1，4)C(1，4)或(0，2)D(1,0)或(2,8)答案B解析由yx3x2，得y3x21，由已知得3x214，解之得x±1.當(dāng)x1時(shí)，y0；當(dāng)x1時(shí)，y4.切點(diǎn)P0的坐標(biāo)為(1,0)或(1，4)8函數(shù)f(x)x32x3的圖象在x1處的切線與圓x2y28的位置關(guān)系是()A相切B相交且過圓心C相交但不過圓心D相離答案C解析切線方程為y2x1，即xy10.圓心到直線的距離為<2，所以直線與圓相交但不過圓心故選C.9f(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，f(x)的圖象如圖所示，則f(x)的圖象可能是()答案D解析由圖可知，當(dāng)b>x>a時(shí)，f(x)>0，故在a，b上，f(x)為增函數(shù)且又由圖知f(x)在區(qū)間a，b上先增大后減小，即曲線上每一點(diǎn)處切線的斜率先增大再減小，故選D.10曲線yex在點(diǎn)(4，e2)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為()A.e2B4e2C2e2De2答案D解析ye，在點(diǎn)(4，e2)處的切線方程為ye2xe2，令x0得ye2，令y0得x2，圍成三角形的面積為e2.故選D.11已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f (x)a(xb)2c的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)的圖象可能是()答案D解析由導(dǎo)函數(shù)圖象可知，當(dāng)x<0時(shí)，函數(shù)f(x)遞減，排除A，B；當(dāng)0<x<x1時(shí)，f (x)>0，函數(shù)f(x)遞增因此，當(dāng)x0時(shí)，f(x)取得極小值，故選D.12(xx·甘肅省會(huì)寧一中高二期中)對(duì)于任意的兩個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)(a，b)和(c，d)，規(guī)定：(a，b)(c，d)，當(dāng)且僅當(dāng)ac，bd；運(yùn)算“”為：(a，b)(c，d)(acbd，bcad)；運(yùn)算“”為：(a，b)(c，d)(ac，bd)，設(shè)p，qR，若(1,2)(p，q)(5,0)，則(1,2)(p，q)()A(4,0)B(2,0) C(0,2)D(0，4)答案B解析由(1,2)(p，q)(5,0)得，所以(1,2)(p，q)(1,2)(1，2)(2,0)二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題4分，共16分將正確答案填在題中橫線上)13經(jīng)過點(diǎn)(2,0)且與曲線y相切的直線方程為_答案xy20解析設(shè)切點(diǎn)為，則，解得x01，所以切點(diǎn)為(1,1)，斜率為1，直線方程為xy20.14若函數(shù)f(x)在(0，)上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案a0解析f(x)a，由題意得，a0對(duì)x(0，)恒成立，即a，x(0，)恒成立a0.15(xx·安徽理，15)設(shè)x3axb0，其中a，b均為實(shí)數(shù)下列條件中，使得該三次方程僅有一個(gè)實(shí)根的是_(寫出所有正確條件的編號(hào))a3，b3；a3，b2；a3，b2；a0，b2；a1，b2.答案解析令f(x)x3axb，求導(dǎo)得f(x)3x2a，當(dāng)a0時(shí)，f(x)0，所以f(x)單調(diào)遞增，且至少存在一個(gè)數(shù)使f(x)<0，至少存在一個(gè)數(shù)使f(x)>0，所以f(x)x3axb必有一個(gè)零點(diǎn)，即方程x3axb0僅有一根，故正確；當(dāng)a<0時(shí)，若a3，則f(x)3x233(x1)(x1)，易知，f(x)在(，1)，(1，)上單調(diào)遞增，在1,1上單調(diào)遞減，所以f(x)極大f(1)13bb2，f(x)極小f(1)13bb2，要使方程僅有一根，則f(x)極大f(1)13bb2<0或者f(x)極小f(1)13bb2>0，解得b<2或b>2，故正確所以使得三次方程僅有一個(gè)實(shí)根的是.16已知函數(shù)f(x)x33x，若過點(diǎn)A(1，m)(m2)可作曲線yf(x)的三條切線，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_答案(3，2)解析f (x)3x23，設(shè)切點(diǎn)為P(x0，y0)，則切線方程為y(x3x0)(3x3)(xx0)，切線經(jīng)過點(diǎn)A(1，m)，m(x3x0)(3x3)(1x0)，m2x3x3，m6x6x0，當(dāng)0<x0<1時(shí)，此函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)x0<0或x0>1時(shí)，此函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)x00時(shí)，m3，當(dāng)x01時(shí)，m2，當(dāng)3<m<2時(shí)，直線ym與函數(shù)y2x3x3的圖象有三個(gè)不同交點(diǎn)，從而x0有三個(gè)不同實(shí)數(shù)根，故過點(diǎn)A(1，m)可作三條不同切線，m的取值范圍是(3，2)三、解答題(本大題共6個(gè)小題，共74分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17(本題滿分12分)設(shè)f(x)alnxx1，其中aR，曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線垂直于y軸(1)求a的值；(2)求函數(shù)f(x)的極值解析(1)因?yàn)閒(x)alnxx1，故f(x).由于曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線垂直于y軸，故該切線斜率為0，即f(1)0，從而a0，解得a1.(2)由(1)知f(x)lnxx1(x>0)，f(x).令f(x)0，解得x11，x2(因?yàn)閤2不在定義域內(nèi)，舍去)當(dāng)x(0,1)時(shí)，f(x)<0，故f(x)在(0,1)上為減函數(shù)；當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)>0，故f(x)在(1，)上為增函數(shù)故f(x)在x1處取得極小值f(1)3.18(本題滿分12分)已知函數(shù)f(x)ax3cxd(a0)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x1時(shí)，f(x)取得極值2.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極大值；(3)證明：對(duì)任意x1、x2(1,1)，不等式|f(x1)f(x2)|<4恒成立解析(1)f(x)是R上的奇函數(shù)，f(x)f(x)，即ax3cxdax3cxd，dd，d0(或由f(0)0得d0)f(x)ax3cx，f (x)3ax2c，又當(dāng)x1時(shí)，f(x)取得極值2，即解得f(x)x33x.(2)f (x)3x233(x1)(x1)，令f (x)0，得x±1，當(dāng)1<x<1時(shí)，f (x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x<1或x>1時(shí)，f (x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間是(，1)和(1，)；遞減區(qū)間為(1,1)因此，f(x)在x1處取得極大值，且極大值為f(1)2.(3)由(2)知，函數(shù)f(x)在區(qū)間1,1上單調(diào)遞減，且f(x)在區(qū)間1,1上的最大值為Mf(1)2.最小值為mf(1)2.對(duì)任意x1、x2(1,1)，|f(x1)f(x2)|<Mm4成立即對(duì)任意x1、x2(1,1)，不等式|f(x1)f(x2)|<4恒成立19(本題滿分12分)計(jì)算定積分|x3|dx.解析因?yàn)閒(x)|x3|所以原式(x3)dx (x3)dx.分別取F1(x)x23x，F(xiàn)2(x)x23x，則F1(x)x3，F(xiàn)2(x)x3.所以|x3|dx(x3)dx (x3)dx(x23x)|(x23x)|5.20(本題滿分12分)某銀行準(zhǔn)備新設(shè)一種定期存款業(yè)務(wù)，經(jīng)預(yù)測：存款量與存款利率的平方成正比，比例系數(shù)為k(k>0)，借款的利率為4.8%.又銀行吸收的存款能全部放貸出去(1)若存款利率為x，x(0,0.048)，試寫出存款量g(x)及銀行應(yīng)支付給儲(chǔ)戶的利息h(x)與存款利率x之間的關(guān)系式；(2)存款利率定為多少時(shí)，銀行可獲得最大收益？解析(1)由題意，存款量g(x)kx2.銀行應(yīng)支付的利息h(x)xg(x)kx3.(2)設(shè)銀行可獲得收益為y，則y0.048kx2kx3.y0.096kx3kx2.令y0，得x0(舍去)或x0.032。當(dāng)x(0,0.032)時(shí)，y>0；當(dāng)x(0.032,0.048)時(shí)，y<0.當(dāng)x0.032時(shí)，y取得最大值即當(dāng)存款利率為3.2%時(shí)，銀行可獲最大收益21(本題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)2x33(a1)x26ax8，其中aR.(1)若f(x)在x3處取得極值，求常數(shù)a的值；(2)若f(x)在(，0)上為增函數(shù)，求a的取值范圍解析(1)f(x)6x26(a1)x6a6(xa)(x1)因f(x)在x3處取得極值，所以f(3)6(3a)(31)0，解得a3.經(jīng)檢驗(yàn)知當(dāng)a3時(shí)，x3為f(x)的極值點(diǎn)(2)令f(x)6(xa)(x1)0得x1a，x21.當(dāng)a<0時(shí)，若x(，a)(1，)，則f(x)>0，所以f(x)在(，a)和(1，)上為增函數(shù)當(dāng)0a<1時(shí)，f(x)在(，0)上為增函數(shù)當(dāng)a1時(shí)，若x(，1)(a，)，則f(x)>0，所以f(x)在(，1)和(a，)上為增函數(shù)，從而f(x)在(，0)上為增函數(shù)綜上可知，當(dāng)a0時(shí)，f(x)在(，0)上為增函數(shù)22(本題滿分14分)(xx·福建理，20)已知函數(shù)f(x)ln (1x)，g(x)kx(kR)(1)證明：當(dāng)x0時(shí)，f(x)x；(2)證明：當(dāng)k1時(shí)，存在x00，使得對(duì)任意的x(0，x0)，恒有f(x)g(x)解析(1)令F(x)f(x)xln(1x)x，x0，)，則有F(x)1. 當(dāng)x(0，)時(shí)，F(xiàn)(x)0，所以F(x)在0，)上單調(diào)遞減； 故當(dāng)x0時(shí)，F(xiàn)(x)F(0)0，即當(dāng)x0時(shí)，f(x)x. (2)令G(x)f(x)g(x)ln(1x)kx，x0，)，則有G(x)k. 當(dāng)k0時(shí)G(x)0，所以G(x)在0，)上單調(diào)遞增，G(x)G(0)0， 故對(duì)任意正實(shí)數(shù)x0均滿足題意 當(dāng)0k1時(shí)，令G(x)0，得x10. 取x01，對(duì)任意x(0，x0)，恒有G(x)0，從而G(x)在0，x0)上單調(diào)遞增，G(x)G(0)0，即f(x)g(x)