2.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)1求函數(shù)的定義域，關(guān)鍵是依據(jù)含自變量x的代數(shù)式有意義來(lái)列出相應(yīng)的不等式(組)求解，如開(kāi)偶次方根，被開(kāi)方數(shù)一定是非負(fù)數(shù)；對(duì)數(shù)式中的真數(shù)是正數(shù)；列不等式時(shí)，應(yīng)列出所有的不等式，不應(yīng)遺漏對(duì)抽象函數(shù)，只要對(duì)應(yīng)法則相同，括號(hào)里整體的取值范圍就完全相同問(wèn)題1函數(shù)f(x)lg(1x)的定義域是_答案(1,1)(1，)2分段函數(shù)是在其定義域的不同子集上，分別用不同的式子來(lái)表示對(duì)應(yīng)法則的函數(shù)，它是一個(gè)函數(shù)，而不是幾個(gè)函數(shù)問(wèn)題2已知函數(shù)f(x)的值域?yàn)镽，那么a的取值范圍是_答案解析要使函數(shù)f(x)的值域?yàn)镽，需使所以所以1a<.3求函數(shù)最值(值域)常用的方法(1)單調(diào)性法：適合于已知或能判斷單調(diào)性的函數(shù)(2)圖象法：適合于已知或易作出圖象的函數(shù)(3)基本不等式法：特別適合于分式結(jié)構(gòu)或兩元的函數(shù)(4)導(dǎo)數(shù)法：適合于可導(dǎo)函數(shù)(5)換元法(特別注意新元的范圍)(6)分離常數(shù)法：適合于一次分式問(wèn)題3函數(shù)y(x0)的值域?yàn)開(kāi)答案解析方法一x0，2x1，1，解得y<1.其值域?yàn)閥.方法二y1，x0，0<，y.4判斷函數(shù)的奇偶性，要注意定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，有時(shí)還要對(duì)函數(shù)式化簡(jiǎn)整理，但必須注意使定義域不受影響問(wèn)題4f(x)是_函數(shù)(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)答案奇解析由得定義域?yàn)?1,0)(0,1)，f(x).f(x)f(x)，f(x)為奇函數(shù)5函數(shù)奇偶性的性質(zhì)(1)奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性完全相同；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性恰恰相反(2)若f(x)為偶函數(shù)，則f(x)f(x)f(|x|)(3)若奇函數(shù)f(x)的定義域中含有0，則必有f(0)0.“f(0)0”是“f(x)為奇函數(shù)”的既不充分又不必要條件問(wèn)題5設(shè)f(x)lg是奇函數(shù)，且在x0處有意義，則該函數(shù)在定義域上單調(diào)遞_答案增解析由題意可知f(0)0，即lg(2a)0，解得a1，故f(x)lg ，函數(shù)f(x)的定義域是(1,1)，在此定義域內(nèi)f(x)lg lg(1x)lg(1x)，函數(shù)y1lg(1x)是增函數(shù)，函數(shù)y2lg(1x)是減函數(shù)，故f(x)y1y2是增函數(shù)6判斷函數(shù)單調(diào)性的常用方法(1)能畫(huà)出圖象的，一般用數(shù)形結(jié)合法去觀察(2)由基本初等函數(shù)通過(guò)加減運(yùn)算或復(fù)合而成的函數(shù)，常轉(zhuǎn)化為基本初等函數(shù)單調(diào)性判斷問(wèn)題(3)對(duì)于解析式較復(fù)雜的，一般用導(dǎo)數(shù)(4)對(duì)于抽象函數(shù)，一般用定義法問(wèn)題6函數(shù)y|log2|x1|的遞增區(qū)間是_答案0,1)，2，)解析y作圖可知正確答案為0,1)，2，)7有關(guān)函數(shù)周期的幾種情況必須熟記：(1)f(x)f(xa)(a>0)，則f(x)的周期Ta；(2)f(xa)(f(x)0)或f(xa)f(x)，則f(x)的周期T2a.問(wèn)題7設(shè)f(x)是定義在R上的周期為3的函數(shù)，當(dāng)x2,1)時(shí)，f(x)則f _.答案18函數(shù)圖象的幾種常見(jiàn)變換(1)平移變換：左右平移“左加右減”(注意是針對(duì)x而言)；上下平移“上加下減”(2)翻折變換：f(x)|f(x)|；f(x)f(|x|)(3)對(duì)稱變換：證明函數(shù)圖象的對(duì)稱性，即證圖象上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心(軸)的對(duì)稱點(diǎn)仍在圖象上；函數(shù)yf(x)與yf(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱；函數(shù)yf(x)與yf(x)的圖象關(guān)于直線x0 (y軸)對(duì)稱；函數(shù)yf(x)與函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線y0(x軸)對(duì)稱問(wèn)題8函數(shù)y的對(duì)稱中心是_答案(1,3)9如何求方程根的個(gè)數(shù)或范圍求f(x)g(x)根的個(gè)數(shù)時(shí)，可在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)yf(x)和yg(x)的圖象，看它們交點(diǎn)的個(gè)數(shù)；求方程根(函數(shù)零點(diǎn))的范圍，可利用圖象觀察或零點(diǎn)存在性定理問(wèn)題9已知函數(shù)f(x)|x2|1，g(x)kx.若方程f(x)g(x)有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_答案解析先作出函數(shù)f(x)|x2|1的圖象，如圖所示，當(dāng)直線g(x)kx與直線AB平行時(shí)，斜率為1，當(dāng)直線g(x)kx過(guò)點(diǎn)A時(shí)，斜率為，故當(dāng)f(x)g(x)有兩個(gè)不相等的實(shí)根時(shí)，實(shí)數(shù)k的取值范圍是.10二次函數(shù)問(wèn)題(1)處理二次函數(shù)的問(wèn)題勿忘數(shù)形結(jié)合二次函數(shù)在閉區(qū)間上必有最值，求最值問(wèn)題用“兩看法”：一看開(kāi)口方向，二看對(duì)稱軸與所給區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系(2)若原題中沒(méi)有指出是“二次”方程、函數(shù)或不等式，要考慮到二次項(xiàng)系數(shù)可能為零的情形問(wèn)題10若關(guān)于x的方程ax2x10至少有一個(gè)正根，則a的取值范圍為_(kāi)答案11指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)可從定義域、值域、單調(diào)性、函數(shù)值的變化情況考慮，特別注意底數(shù)的取值對(duì)有關(guān)性質(zhì)的影響，另外，指數(shù)函數(shù)yax的圖象恒過(guò)定點(diǎn)(0,1)，對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax的圖象恒過(guò)定點(diǎn)(1,0)問(wèn)題11設(shè)alog36，blog510，clog714，則a，b，c的大小關(guān)系是_答案a>b>c12函數(shù)與方程(1)函數(shù)yf(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)0的根，也是函數(shù)yf(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)(2)yf(x)在a，b上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且f(a)f(b)<0，那么f(x)在(a，b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即至少存在一個(gè)x0(a，b)使f(x0)0.這個(gè)x0也就是方程f(x)0的根(3)用二分法求函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題12函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)答案113利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的步驟(1)確定函數(shù)yf(x)的定義域(2)求導(dǎo)數(shù)yf(x)(3)解方程f(x)0在定義域內(nèi)的所有實(shí)根(4)將函數(shù)yf(x)的間斷點(diǎn)(即函數(shù)無(wú)定義點(diǎn))的橫坐標(biāo)和各個(gè)實(shí)數(shù)根按從小到大的順序排列起來(lái)，分成若干個(gè)小區(qū)間(5)確定f(x)在各個(gè)小區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，由此確定每個(gè)區(qū)間的單調(diào)性特別提醒：(1)多個(gè)單調(diào)區(qū)間不能用“”連接；(2)f(x)為減函數(shù)時(shí)，f(x)0恒成立，但要驗(yàn)證f(x)是否恒等于0.問(wèn)題13若函數(shù)f(x)x2ln x1在其定義域內(nèi)的一個(gè)子區(qū)間(k1，k1)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_答案解析因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)2x，由f(x)0，得x.利用圖象(圖略)可得解得1k<.14導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)并不一定是極值點(diǎn)，例如：函數(shù)f(x)x3，有f(0)0，但x0不是極值點(diǎn)問(wèn)題14函數(shù)f(x)x4x3的極值點(diǎn)是_答案x115利用導(dǎo)數(shù)解決不等式問(wèn)題的思想(1)證明不等式f(x)<g(x)，可構(gòu)造函數(shù)h(x)f(x)g(x)，再證明h(x)max<0.(2)不等式恒成立問(wèn)題可利用分離參數(shù)法或直接求含參數(shù)的函數(shù)的最值問(wèn)題15已知函數(shù)f(x)x22axln x，若f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)答案解析由題意知f(x)x2a0在上恒成立，即2ax在上恒成立，因?yàn)閙ax，所以2a，即a.易錯(cuò)點(diǎn)1忽視函數(shù)的定義域例1函數(shù)y(x25x6)的單調(diào)增區(qū)間為_(kāi)易錯(cuò)分析忽視對(duì)函數(shù)定義域的要求，漏掉條件x25x6>0.解析由x25x6>0，知x>3或x<2.令ux25x6，則ux25x6在(，2)上是減函數(shù)，y(x25x6)的單調(diào)增區(qū)間為(，2)答案(，2)例2已知奇函數(shù)f(x)是定義在(3,3)上的減函數(shù)，且滿足不等式f(x3)f(x23)<0，求x的取值范圍易錯(cuò)分析解函數(shù)有關(guān)的不等式，除考慮單調(diào)性、奇偶性，還要把定義域放在首位解由得故0<x<.f(x)是奇函數(shù)，f(x3)<f(x23)f(3x2)又f(x)在(3,3)上是減函數(shù)，x3>3x2，即x2x6>0，解得x>2或x<3.綜上得2<x<，即x的取值范圍為(2，)易錯(cuò)點(diǎn)2分段函數(shù)意義不清例3若函數(shù)f(x)在(，)上單調(diào)，則a的取值范圍是_易錯(cuò)分析只考慮分段函數(shù)各段上函數(shù)值變化情況，忽視對(duì)定義域的臨界點(diǎn)處函數(shù)值的要求解析若函數(shù)在R上單調(diào)遞減，則有解得a；若函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則有解得1<a，故a的取值范圍是(，(1，答案(，(1，易錯(cuò)點(diǎn)3函數(shù)零點(diǎn)求解討論不全面例4若函數(shù)f(x)mx22x1有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_易錯(cuò)分析解本題易出現(xiàn)的錯(cuò)誤有分類(lèi)討論不全面、函數(shù)零點(diǎn)定理使用不當(dāng)，如忽視對(duì)m0的討論解析當(dāng)m0時(shí)，x為函數(shù)的零點(diǎn)；當(dāng)m0時(shí)，若0，即m1時(shí)，x1是函數(shù)惟一的零點(diǎn)，若0，顯然x0不是函數(shù)的零點(diǎn)，這樣函數(shù)有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)零點(diǎn)等價(jià)于方程f(x)mx22x10有一個(gè)正根一個(gè)負(fù)根，即mf(0)<0，即m<0.答案(，01易錯(cuò)點(diǎn)4混淆“在點(diǎn)”和“過(guò)點(diǎn)”致誤例5已知曲線f(x)x33x，過(guò)點(diǎn)A(0,16)作曲線f(x)的切線，求曲線的切線方程易錯(cuò)分析“在點(diǎn)”處的切線，說(shuō)明點(diǎn)在曲線上，且點(diǎn)是切點(diǎn)“過(guò)點(diǎn)”的切線，說(shuō)明切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)：當(dāng)這個(gè)點(diǎn)不在曲線上時(shí)，一定不是切點(diǎn)；當(dāng)這個(gè)點(diǎn)在曲線上時(shí)，也未必是切點(diǎn)解設(shè)切點(diǎn)為M(x0，x3x0)因?yàn)辄c(diǎn)M在切線上，所以x3x0(3x3)x016，得x02，所以切線方程為y9x16.易錯(cuò)點(diǎn)5極值點(diǎn)條件不清例6已知f(x)x3ax2bxa2在x1處有極值，且極值為10，則ab_.易錯(cuò)分析把f(x0)0作為x0為極值點(diǎn)的充要條件，沒(méi)有對(duì)a，b值進(jìn)行驗(yàn)證，導(dǎo)致增解解析f(x)3x22axb，由x1時(shí)，函數(shù)取得極值10，得聯(lián)立，得或當(dāng)a4，b11時(shí)，f(x)3x28x11(3x11)(x1)在x1兩側(cè)的符號(hào)相反，符合題意當(dāng)a3，b3時(shí)，f(x)3(x1)2在x1兩側(cè)的符號(hào)相同，所以a3，b3不符合題意，舍去綜上可知，a4，b11，所以ab7.答案7易錯(cuò)點(diǎn)6函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)關(guān)系理解不準(zhǔn)確例7若函數(shù)f(x)ax3x2x5在R上是增函數(shù)，則a的取值范圍是_易錯(cuò)分析誤認(rèn)為f(x)>0恒成立是f(x)在R上是增函數(shù)的必要條件，漏掉f(x)0的情況解析f(x)ax3x2x5的導(dǎo)數(shù)f(x)3ax22x1，由f(x)0，得解得a.答案1函數(shù)f(x)log2(x26)的定義域?yàn)開(kāi)答案(，)(，)解析由題意得x26>0x>或x<，即定義域?yàn)?，)(，)2若函數(shù)f(x)則滿足f(a)1的實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)答案1解析依題意，滿足f(a)1的實(shí)數(shù)a必不大于零，于是有由此解得a1.3(2018·江蘇溧陽(yáng)中學(xué)等三校聯(lián)考)若f(x)是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)x(0,1)時(shí)，f(x)x28x30，則f()_.答案24解析由已知，得f()f()f(4)，又f(4)(4)28(4)3024，故f()24.4已知函數(shù)f(x)其中m>0，若函數(shù)yf(f(x)1有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_答案(0,1)解析令f(f(x)1，得f(x)或f(x)m1<0，進(jìn)一步，得x或xm<0或x.因?yàn)閙>0，所以只要m<1，即0<m<1即可5(2018·南通模擬)若曲線yxln x在x1與xt處的切線互相垂直，則正數(shù)t的值為_(kāi)答案e2解析因?yàn)閥ln x1，所以(ln 11)(ln t1)1，所以ln t2，te2.6不等式logaxln2x<4(a>0，且a1)對(duì)任意x(1,100)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)答案(0,1)(，)解析不等式logaxln2x<4可化為ln2x<4，即<ln x對(duì)任意x(1,100)恒成立因?yàn)閤(1,100)，所以ln x(0,2ln 10)，ln x4，故<4，解得ln a<0或ln a>，即0<a<1或a>.7已知函數(shù)yf(x)(xR)上任一點(diǎn)(x0，f(x0)處的切線斜率k(x03)(x01)2，則該函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為_(kāi)答案(，3解析由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，f(x0)(x03)(x01)20，解得x03，即該函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是(，38已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)x24x，則不等式f(x)>x的解集為_(kāi)答案(5,0)(5，)解析方法一不等式f(x)>x的解集，即為函數(shù)yf(x)圖象在函數(shù)yx圖象上方部分x的取值范圍因?yàn)楹瘮?shù)f(x)和yx都是R上的奇函數(shù)，且方程f(x)x的根為±5,0，由圖象知，不等式f(x)>x的解集為(5,0)(5，)方法二令x<0，則x>0，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(x)f(x)(x)24(x)x24x.要使f(x)>x，則或或解得5<x<0或x>5，所以不等式f(x)>x的解集為(5,0)(5，)9已知函數(shù)f(x1)是偶函數(shù)，當(dāng)1<x1<x2時(shí)，f(x2)f(x1)(x2x1)>0恒成立，設(shè)af ，bf(2)，cf(3)，則a，b，c的大小關(guān)系為_(kāi)答案b<a<c解析因?yàn)閒(x1)是偶函數(shù)，所以f(x1)f(x1)，所以yf(x)關(guān)于直線x1對(duì)稱又1<x1<x2，f(x2)f(x1)(x2x1)>0，知yf(x)在1，)上是增函數(shù)，又f f ，且2<<3，所以f(2)<f <f(3)，即b<a<c.10已知函數(shù)f(x)若函數(shù)f(x)的圖象與直線yx有三個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值集合為_(kāi)答案16，20解析設(shè)h(x)sin xx，x(，1)，h(x)cos x10，則h(x)單調(diào)遞減，由于h(0)0，所以f(x)x在(，1)上僅有一個(gè)根設(shè)g(x)x39x224xa，則g(x)3x218x24，令g(x)3x218x240，得x12，x24.且g(x)在1,2上單調(diào)遞增，在2,4上單調(diào)遞減，在4，)上單調(diào)遞增，g(1)a16，g(2)a20，g(4)a16，因?yàn)間(x)0有且僅有兩個(gè)根，故g(1)g(4)a160或g(2)a200，解得a20或a16.11已知函數(shù)f(x)在x1處取得極值2.(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式；(2)當(dāng)m滿足什么條件時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間(m,2m1)上單調(diào)遞增？解(1)因?yàn)閒(x)，而函數(shù)f(x)在x1處取得極值2，所以即解得所以f(x)即為所求(2)由(1)知，f(x)，由f(x)>0可知，1<x<1，故f(x)的單調(diào)增區(qū)間是1,1所以解得1<m0.所以當(dāng)m(1,0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間(m,2m1)上單調(diào)遞增12已知函數(shù)f(x)(c>0且c1，kR)恰有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)，其中一個(gè)是xc.(1)求函數(shù)f(x)的另一個(gè)極值點(diǎn)；(2)求函數(shù)f(x)的極大值M和極小值m，并求Mm1時(shí)k的取值范圍解(1)f(x)，由題意知f(c)0，即得c2k2cck0，(*)c0，k0.c1.由f(x)0，得kx22xck0，另一個(gè)極值點(diǎn)為xc，即x1.(2)由(*)式得k，即c1.當(dāng)c>1時(shí)，k>0；當(dāng)0<c<1時(shí)，k<2.當(dāng)k>0時(shí)，f(x)在(，c)和(1，)上是減函數(shù)，在(c,1)上是增函數(shù)，Mf(1)>0，mf(c)<0，由Mm1及k>0，解得k.當(dāng)k<2時(shí)，f(x)在(，c)和(1，)上是增函數(shù)，在(c,1)上是減函數(shù)，Mf(c)>0，mf(1)<0，Mm11恒成立綜上可知，所求k的取值范圍為(，2)，)13