(理)第2講計(jì)數(shù)原理二項(xiàng)式定理 考情考向·高考導(dǎo)航1以實(shí)際生活為背景考查計(jì)數(shù)原理，排列與組合的簡(jiǎn)單應(yīng)用，以客觀題形式出現(xiàn)，難度中檔2考查二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式、二項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù)等簡(jiǎn)單問(wèn)題，以選擇題的形式出現(xiàn)，難度低中檔真題體驗(yàn)1(2018·全國(guó)卷)從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有_種(用數(shù)字填寫(xiě)答案)解析：當(dāng)有1位女生入選時(shí)，有CC12(種)，當(dāng)有2位女生入選時(shí)，有CC4(種)，由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可得不同選法共有12416(種)答案：162(2017·全國(guó)卷)安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，則不同的安排方式共有()A12種B18種C24種 D36種解析：D只能是一個(gè)人完成2份工作，剩下2人各完成一份工作由此把4份工作分成3份再全排得C·A36.3(2018·全國(guó)卷)5的展開(kāi)式中x4的系數(shù)為()A10 B20C40 D80解析：C5的第k1項(xiàng)為T(mén)k1C2kx103k.令103k4，得k2.x4的系數(shù)為C×2240.4(2019·全國(guó)卷)(12x2)(1x)4的展開(kāi)式中x3的系數(shù)為()A12 B16C20 D24解析：A本題主要考查二項(xiàng)式定理，利用展開(kāi)式通項(xiàng)公式求展開(kāi)式指定項(xiàng)的系數(shù)由題意得x3的系數(shù)為C2C4812，故選A.主干整合1排列與組合公式(1)An(n1)(n2)(nm1).(2)C.(3)CC；CCC.(4)CCCC.2二項(xiàng)式定理(1)(ab)nCanCan1bCanrbrCbn，二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)Tr1Canrbr.(2)在二項(xiàng)展開(kāi)式中，CC(r0,1,2，n)(3)CCC2n.(4)相鄰項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的關(guān)系為CCC.熱點(diǎn)一計(jì)數(shù)原理的簡(jiǎn)單應(yīng)用題組突破1(2019·石家莊質(zhì)檢)五名學(xué)生報(bào)名參加四項(xiàng)體育比賽，每人限報(bào)一項(xiàng)，則不同的報(bào)名方法的種數(shù)為_(kāi)五名學(xué)生爭(zhēng)奪四項(xiàng)比賽的冠軍(冠軍不并列)，則獲得冠軍的可能性有_種解析：五名學(xué)生參加四項(xiàng)體育比賽，每人限報(bào)一項(xiàng)，可逐個(gè)學(xué)生落實(shí)，每個(gè)學(xué)生有4種報(bào)名方法，共有45種不同的報(bào)名方法五名學(xué)生爭(zhēng)奪四項(xiàng)比賽的冠軍，可對(duì)4個(gè)冠軍逐一落實(shí)，每個(gè)冠軍有5種獲得的可能性，共有54種獲得冠軍的可能性答案：45；542(2020·大連模擬)現(xiàn)從甲、乙、丙等6名工人中安排4人分別照看一道工序，第一道工序只能從甲、乙兩工人中安排1人，第四道工序只能從甲、丙兩工人中安排1人，則不同的安排方案共有_種解析：分兩類(lèi)：第一道工序安排甲時(shí)有1×1×4×312種；第一道工序不安排甲有1×2×4×324種共有122436種答案：363(2020·百校聯(lián)盟聯(lián)考)某山區(qū)希望小學(xué)為豐富學(xué)生的伙食，教師們?cè)谛@附近開(kāi)辟了如圖所示的四塊菜地，分別種植西紅柿、黃瓜、茄子三種產(chǎn)量大的蔬菜，若這三種蔬菜種植齊全，同一塊地只能種植一種蔬菜，且相鄰的兩塊地不能種植相同的蔬菜，則不同的種植方式共有()1234A.9種B18種C12種 D36種解析：B若種植2塊西紅柿，則他們?cè)?3,14或24位置上種植，剩下兩個(gè)位置種植黃瓜和茄子，所以共有3×26(種)種植方式；若種植2塊黃瓜或2塊茄子也是3種種植方式，所以一共有6×318(種)種植方式(1)在應(yīng)用分類(lèi)加法計(jì)算原理和分步乘法計(jì)算原理時(shí)，一般先分類(lèi)再分步，每一步當(dāng)中又可能用到分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理(2)對(duì)于復(fù)雜的兩個(gè)原理綜合使用的問(wèn)題，可恰當(dāng)列出示意圖或表格，使問(wèn)題形象化、直觀化熱點(diǎn)二排列與組合的應(yīng)用數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)數(shù)學(xué)建模排列組合問(wèn)題中的核心素養(yǎng)用排列組合解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵是排列組合模型，將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，充分體現(xiàn)了“數(shù)學(xué)建?！钡暮诵乃仞B(yǎng).例1(1)(2020·濰坊模擬)中國(guó)古代中的“禮、樂(lè)、射、御、書(shū)、數(shù)”合稱(chēng)“六藝”“禮”，主要指德育：“樂(lè)”，主要指美育；“射”和“御”，就是體育和勞動(dòng)；“書(shū)”，指各種歷史文化知識(shí)；“數(shù)”，數(shù)學(xué)某校國(guó)學(xué)社團(tuán)開(kāi)展“六藝”課程講座活動(dòng)，每藝安排一節(jié)，連排六節(jié)，一天課程講座排課有如下要求：“數(shù)”必須排在前三節(jié)，且“射”和“御”兩門(mén)課程相鄰排課，則“六藝”課程講座不同的排課順序共有()A120種B156種C188種 D240種解析A當(dāng)“數(shù)”排在第一節(jié)時(shí)有A·A48(種)排法，當(dāng)“數(shù)”排在第二節(jié)時(shí)有A·A·A36(種)排法，當(dāng)“數(shù)”排在第三節(jié)時(shí)，若“射”和“御”兩門(mén)課程排在第一、二節(jié)時(shí)有A·A12(種)排法；若“射”和“御”兩門(mén)課程排在后三節(jié)時(shí)有A·A·A24(種)排法，所以滿(mǎn)足條件的共有48361224120(種)排法(2)(2020·吉林調(diào)研)從6男2女共8名學(xué)生中選出隊(duì)長(zhǎng)1人，副隊(duì)長(zhǎng)1人，普通隊(duì)員2人組成4人服務(wù)隊(duì)，要求服務(wù)隊(duì)中至少有1名女生，共有_種不同的選法(用數(shù)字作答)解析法一：只有1名女生時(shí)，先選1名女生，有C種方法；再選3名男生，有C種方法；然后排隊(duì)長(zhǎng)、副隊(duì)長(zhǎng)位置，有A種方法由分步乘法計(jì)數(shù)原理，知共有CCA480(種)選法有2名女生時(shí)，再選2名男生，有C種方法；然后排隊(duì)長(zhǎng)、副隊(duì)長(zhǎng)位置，有A種方法由分步乘法計(jì)數(shù)原理，知共有CA180(種)選法所以依據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理知共有480180660(種)不同的選法法二：不考慮限制條件，共有AC種不同的選法，而沒(méi)有女生的選法有AC種故至少有1名女生的選法有ACAC840180660(種)答案660(3)(2018·浙江卷)從1,3,5,7,9中任取2個(gè)數(shù)字，從0,2,4,6中任取2個(gè)數(shù)字，一共可以組成_個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)(用數(shù)字作答)解析CCACCCA7205401 260.答案1 260求解排列、組合問(wèn)題的思路：排組分清，加乘明確；有序排列，無(wú)序組合；分類(lèi)相加，分步相乘具體地說(shuō)，解排列組合的應(yīng)用題，通常有以下途徑(1)以元素為主體，即先滿(mǎn)足特殊元素的要求，再考慮其他元素(2)以位置為主體，即先滿(mǎn)足特殊位置的要求，再考慮其他位置(3)先不考慮附加條件，計(jì)算出排列數(shù)或組合數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù)或組合數(shù)解答計(jì)數(shù)問(wèn)題多利用分類(lèi)討論思想分類(lèi)應(yīng)在同一標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行，確保“不漏”、“不重”(1)(2020·福州模擬)福州西湖公園花展期間，安排6位志愿者到4個(gè)展區(qū)提供服務(wù)，要求甲、乙兩個(gè)展區(qū)各安排一個(gè)人，剩下的兩個(gè)展區(qū)各安排兩個(gè)人，不同的安排方案共有()A90種 B180種C270種 D360種解析：B可分兩步：第一步，甲、乙兩個(gè)展區(qū)各安排一個(gè)人，有A種不同的安排方案；第二步，剩下兩個(gè)展區(qū)各兩個(gè)人，有CC種不同的安排方案，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的安排方案的種數(shù)為ACC180.故選B.(2)把5件不同產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰，且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰，則不同的擺法有_種解析：記5件產(chǎn)品為A、B、C、D、E，A、B相鄰視為一個(gè)元素，先與D、E排列，有AA種方法；再將C插入，僅有3個(gè)空位可選，共有AAC2×6×336種不同的擺法答案：36熱點(diǎn)三二項(xiàng)式定理的應(yīng)用與特定項(xiàng)有關(guān)的問(wèn)題例21(1)(2020·揭陽(yáng)模擬)已知(x1)5的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為40，則a的值為()A2B2C±2 D4解析C5展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為T(mén)k1C(ax)5kk(1)ka5kCx52k，令52k1，可得k3，結(jié)合題意可得(1)3a53C40，即10a240，a±2.(2)(2019·漢中二模)5的展開(kāi)式中整理后的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)解析510的通項(xiàng)公式：Tr1C()10rrCx5r，令5r0，解得r5.所以常數(shù)項(xiàng)C252.答案252展開(kāi)式中系數(shù)的和例22(1)(2020·德州調(diào)研)(ax)(1x)4的展開(kāi)式中x的奇數(shù)次冪的項(xiàng)的系數(shù)之和為32，則a_.解析設(shè)(ax)(1x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5.令x1，得(a1)×24a0a1a2a3a4a5.令x1，得0a0a1a2a3a4a5.，得16(a1)2(a1a3a5)2×32，a3.答案3(2)(2019·寧夏二模)已知(axb)6的展開(kāi)式中含x4項(xiàng)的系數(shù)與含x5項(xiàng)的系數(shù)分別為135與18，則(axb)6的展開(kāi)式中所有項(xiàng)系數(shù)之和為()A1 B1C32 D64解析D由二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式可知含x4項(xiàng)的系數(shù)為Ca4b2，含x5項(xiàng)的系數(shù)為Ca5b，則由題意可得解得ab±2，故(axb)6的展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為(ab)664，故選D.與二項(xiàng)式定理有關(guān)的類(lèi)型及解法類(lèi)型解法求特定項(xiàng)或其系數(shù)常采用通項(xiàng)公式分析求解系數(shù)的和或差常用賦值法近似值問(wèn)題利用展開(kāi)式截取部分項(xiàng)求解整除(或余數(shù))問(wèn)題利用展開(kāi)式求解(1)(2019·石家莊二模)設(shè)asin xdx，則6的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是()A160 B160C20 D20解析：A依題意得，a(cos cos 0)2，66的展開(kāi)式的通項(xiàng)Tr1C·(2)6rrC·26r·(1)r·x3r.令3r0，得r3.因此6的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為C×23×(1)3160，故選A.(2)(2019·蘭州二模)已知(x22x3y)5的展開(kāi)式中x5y2的系數(shù)為()A60 B180C520 D540解析：D(x22x3y)5可看作5個(gè)(x22x3y)相乘，從中選2個(gè)y，有C種選法；再?gòu)氖Ｓ嗟娜齻€(gè)括號(hào)里邊選出2個(gè)x2，最后一個(gè)括號(hào)選出x，有C·C種選法；所以x5y2的系數(shù)為32C·C·2·C540.(3)(2019·煙臺(tái)三模)若將函數(shù)f(x)x5表示為f(x)a0a1(1x)a2(1x)2a5(1x)5，其中a0，a1，a2，a5為實(shí)數(shù)，則a3_.解析：f(x)x5(1x1)5，它的通項(xiàng)為T(mén)k1C(1x)5k·(1)k，T3C(1x)3(1)210(1x)3，a310.答案：10限時(shí)40分鐘滿(mǎn)分80分一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分)1(2020·濟(jì)寧模擬)從4臺(tái)甲型裝載機(jī)和5臺(tái)乙型裝載機(jī)中任意取出3臺(tái)，在取出的3臺(tái)中至少有甲型和乙型裝載機(jī)各一臺(tái)，則不同的取法共有()A84種 B80種C70種 D35種解析：C根據(jù)題意可分為以下2種情況進(jìn)行考慮：(1)甲型裝載機(jī)2臺(tái)和乙型裝載機(jī)1臺(tái)，取法有CC30種；(2)甲型裝載機(jī)1臺(tái)和乙型裝載機(jī)2臺(tái)，取法有CC40種所以不同的取法共有304070種2(2019·唐山二模)用兩個(gè)1，一個(gè)2，一個(gè)0可組成不同四位數(shù)的個(gè)數(shù)是()A18 B16C12 D9解析：D若把兩個(gè)1看作不同的數(shù)，先安排0有3種情況，安排第2個(gè)數(shù)有3種情況，安排第3個(gè)數(shù)有2種情況，安排第4個(gè)數(shù)有1種情況，一共有3×3×2×118種情況，由于有兩個(gè)1，所以其中一半重復(fù)，故有9個(gè)四位數(shù)3(全國(guó)卷)(xy)(2xy)5的展開(kāi)式中x3y3的系數(shù)為()A80 B40C40 D80解析：C由(2xy)5展開(kāi)式的通項(xiàng)公式：Tr1C(2x)5r(y)r可得：當(dāng)r3時(shí)，x(2xy)5展開(kāi)式中x3y3的系數(shù)為C×22×(1)340當(dāng)r2時(shí)，y(2xy)5展開(kāi)式中x3y3的系數(shù)為C×23×(1)280，則x3y3的系數(shù)為804040.本題選擇C選項(xiàng)4(2020·合肥調(diào)研)用數(shù)字0,1,2,3,4組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字且大于3 000的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)有()A250個(gè) B249個(gè)C48個(gè) D24個(gè)解析：C當(dāng)千位上的數(shù)字為4時(shí)，滿(mǎn)足條件的四位數(shù)有A24(個(gè))；當(dāng)千位上的數(shù)字為3時(shí)，滿(mǎn)足條件的四位數(shù)有A24(個(gè))由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理得所有滿(mǎn)足條件的四位數(shù)共有242448(個(gè))，故選C.5(2020·龍巖模擬)若n的展開(kāi)式中只有第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開(kāi)式中含x2項(xiàng)的系數(shù)是()A462 B462C792 D792解析：Dn的展開(kāi)式中只有第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，n為偶數(shù)，展開(kāi)式共有13項(xiàng)，則n12.12的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為T(mén)k1(1)kC·x122k，令122k2，即k5.展開(kāi)式中含x2項(xiàng)的系數(shù)是(1)5C792.6(2019·渭南二模)已知n(nN*)展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)的和為243，則該展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為()A20 B20C640 D640解析：An(nN*)展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)的和為3n243，n5，故n5，它的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為T(mén)r1C·(1)r·45r·x.令2，得r4，展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為C×420.7現(xiàn)有12張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各3張，從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同的取法種數(shù)是()A135 B172C189 D162解析：C由題意，不考慮特殊情況有C種取法，其中每一種卡片各取3張有4種取法，兩張紅色卡片共有CC種取法，故所求的取法種數(shù)為C4CC189，選C.8(2020·惠州二調(diào))某地實(shí)行高考改革，考生除參加語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)統(tǒng)一考試外，還需從物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理六科中選考三科學(xué)生甲要想報(bào)考某高校的法學(xué)專(zhuān)業(yè)，就必須要從物理、政治、歷史三科中至少選考一科，則學(xué)生甲的選考方法種數(shù)為()A6 B12C18 D19解析：D在物理、政治、歷史中選一科的選法有CC9(種)；在物理、政治、歷史中選兩科的選法有CC9(種)；物理、政治、歷史三科都選的選法有1種所以學(xué)生甲的選考方法共有99119(種)，故選D.9(2020·成都診斷)已知x5(x3)3a8(x1)8a7(x1)7a1(x1)a0，則7a75a53a3a1()A16 B8C8 D16解析：B對(duì)x5(x3)3a8(x1)8a7(x1)7a1(x1)a0兩邊求導(dǎo)，得5x4(x3)33x5(x3)28a8(x1)77a7(x1)6a1，令x0，得08a87a7a1，令x2，得5×(2)4×(23)33×(2)5×(23)28a87a72a2a1，兩式左右分別相加，得162(7a75a53a3a1)，即7a75a53a3a18，選B.10(2020·鄭州模擬)5位大學(xué)畢業(yè)生分配到3家單位，每家單位至少錄用1人，則不同的分配方法共有()A25種 B60種C90種 D150種解析：D因?yàn)?位大學(xué)畢業(yè)生分配到3家單位，每家單位至少錄用1人，所以共有兩種方法：一，一個(gè)單位1名，其他兩個(gè)單位各2名，有×A90(種)分配方法；二，一個(gè)單位3名，其他兩個(gè)單位各1名，有C×A60(種)分配方法，共有9060150(種)分法，故選D.11(2019·江西上饒三模)已知m3cosdx，則(x2y3z)m的展開(kāi)式中含xm2yz項(xiàng)的系數(shù)等于()A180 B180C90 D15解析：B由于m3cosdx3sin xdx(3cos x) 6，所以(x2y3z)m(x2y3z)6(x2y)3z6，其展開(kāi)式的通項(xiàng)為C(x2y)6k(3z)k，當(dāng)k1時(shí)，展開(kāi)式中才能含有x4yz項(xiàng)，這時(shí)(x2y)5的展開(kāi)式的通項(xiàng)為C·x5S(2y)S，當(dāng)S1時(shí)，含有x4y項(xiàng)，系數(shù)為10，故(x2y3z)6的展開(kāi)式中含x4yz項(xiàng)的系數(shù)為C·(10)×3180.12(2019·濰坊三模)為迎接建國(guó)七十周年，某校舉辦了“祖國(guó)，你好”的詩(shī)歌朗誦比賽該校高三年級(jí)準(zhǔn)備從包括甲、乙、丙在內(nèi)的7名學(xué)生中選派4名學(xué)生參加，要求甲、乙、丙這3名同學(xué)中至少有1人參加，且當(dāng)這3名同學(xué)都參加時(shí)，甲和乙的朗誦順序不能相鄰，那么選派的4名學(xué)生中不同的朗誦順序的種數(shù)為()A720 B768C810 D816解析：B由題意知結(jié)果有三種情況(1)甲、乙、丙三名同學(xué)全參加，有CA96(種)情況，其中甲、乙相鄰的有CAA48(種)情況，所有當(dāng)甲、乙、丙三名同學(xué)全參加時(shí)，甲和乙的朗誦順序不能相鄰的有964848(種)情況；(2)甲、乙、丙三名同學(xué)恰有一人參加，不同的朗誦順序有CCA288(種)情況；(3)甲、乙、丙三名同學(xué)恰有二人參加時(shí)，不同的朗誦順序有CCA432(種)情況則選派的4名學(xué)生不同的朗誦順序有28843248768(種)情況，故選B.二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13從1,3,5,8,9中任取3個(gè)數(shù)字，從0,2,7,6中任取2個(gè)數(shù)字，一共可以組成_個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)(用數(shù)字作答)解析：CCACCCA3 6002 1605 760.答案：5 76014(2019·天水二模)(1x)(1x)6的展開(kāi)式中，x3的系數(shù)是_(用數(shù)字作答)解析：由題意可知，(1x)6展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r1C·16r·(x)r(1)rC·xr，則(1x)(1x)6的展開(kāi)式中，含x3的項(xiàng)為(1)3Cx3x·(1)2Cx220x315x35x3，所以x3的系數(shù)是5.答案：515(2019·浙江卷)在二項(xiàng)式(x)9的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)是_，系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)是_解析：此類(lèi)問(wèn)題解法比較明確，首要的是要準(zhǔn)確記憶通項(xiàng)公式，特別是“冪指數(shù)”不能記混，其次，計(jì)算要細(xì)心，確保結(jié)果正確(x)9的通項(xiàng)為T(mén)r1C()9rxr(r0,1,29)可得常數(shù)項(xiàng)為T(mén)1C()916，因系數(shù)為有理數(shù)，r1,3,5,7,9，有T2，T4，T6，T8，T10共5個(gè)項(xiàng)答案：16516(2020·甘肅模擬)根據(jù)黨中央關(guān)于“精準(zhǔn)”脫貧的要求，我市某農(nóng)業(yè)經(jīng)濟(jì)部門(mén)決定派出五位相關(guān)專(zhuān)家對(duì)三個(gè)貧困地區(qū)進(jìn)行調(diào)研，每個(gè)地區(qū)至少派遣一位專(zhuān)家，其中甲、乙兩位專(zhuān)家需要派遣至同一地區(qū)，則不同的派遣方案種數(shù)為_(kāi)(用數(shù)字作答)解析：由題意可知，可分為兩類(lèi)：一類(lèi)：甲乙在一個(gè)地區(qū)時(shí)，剩余的三位分為兩組，再三組派遣到三個(gè)地區(qū)，共有CA18種不同的派遣方式；另一類(lèi)：甲乙和剩余的三人中的一個(gè)人同在一個(gè)地區(qū)，另外兩人分別在兩個(gè)地區(qū)，共有CA18種不同的派遣方式；由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可得，不用的派遣方式共有181836種不同的派遣方式答案：36- 11 -