2022年高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí) 第三部分 題型技法考前提分 題型專項訓(xùn)練6 立體幾何 新人教A版1.如圖,在三棱錐P-ABC中,PA=PB=2,PC=4,APB=BPC=60°,cosAPC=.(1)求證:平面PAB平面PBC;(2)E為BC上的一點.若直線AE與平面PBC所成的角為30°,求BE的長.2.如圖,四邊形ABCD為平行四邊形,AB=5,AD=4,BD=3,將BCD沿著BD翻折到平面BC1D處,E,F分別為邊AB,C1D的中點.(1)求證:EF平面BCC1;(2)若異面直線EF,BC1所成的角為30°,求直線C1D與平面ABCD所成角的正弦值.3.(xx浙江寧波期末考試,文18)如圖,已知AB平面BEC,ABCD,AB=BC=4,CD=2,BEC為等邊三角形.(1)求證:平面ABE平面ADE;(2)求AE與平面CDE所成角的正弦值.4.(xx浙江湖州第三次教學(xué)質(zhì)量調(diào)測,文18)如圖,在三棱錐P-ABC中,ABC是邊長為2的正三角形,PCA=90°,E,H分別為AP,AC的中點,AP=4,BE=.(1)求證:AC平面BEH;(2)求直線PA與平面ABC所成角的正弦值.5.在三棱錐V-ABC中,VC底面ABC,ACBC,D是AB的中點,且AC=BC=2,VDC=.(1)求證:平面VAB平面VCD;(2)當(dāng)角變化時,求直線BC與平面VAB所成的角的取值范圍.6.如圖,AB為圓O的直徑,點E,F在圓O上,且ABEF,矩形ABCD所在的平面和圓O所在的平面互相垂直,且AB=2,AD=EF=1.(1)求證:AF平面CBF;(2)設(shè)FC的中點為M,求證:OM平面DAF;(3)設(shè)平面CBF將幾何體EFABCD分成的兩個錐體的體積分別為VF-ABCD,VF-CBE,求VF-ABCDVF-CBE.答案題型專項訓(xùn)練6立體幾何(解答題專項)1.(1)證明:在PAB中,由PA=PB=2,APB=60°,得AB=2.在PBC中,PB=2,PC=4,BPC=60°,由余弦定理,得BC=2.在PAC中,PA=2,PC=4,cosAPC=,由余弦定理,得AC=4.因為AB2+BC2=AC2,所以ABBC.因為PB2+BC2=PC2,所以PBBC.又因為ABPB=B,所以BC平面PAB.又因為BC平面PBC,所以平面PAB平面PBC.(2)解:取PB的中點F,連接EF,則AFPB.又因為平面PAB平面PBC,平面PAB平面PBC=PB,AF平面PAB,所以AF平面PBC.因此AEF是直線AE與平面PBC所成的角,即AEF=30°.在正PAB中,AF=PA=.在RtAEF中,AE=2.在RtABE中,BE=2.2.(1)證明:連接CC1,取CC1的中點G,連接FG,BG,EF.四邊形ABCD是平行四邊形,F,G分別為C1D,CC1的中點,FGCD,EBCD且FG=EB=CD,EBFG且EB=FG,四邊形BEFG是平行四邊形,EFBG,BG平面BCC1,EF平面BCC1,EF平面BCC1.(2)解:由(1)可知,C1BG即為異面直線EF,BC1的所成角,C1BG=30°.BC1=BC,C1BC=60°,C1BC是正三角形.又AB=5,AD=4,BD=3,ADB=CBD=C1BD=90°.BDBC,BDBC1,且BCBC1=B,BD平面BCC1,平面ABCD平面BCC1.過C1作C1HBC,垂足為H,則C1H平面ABCD,連接DH,則C1DH即為直線C1D與平面ABCD所成的角,sinC1DH=.3.(1)證明:取AE的中點F,連接BF,DF.由AB=BE=4,知BFAE,計算可得BF=2,AD=DE=BD=2,DF=2,則BF2+DF2=8+12=20=BD2,即BFDF.因為AEDF=F,所以BF平面ADE.又BF平面ABE,所以平面ABE平面ADE.(2)解:如圖,補(bǔ)全成正三棱柱AMN-BEC,取MN中點H,連接AH,EH.由題意知AMN為正三角形,則AHMN,又CD平面AMN,AH平面AMN,所以AHCD.因為MNCD=N,所以AH平面CDE,則AEH即為AE與平面CDE所成的角,在AEH中,AHEH,AH=2,AE=4,sinAEH=,即AE與平面CDE所成角的正弦值為.4.(1)證明:因為ABC是邊長為2的正三角形,所以BHAC.又因為E,H分別為AP,AC的中點,所以EHPC,因為PCA=90°,所以PCAC,所以EHAC.因為EHBH=H,所以AC平面BEH.(2)解:取BH的中點G,連接AG.因為EH=BH=BE=,所以EGBH.又因為AC平面BEH,EG平面BEH,所以EGAC.因為BHAC=H,所以EG平面ABC.所以EAG為PA與平面ABC所成的角.在直角三角形EAG中,AE=2,EG=,所以sinEAG=.所以PA與平面ABC所成的角的正弦值為.5.(1)證明:AC=BC,D是AB的中點,CDAB,VC底面ABC,AB平面ABC,VCAB.VCCD=C,AB平面VCD.又AB平面VAB,平面VAB平面VCD.(2)解:過點C在平面VCD內(nèi)作CHVD于點H,連接BH,由(1)知ABCH,VDAB=D,CH平面VAB,CBH就是直線BC與平面VAB所成的角.在RtCHD中,CD=,CH=sin .設(shè)CBH=,在RtBHC中,CH=2sin .sin =sin ,0<<,0<sin <1,則0<sin <.又0,0<<.6.(1)證明:平面ABCD平面ABEF,CBAB,平面ABCD平面ABEF=AB,CB平面ABEF.AF平面ABEF,AFCB.又AB為圓O的直徑,AFBF.CBBF=B,AF平面CBF.(2)解:設(shè)DF的中點為N,連接AN,MN,則MN􀰿CD.又AO􀰿CD,則MN􀰿AO,四邊形MNAO為平行四邊形,OMAN.又AN平面DAF,OM平面DAF,OM平面DAF.(3)解:過點F作FGAB于G,平面ABCD平面ABEF,FG平面ABCD,VF-ABCD=SABCD·FG=FG.CB平面ABEF,VF-CBE=VC-BFE=SBFE·CB=EF·FG·CB=FG,VF-ABCDVF-CBE=41.