《2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題2 三角函數(shù)、三角變換、解三角形、平面向量 專題綜合檢測(cè)二 文》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題2 三角函數(shù)、三角變換、解三角形、平面向量 專題綜合檢測(cè)二 文(8頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題2 三角函數(shù)、三角變換、解三角形、平面向量 專題綜合檢測(cè)二 文
一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1.已知α為第二象限角,sin α+cos α=,則cos 2α=(A)
A.- B.- C. D.
解析:sin α+cos α=,
兩邊平方可得1+sin 2α=?sin 2α=-,
∵α是第二象限角,因此sin α>0,cos α<0,
所以cos α-sin α=-=-=-.
∴cos 2α=cos2α-sin2α=(co
2、s α+sin α)(cos α-sin α)=-.
2.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,已知8b=5c,C=2B,則cos C=(A)
A. B.- C.± D.
解析:∵8b=5c,由正弦定理得8sin B=5sin C.
又∵C=2B,∴8sin B=5sin 2B.
所以8sin B=10sin Bcos B.易知sin B≠0,
∴cos B=,cos C=cos 2B=2cos2 B-1=.
3.函數(shù)y=2cos2-1是(A)
A.最小正周期為π的奇函數(shù)
B.最小正周期為π的偶函數(shù)
C.最小正周期為的奇函數(shù)
D.最小正周期
3、為的偶函數(shù)
解析:因?yàn)閥=2cos2-1=cos=sin 2x為奇函數(shù),T==π.故選A.
4.在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若a= ,b= ,B=45°,則A=(D)
A.30° B.30°或105°
C.60° D.60°或120°
5. (xx·安徽卷)若將函數(shù)f(x)=sin 2x+cos 2x的圖象向右平移φ個(gè)單位,所得圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,則φ的最小正值是(C)
A. B. C. D.
解析:由題意f(x)=sin 2x+cos 2x=sin,將其圖象向右平移φ個(gè)單位,得sin=sin,要使圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,則-2φ=+kπ,解得φ
4、=--,當(dāng)k=-1時(shí),φ取最小正值.故選C.
6.(xx·新課標(biāo)Ⅰ卷)已知點(diǎn)A(0,1),B(3,2),向量=(-4,-3),則向量=(A)
A.(-7,-4) B.(7,4)
C.(-1,4) D.(1,4)
解析:解法一 設(shè)C(x,y),則=(x,y-1)=(-4,-3),
所以從而=(-4,-2)-(3,2)=(-7,-4).故選A.
解法二 =(3,2)-(0,1)=(3,1),=-=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).故選A.
7.在△ABC中,a,b,c分別為三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊,設(shè)向量m=(b-c,c-a),n=(b,c+a),若向量m⊥n
5、,則角A的大小為(B)
A. B. C. D.
解析:∵m=(b-c,c-a),n=(b,c+a)且m⊥n,
∴m·n=(b-c,c-a)·(b,c+a)=b(b-c)+c2-a2=0,即b2+c2-a2=bc,又∵cos A===,0<A<π,∴A=.
8.設(shè)0≤x<2π,且 =sin x-cos x,則x的取值范圍是(B)
A.0≤x≤π B.≤x≤
C.≤x≤ D.≤x≤
9.(xx·新課標(biāo)Ⅰ卷)設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),=3,則(A)
A.=-+ B.=-
C.=+ D.=-
解析:=+=+=+(-)=-=-+.故選A.
10.(xx
6、·新課標(biāo)Ⅰ卷)已知M(x0,y0)是雙曲線C:-y2=1上的一點(diǎn),F(xiàn)1,F(xiàn)2是C的兩個(gè)焦點(diǎn).若·<0,則y0的取值范圍是(A)
A. B.
C. D.
解析:由題意知a=,b=1,c=,∴ F1(-,0),F(xiàn)2(,0),∴ =(--x0,-y0),=(-x0,-y0).∵ ·<0,
∴ (--x0)(-x0)+y<0,即x-3+y<0.
∵ 點(diǎn)M(x0,y0)在雙曲線上,
∴ -y=1,即x=2+2y,
∴ 2+2y-3+y<0,∴ -<y0<.故選A.
11.已知tan α=-,則cos2=(A)
A. B. C. D.
12.若向量a、b滿足|a|=|
7、b|=1,且(a+b)·b=,向量a、b的夾角為(B)
A. B. C. D.
二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.請(qǐng)把正確答案填在題中橫線上)
13.設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若(a+b-c)(a+b+c)=ab,則角C= ?。?
解析:由(a+b-c)(a+b+c)=ab?a2+b2-c2=-ab,根據(jù)余弦定理可得 cos C==-?C=.
答案:
14.(xx·新課標(biāo)Ⅱ卷)設(shè)向量a,b不平行,向量λa+b與a+2b平行,則實(shí)數(shù)λ= W.
解析:∵ λa+b與a+2b平行,∴ λa+b=t(a+2b),即λa+b
8、=ta+2tb,∴ 解得
答案:
15.當(dāng)函數(shù)y=sin x-cos x(0≤x<2π)取得最大值時(shí),x= W.
解析:y=sin x-cos x=2sin,
0≤x<2π?-≤x-<,
可知-2≤2sin≤2.
當(dāng)且僅當(dāng)x-=時(shí),即x=時(shí)取得最大值.
答案:
16.(xx·江蘇卷)若△ABC的內(nèi)角滿足sin A+sin B=2sin C,則cos C的最小值是 ?。?
解析:由已知sin A+sin B=2sin C及正弦定理可得a+b=2c,cos C===≥=,當(dāng)且僅當(dāng)3a2=2b2即=時(shí)等號(hào)成立.
答案:
三、解答題(本大題共6小題,共70分
9、.解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)
17.(10分)(xx·茂名一模)設(shè)銳角三角形ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且a=2bsin A.
(1)求角B的大??;
(2)若a=3,c=5,求△ABC的面積及b.
解析:(1)∵a=2bsin A,由正弦定理得sin A=2sin Bsin A,由于sin A≠0,故有sin B=,
又∵B是銳角,∴B=30°.
(2)依題意得:
S△ABC=acsin 30°=×3×5×=,
∴由余弦定理b2=a2+c2-2accos B可得
b2=(3)2+52-2×3×5×cos 30°
=27+25-45=7
10、,
∴b=.
18.(12分)(xx·安徽卷)已知函數(shù)f(x)=(sin x+cos x)2+cos 2x.
(1)求f(x)最小正周期;
(2)求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值.
分析:(1)化簡(jiǎn)可得f(x)=sin+1,即可求出f(x)的最小正周期T==π;
(2)∵x∈,所以sin x∈,即可求出最值.
解析:(1)∵f(x)=(sin x+cos x)2+cos 2x=1+sin 2x+cos 2x=sin+1,
∴f(x)最小正周期T==π.
(2)∵x∈,∴2x+∈,
∴sin x∈,
∴f(x)max=1+,f(x)min=0.
19.(14分)
11、函數(shù)f(x)=6cos2+cos ωx-3(ω>0)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示,A為圖象的最高點(diǎn),B,C為圖象與x軸的交點(diǎn),且△ABC為正三角形.
(1)求ω的值及函數(shù)f(x)的值域;
(2)若f(x0)=,且x0∈,求f(x0+1)的值.
解析:(1)由已知可得:f(x)=6cos2+cos ωx-3=3cos ωx+ sin ωx=2sin(ω>0).
又由于正三角形ABC的高為2,則BC=4,
所以,函數(shù)f(x)的周期T=4×2=8,
即=8,得ω=.
所以,函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇-2,2 ].
(2)因?yàn)閒(x0)=,由(1)有
f(x0)=2sin=,
即sin=
12、.
由x0∈,得∈,
所以,即cos= =.
故f(x0+1)=2sin
=2sin
=2
=2=.
20.(12分)在△ABC中,已知·=3·.
(1)求證:tan B=3tan A;
(2)若cos C=,求A的值.
解析:(1)∵·=3·,∴AB·AC·cos A=3BA·BC·cos B,即AC·cos A=3BC·cos B.
由正弦定理,得=,
∴sin B·cos A=3sin A·cos B.
又∵0<A+B<π,∴cos A>0,cos B>0.
∴=3·,即tan B=3tan A.
(2)∵cos C=,0<C<π,
∴sin C==
13、.
∴tan C=2.
∴tan[π-(A+B)]=2,
即tan(A+B)=-2.
∴=-2.
由 (1),得=-2,
解得tan A=1或tan A=-.
∵cos A>0,∴tan A=1.∴A=.
21.(12分)(xx·福建卷)已知函數(shù)f(x)=10sin ·cos +10cos2.
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,再向下平移a(a>0)個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g(x)的圖象,且函數(shù)g(x)的最大值為2.
①求函數(shù)g(x)的解析式;
②證明:存在無(wú)窮多個(gè)互不相同的正整數(shù)x0,使得g(x0)>0.
分析:(1)
14、首先利用證明二倍角公式和余弦降冪公式將f(x)化為f(x)=10sin +5,然后利用T=求周期;
(2)由函數(shù)f(x)的解析式中給x減,再將所得解析式整體減去a得g(x)的解析式為g(x)=10sin x+5-a,當(dāng)sin x取1時(shí),g(x)取最大值10+5-a,列方程求得a=13,從而g(x)的解析式可求;欲證明存在無(wú)窮多個(gè)互不相同的正整數(shù)x0,使得g(x0)>0,可解不等式g(x0)>0,只需解集的長(zhǎng)度大于1,此時(shí)解集中一定含有整數(shù),由周期性可得,必存在無(wú)窮多個(gè)互不相同的正整數(shù)x0.
解析:(1)因?yàn)閒(x)=10sin cos +10cos2
=5sin +5cos x+5
15、
=10sin +5.
所以f(x)函數(shù)的最小正周期T=2π.
(2)①將f(x)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到y(tǒng)=100sin x+5的圖象,再向下平移a(a>0)個(gè)單位長(zhǎng)度后得到g(x)=10sin x+5-a的圖象.
又已知函數(shù)g(x)的最大值為2,所以10+5-a=2,解得a=13.
所以g(x)=10sin x-8.
②要證明存在無(wú)窮多個(gè)互不相同的正整數(shù)x0,使得g(x0)>0,就是要證明存在無(wú)窮多個(gè)互不相同的正整數(shù)x0,使得10sin x0-8>0,即sin x0>.
由<知,存在0<α0<,使得sin α0=.由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知,當(dāng)x∈(α0,π-α0)時(shí),均
16、有sin x>.
因?yàn)閥=sin x的周期為2π,所以當(dāng)x∈(2kπ+α0,2kπ+π-α0)(k∈Z)時(shí),均有sin x>.
因?yàn)閷?duì)任意的整數(shù)k,(2kπ+π-α0)-(2kπ+α0)=π-2α0>>1,所以對(duì)任意的正整數(shù)k,都存在正整數(shù)xk∈(2kπ+α0,2kπ+π-α0),使得sin xk>.亦即存在無(wú)窮多個(gè)互不相同的正整數(shù)x0,使得g(x0)>0.
22.(12分)已知向量m=,n=(x∈R),設(shè)函數(shù)f(x)=m·n-1.
(1)求函數(shù)f(x)的值域;
(2)已知銳角三角形ABC的三個(gè)內(nèi)角分別為A,B,C,若f(A)=,f(B)=,求f(C)的值.
解析:(1)f(x)=m·n-1=·-1=2cos sin +1-1=sin x.
∵x∈R,
∴函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇-1,1].
(2)∵f(A)=,f(B)=,
∴sin A=,sin B=.
∵A,B都為銳角,
∴cos A==,
cos B==.
∴f(C)=sin C=sin
=sin(A+B)
=sin Acos B+cos Asin B
=×+×
=.
∴f(C)的值為.