第5講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)一、知識(shí)梳理1根式(1)根式的概念若xna，則x叫做a的n次方根，其中n>1且nN.式子叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù)a的n次方根的表示：xna(2)根式的性質(zhì)()na(nN.，且n>1)；2有理數(shù)指數(shù)冪(1)冪的有關(guān)概念正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：a(a>0，m，nN.，且n>1)；負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：a(a>0，m，nN.，且n>1)；0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪無意義(2)有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)arasars(a>0，r，sQ)；(ar)sars(a>0，r，sQ)；(ab)rarbr(a>0，b>0，rQ)3指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)yax (a>0且a1)a>10<a<1圖象定義域R值域(0，)性質(zhì)過定點(diǎn)(0，1)當(dāng)x>0時(shí)，y>1；當(dāng)x<0時(shí)，0<y<1當(dāng)x>0時(shí)，0<y<1；當(dāng)x<0時(shí)，y>1在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)常用結(jié)論1指數(shù)函數(shù)圖象的畫法畫指數(shù)函數(shù)yax(a>0，且a1)的圖象，應(yīng)抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1，a)，(0，1)，.2.指數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較如圖是指數(shù)函數(shù)(1)yax，(2)ybx，(3)ycx，(4)ydx的圖象，底數(shù)a，b，c，d與1之間的大小關(guān)系為c>d>1>a>b>0.由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)yax(a>0，a1)的圖象越高，底數(shù)越大3指數(shù)函數(shù)yax(a>0，且a1)的圖象和性質(zhì)跟a的取值有關(guān)，要特別注意應(yīng)分a>1與0<a<1來研究二、教材衍化1化簡(x<0，y<0)_解析：因?yàn)閤<0，y<0，所以4(16x8·y4)(16)·(x8)·(y4)2x2|y|2x2y.答案：2x2y2函數(shù)y2x與y2x的圖象關(guān)于_對(duì)稱解析：作出y2x與y2x的圖象(圖略)，觀察可知其關(guān)于y軸對(duì)稱答案：y軸3已知函數(shù)f(x)ax22(a>0且a1)的圖象恒過定點(diǎn)A，則A的坐標(biāo)為_解析：令x20，則x2，f(2)3，即A的坐標(biāo)為(2，3)答案：(2，3)一、思考辨析判斷正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)()na.()(2)(1)(1).()(3)函數(shù)yax是R上的增函數(shù)()(4)函數(shù)yax21(a>1)的值域是(0，)()(5)函數(shù)y2x1是指數(shù)函數(shù)()(6)若am<an(a>0，且a1)，則m<n.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×(6)×二、易錯(cuò)糾偏(1)忽略n的范圍導(dǎo)致式子(aR)化簡出錯(cuò)；(2)不能正確理解指數(shù)函數(shù)的概念致錯(cuò)；(3)指數(shù)函數(shù)問題時(shí)刻注意底數(shù)的兩種情況；(4)復(fù)合函數(shù)問題容易忽略指數(shù)函數(shù)的值域致錯(cuò)1計(jì)算_解析：(1)(1)2.答案：22若函數(shù)f(x)(a23)·ax為指數(shù)函數(shù)，則a_解析：由題意知即a2.答案：23若函數(shù)f(x)ax在1，1上的最大值為2，則a_解析：當(dāng)a>1時(shí)，a2；當(dāng)0<a<1時(shí)a12，即a.答案：2或4函數(shù)y2的值域?yàn)開解析：因?yàn)?，所以2>0且21.答案：(0，1)(1，)指數(shù)冪的化簡與求值(自主練透)1化簡·(a>0，b>0)_解析：原式2×213×101.答案：2計(jì)算：0.00210(2)10_解析：原式50011010201.答案：3化簡：÷×_(a>0)解析：原式÷×a(a2b)××a2.答案：a2指數(shù)冪運(yùn)算的一般原則(1)有括號(hào)的先算括號(hào)里的，無括號(hào)的先算指數(shù)運(yùn)算(2)先乘除后加減，負(fù)指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù)(3)底數(shù)是小數(shù)，先化成分?jǐn)?shù)；底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的，先化成假分?jǐn)?shù)(4)若是根式，應(yīng)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，盡可能用冪的形式表示，運(yùn)用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)來解答提醒運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù)，形式力求統(tǒng)一 指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用(典例遷移) (1)函數(shù)f(x)21x的大致圖象為()(2)若函數(shù)y|3x1|在(，k上遞減，則k的取值范圍為_【解析】(1)函數(shù)f(x)21x2×，遞減且過點(diǎn)(0，2)，選項(xiàng)A中的圖象符合要求(2)函數(shù)y|3x1|的圖象是由函數(shù)y3x的圖象向下平移一個(gè)單位后，再把位于x軸下方的圖象沿x軸翻折到x軸上方得到的，函數(shù)圖象如圖所示由圖象知，其在(，0上遞減，所以k的取值范圍為(，0【答案】(1)A(2)(，0【遷移探究1】(變條件)本例(2)變?yōu)椋喝艉瘮?shù)f(x)|3x1|k有一個(gè)零點(diǎn)，則k的取值范圍為_解析：函數(shù)f(x)有一個(gè)零點(diǎn)，即y|3x1|與yk有一個(gè)交點(diǎn)由本例(2)得y|3x1|的圖象如圖所示，故當(dāng)k0或k1時(shí)，直線yk與函數(shù)y|3x1|的圖象有唯一的交點(diǎn)，所以函數(shù)f(x)有一個(gè)零點(diǎn)答案：01，)【遷移探究2】(變條件)若本例(2)的條件變?yōu)椋汉瘮?shù)y|3x1|m的圖象不經(jīng)過第二象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_解析：作出函數(shù)y|3x1|m的圖象如圖所示由圖象知m1，即m(，1答案：(，1應(yīng)用指數(shù)函數(shù)圖象的4個(gè)技巧(1)畫指數(shù)函數(shù)yax(a>0，且a1)的圖象，應(yīng)抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1，a)，(0，1)，.(2)已知函數(shù)解析式判斷其圖象一般是取特殊點(diǎn)，判斷所給的圖象是否過這些點(diǎn)，若不滿足則排除(3)對(duì)于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象問題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過平移、伸縮、對(duì)稱變換而得到特別地，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時(shí)應(yīng)注意分類討論(4)有關(guān)指數(shù)方程、不等式問題的求解，往往利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合求解 1.函數(shù)f(x)axb的圖象如圖所示，其中a，b為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()Aa>1，b<0Ba>1，b>0C0<a<1，b>0 D0<a<1，b<0解析：選D.由f(x)axb的圖象可以觀察出函數(shù)f(x)axb在定義域上單調(diào)遞減，所以0<a<1.函數(shù)f(x)axb的圖象是在f(x)ax的基礎(chǔ)上向左平移得到的，所以b<0.2若關(guān)于x的方程|ax1|2a(a0，且a1)有兩個(gè)不等實(shí)根，則a的取值范圍是_解析：方程|ax1|2a(a0，且a1)有兩個(gè)不等實(shí)根轉(zhuǎn)化為函數(shù)y|ax1|與y2a有兩個(gè)交點(diǎn)(1)當(dāng)0a1時(shí)，如圖，所以02a1，即0a；(2)當(dāng)a1時(shí)，如圖，而y2a1不符合要求所以0a.答案：指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用(多維探究)角度一指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用 (1)已知a2，b4，c25，則()Ab<a<c Ba<b<cCb<c<a Dc<a<b(2)若f(x)exaex為奇函數(shù)，則滿足f(x1)e2的x的取值范圍是()A(2，) B(1，)C(2，) D(3，)【解析】(1)因?yàn)閍2，b42，由函數(shù)y2x在R上為增函數(shù)知，b<a；又因?yàn)閍24，c255由函數(shù)yx在(0，)上為增函數(shù)知，a<c.綜上得b<a<c.故選A.(2)由f(x)exaex為奇函數(shù)，得f(x)f(x)，即exaexaexex，得a1，所以f(x)exex，則f(x)在R上單調(diào)遞增，又f(x1)e2f(2)，所以x12，解得x1，故選B.【答案】(1)A(2)B角度二指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性 (1)函數(shù)f(x)的減區(qū)間為_(2)已知函數(shù)f(x)2|2xm|(m為常數(shù))，若f(x)在區(qū)間2，)上是增函數(shù)，則m的取值范圍是_【解析】(1)設(shè)ux22x1，因?yàn)閥在R上為減函數(shù)，所以函數(shù)f(x)的減區(qū)間即為函數(shù)ux22x1的增區(qū)間又ux22x1的增區(qū)間為(，1，所以f(x)的減區(qū)間為(，1(2)令t|2xm|，則t|2xm|在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減而y2t為R上的增函數(shù)，所以要使函數(shù)f(x)2|2xm|在2，)上單調(diào)遞增，則有2，即m4，所以m的取值范圍是(，4【答案】(1)(，1(2)(，4角度三指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合問題 已知函數(shù)f(x).(1)若f(x)有最大值3，求a的值；(2)若f(x)的值域是(0，)，求a的值【解】(1)令g(x)ax24x3，f(x)，由于f(x)有最大值3，所以g(x)應(yīng)有最小值1，因此必有解得a1，即當(dāng)f(x)有最大值3時(shí)，a的值等于1.(2)令g(x)ax24x3，f(x)，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，要使y的值域?yàn)?0，)應(yīng)使g(x)ax24x3的值域?yàn)镽，因此只能a0.(因?yàn)槿鬭0，則g(x)為二次函數(shù)，其值域不可能為R)故f(x)的值域?yàn)?0，)時(shí)，a的值為0. (1)利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小或解不等式，最重要的是“同底”原則(2)求解與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問題，要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問題時(shí)，都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷 1設(shè)a0.60.6，b0.61.5，c1.50.6，則a，b，c的大小關(guān)系是()AabcBacbCbac Dbca解析：選C.因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y0.6x在(，)上為減函數(shù)，所以0.60.60.61.5，即ab，又00.60.61，1.50.61，所以ac，故選C.2若偶函數(shù)f(x)滿足f(x)2x4(x0)，則不等式f(x2)>0的解集為_解析：因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，x>0，則f(x)f(x)2x4.所以f(x)當(dāng)f(x2)>0時(shí)，有或解得x>4或x<0.所以不等式的解集為x|x>4或x<0答案：x|x>4或x<03已知函數(shù)f(x)(a>0且a1)(1)求f(x)的定義域和值域；(2)討論f(x)的奇偶性；(3)討論f(x)的單調(diào)性解：(1)f(x)的定義域是R，令y，得ax，因?yàn)?在定義域內(nèi)恒成立，所以y1.因?yàn)閍x>0，所以>0，解得1<y<1，所以f(x)的值域?yàn)?1，1)(2)因?yàn)閒(x)f(x)，所以f(x)是奇函數(shù)(3)f(x)1.設(shè)x1，x2是R上任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x1<x2，則f(x1)f(x2).因?yàn)閤1<x2，所以當(dāng)a>1時(shí)，a x2>ax1>0，從而ax11>0，a x21>0，ax1a x2<0，所以f(x1)f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，f(x)為R上的增函數(shù)；當(dāng)0<a<1時(shí)，ax1>a x2>0，從而ax11>0，a x21>0，ax1a x2>0，所以f(x1)f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，f(x)為R上的減函數(shù) 基礎(chǔ)題組練1函數(shù)f(x)1e|x|的圖象大致是()解析：選A.將函數(shù)解析式與圖象對(duì)比分析，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)1e|x|是偶函數(shù)，且值域是(，0，只有A滿足上述兩個(gè)性質(zhì)2(2019·高考全國卷)已知alog20.2，b20.2，c0.20.3，則()Aa<b<cBa<c<bCc<a<b Db<c<a解析：選B.因?yàn)閍log20.2<0，b20.2>1，c0.20.3(0，1)，所以a<c<b.故選B.3(2020·安徽皖江名校模擬)若eabeba，則有()Aab0 Bab0Cab0 Dab0解析：選D.令f(x)exx，則f(x)在R上是增加的，因?yàn)閑abeba，所以eaaebb，則f(a)f(b)，所以ab，即ab0.故選D.4已知函數(shù)f(x)則函數(shù)f(x)是()A偶函數(shù)，在0，)上是增加的B偶函數(shù)，在0，)上是減少的C奇函數(shù)，且是增加的D奇函數(shù)，且是減少的解析：選C.易知f(0)0，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)12x，f(x)2x1，此時(shí)x<0，則f(x)2x1f(x)；當(dāng)x<0時(shí)，f(x)2x1，f(x)12x，此時(shí)x>0，則f(x)12(x)12xf(x)即函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且單調(diào)遞增，故選C.5設(shè)x>0，且1<bx<ax，則()A0<b<a<1 B0<a<b<1C1<b<a D1<a<b解析：選C.因?yàn)?<bx，所以b0<bx，因?yàn)閤>0，所以b>1，因?yàn)閎x<ax，所以>1，因?yàn)閤>0，所以>1，所以a>b，所以1<b<a.故選C.6函數(shù)yaxb(a>0，且a1)的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，則ab的取值范圍是_解析：因?yàn)楹瘮?shù)yaxb的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，所以函數(shù)yaxb遞減且其圖象與y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上令x0，則ya0b1b，由題意得解得故ab(0，1)答案：(0，1)7不等式<恒成立，則a的取值范圍是_解析：由題意，y是減函數(shù)，因?yàn)?lt;恒成立，所以x2ax>2xa2恒成立，所以x2(a2)xa2>0恒成立，所以(a2)24(a2)<0，即(a2)(a24)<0，即(a2)(a2)<0，故有2<a<2，即a的取值范圍是(2，2)答案：(2，2)8已知實(shí)數(shù)a，b滿足等式，下列五個(gè)關(guān)系式：0ba；ab0；0ab；ba0；ab.其中可能成立的關(guān)系式有_(填序號(hào))解析：函數(shù)y1與y2的圖象如圖所示由得，ab0或0ba或ab0.故可能成立，不可能成立答案：9設(shè)f(x).(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性；(2)討論函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，)上的單調(diào)性解：(1)根據(jù)題意，f(x)，則f(x)f(x)，所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù)(2)因?yàn)閒(x)x，所以f(x)11，因?yàn)閤0，所以2x12，所以1，所以10，所以f(x)0，故函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，)上是減少的10已知函數(shù)f(x)2a·4x2x1.(1)當(dāng)a1時(shí)，求函數(shù)f(x)在x3，0上的值域；(2)若關(guān)于x的方程f(x)0有解，求a的取值范圍解：(1)當(dāng)a1時(shí)，f(x)2·4x2x12(2x)22x1，令t2x，x3，0，則t.故y2t2t12，t，故值域?yàn)?(2)關(guān)于x的方程2a(2x)22x10有解，設(shè)2xm>0，等價(jià)于方程2am2m10在(0，)上有解，記g(m)2am2m1，當(dāng)a0時(shí)，解為m1<0，不成立當(dāng)a<0時(shí)，開口向下，對(duì)稱軸m<0，過點(diǎn)(0，1)，不成立當(dāng)a>0時(shí)，開口向上，對(duì)稱軸m>0，過點(diǎn)(0，1)，必有一個(gè)根為正，綜上得a>0.綜合題組練1已知0<b<a<1，則在ab，ba，aa，bb中最大的是()Aba BaaCab Dbb解析：選C.因?yàn)?<b<a<1，所以yax和ybx均為減函數(shù)，所以ab>aa，ba<bb，又因?yàn)閥xb在(0，)上為增函數(shù)，所以ab>bb，所以在ab，ba，aa，bb中最大的是ab.故選C.2已知函數(shù)f(x)|2x1|，a<b<c且f(a)>f(c)>f(b)，則下列結(jié)論中，一定成立的是()Aa<0，b<0，c<0Ba<0，b0，c>0C2a<2cD2a2c<2解析：選D.作出函數(shù)f(x)|2x1|的圖象，如圖，因?yàn)閍<b<c且f(a)>f(c)>f(b)，結(jié)合圖象知，0<f(a)<1，a<0，c>0，所以0<2a<1.所以f(a)|2a1|12a<1，所以f(c)<1，所以0<c<1.所以1<2c<2，所以f(c)|2c1|2c1，又因?yàn)閒(a)>f(c)，所以12a>2c1，所以2a2c<2，故選D.3設(shè)yf(x)在(，1上有定義，對(duì)于給定的實(shí)數(shù)K，定義fK(x)給出函數(shù)f(x)2x14x，若對(duì)于任意x(，1，恒有fK(x)f(x)，則()AK的最大值為0BK的最小值為0CK的最大值為1DK的最小值為1解析：選D.根據(jù)題意可知，對(duì)于任意x(，1，若恒有fK(x)f(x)，則f(x)K在x1上恒成立，即f(x)的最大值小于或等于K即可令2xt，則t(0，2，f(t)t22t(t1)21，可得f(t)的最大值為1，所以K1，故選D.4設(shè)a>0，且a1，函數(shù)ya2x2ax1在1，1上的最大值是14，則實(shí)數(shù)a的值為_解析：令tax(a>0，且a1)，則原函數(shù)化為yf(t)(t1)22(t>0)當(dāng)0<a<1，x1，1時(shí)，tax，此時(shí)f(t)在上為增函數(shù)所以f(t)maxf214.所以16，解得a(舍去)或a.當(dāng)a>1時(shí)，x1，1，tax，此時(shí)f(t)在上是增函數(shù)所以f(t)maxf(a)(a1)2214，解得a3或a5(舍去)綜上得a或3.答案：或35已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)是奇函數(shù)(1)求a，b的值；(2)若對(duì)任意的tR，不等式f(t22t)f(2t2k)<0恒成立，求k的取值范圍解：(1)因?yàn)閒(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)0，即0，解得b1，所以f(x).又由f(1)f(1)知，解得a2.(2)由(1)知f(x)，由上式易知f(x)在R上為減函數(shù)，又因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，從而不等式f(t22t)f(2t2k)<0等價(jià)于f(t22t)<f(2t2k)f(2t2k)因?yàn)閒(x)是R上的減函數(shù)，由上式推得t22t>2t2k.即對(duì)一切tR有3t22tk>0，從而412k<0，解得k<.故k的取值范圍為.17