2022年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù) 第1講 函數(shù)及其表示最新考綱1.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域，了解映射的概念；2.在實(shí)際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù)；3.了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單地應(yīng)用知 識 梳 理1函數(shù)的基本概念(1)函數(shù)的定義一般地，設(shè)A，B是非空數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)；那么就稱f：AB為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作yf(x)，xA.(2)函數(shù)的定義域、值域在函數(shù)yf(x)，xA中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f(x)|xA叫做函數(shù)的值域(3)函數(shù)的三要素是：定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系(4)表示函數(shù)的常用方法有：解析法、列表法和圖象法(5)分段函數(shù)在函數(shù)的定義域內(nèi)，對于自變量x的不同取值區(qū)間，有著不同的對應(yīng)法則，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集2函數(shù)定義域的求法類型x滿足的條件，nN*f(x)0與f(x)0f(x)0logaf(x)f(x)0四則運(yùn)算組成的函數(shù)各個(gè)函數(shù)定義域的交集實(shí)際問題使實(shí)際問題有意義診 斷 自 測1判斷正誤(在括號內(nèi)打“”或“×”)精彩PPT展示(1)f(x)與g(x)x是同一個(gè)函數(shù)(×)(2)若兩個(gè)函數(shù)的定義域與值域相同，則這兩個(gè)函數(shù)相等(×)(3)函數(shù)是特殊的映射()(4)分段函數(shù)是由兩個(gè)或幾個(gè)函數(shù)組成的(×)2下列函數(shù)中，不滿足f(2x)2f(x)的是()Af(x)|x|Bf(x)x|x|Cf(x)x1Df(x)x解析將f(2x)表示出來，看與2f(x)是否相等對于A，f(2x)|2x|2|x|2f(x)；對于B，f(2x)2x|2x|2(x|x|)2f(x)；對于C，f(2x)2x12f(x)；對于D，f(2x)2x2f(x)，故只有C不滿足f(2x)2f(x)，所以選C.答案C3(xx·山東卷)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?)A(0,2)B(0,2 C(2，)D2，)解析由題意知解得x2，故選C.答案C4設(shè)f(x)g(x)則f(g()的值為()A1B0 C1D解析g()0，f(g()f(0)0.答案B5已知f(2x1)3x4，f(a)4，則a_.解析令2x1a，則x，則f(2x1)3x4可化為f(a)4，因?yàn)閒(a)4，所以44，解得a.答案考點(diǎn)一求函數(shù)的定義域例1 (1)(xx·杭州模擬)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?)A(3,0B(3,1C(，3)(3,0D(，3)(3,1(2)函數(shù)f(x)的定義域是()A(1，)B1，)C(1,1)(1，)D1,1)(1，)解析(1)由題意知解得3x0，所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?3,0，故選A.(2)要使函數(shù)f(x)有意義，需滿足x10且x10，得x1且x1，故選C.答案(1)A(2)C規(guī)律方法(1)給出解析式的函數(shù)的定義域是使解析式中各個(gè)部分都有意義的自變量的取值集合 ，在求解時(shí)，要把各個(gè)部分自變量的限制條件列成一個(gè)不等式(組)，這個(gè)不等式(組)的解集就是這個(gè)函數(shù)的定義域，函數(shù)的定義域要寫成集合或者區(qū)間的形式(2)對于實(shí)際問題中求得的函數(shù)解析式，在確定定義域時(shí)，除了要考慮函數(shù)解析式有意義外，還要使實(shí)際問題有意義【訓(xùn)練1】 (1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?)A(，2)B(2，)C(2,3)(3，)D(2,4)(4，)(2)函數(shù)f(x)ln的定義域?yàn)開解析(1)由題意知解得所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?2,3)(3，)(2)由條件知x(0,1答案(1)C(2)(0,1考點(diǎn)二求函數(shù)的解析式例2 (1)如果f，則當(dāng)x0且x1時(shí)，f(x)等于()A.B C.D1(2)已知f(x)是一次函數(shù)，且滿足3f(x1)2f(x1)2x17，則f(x)_.(3)已知f(x)滿足2f(x)f3x，則f(x)_.解析(1)令t，得x，f(t)，f(x).(2)設(shè)f(x)axb(a0)，則3f(x1)2f(x1)3ax3a3b2ax2a2bax5ab，即ax5ab2x17不論x為何值都成立，解得f(x)2x7.(3)2f(x)f3x，把中的x換成，得2ff(x).×2得3f(x)6x，f(x)2x(x0)答案(1)B(2)2x7(3)2x(x0)規(guī)律方法求函數(shù)解析式的常用方法：(1)待定系數(shù)法，若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))，可用待定系數(shù)法；(2)換元法，已知復(fù)合函數(shù)f(g(x)的解析式，可用換元法，此時(shí)要注意新元的取值范圍；(3)配湊法，由已知條件f(g(x)F(x)，可將F(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達(dá)式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；(4)方程法，已知關(guān)于f(x)與f或f(x)的表達(dá)式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個(gè)等式組成方程組，通過解方程組求出f(x)【訓(xùn)練2】 (1)已知fx2，則f(x)_.(2)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，)，且f(x)2f·1，則f(x)_.解析(1)fx222，且x2或x2，f(x)x22(x2或x2)(2)在f(x)2f1中，用代替x，得f2f(x)1，將f1代入f(x)2f1中，可求得f(x).答案(1)x22(x2或x2)(2)考點(diǎn)三分段函數(shù)例3 (1)(xx·山西四校聯(lián)考)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)則f(3)的值為()A1B2 C2D3(2)(xx·新課標(biāo)全國卷)設(shè)函數(shù)f(x)則使得f(x)2成立的x的取值范圍是_解析(1)f(3)f(2)f(1)f(1)f(0)f(1)f(0)log283.(2)當(dāng)x1時(shí)，ex12成立，解得x1ln 2，x<1.當(dāng)x1時(shí)，2，解得x8，1x8.綜上可知x(，8答案(1)D(2)(，8規(guī)律方法(1)求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當(dāng)出現(xiàn)f(f(a)的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值(2)求某條件下自變量的值，先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的值，切記代入檢驗(yàn)，看所求的自變量的值是否滿足相應(yīng)段自變量的取值范圍【訓(xùn)練3】 (xx·浙江卷)設(shè)函數(shù)f(x)若f(f(a)2，則a_.解析當(dāng)a0時(shí)，f(a)a20，f(f(a)a42a222，解得a .當(dāng)a0時(shí)，f(a)a22a2(a1)210，f(f(a)(a22a2)22，此方程無解答案 微型專題抽象函數(shù)的定義域問題抽象函數(shù)是指沒有明確給出具體解析式的函數(shù)，其有關(guān)問題對同學(xué)們來說具有一定難度，特別是求其定義域時(shí)，許多同學(xué)解答起來總感覺棘手，在高考中一般不會單獨(dú)考查，但從提升能力方面考慮，還應(yīng)有所涉及例4】 若函數(shù)yf(x)的定義域是1,2 015，則函數(shù)g(x)的定義域是()A0,2 014B0,1)(1,2 014C(1,2 015D1,1)(1,2 014點(diǎn)撥先利用換元法求出函數(shù)f(x1)的定義域，則函數(shù)g(x)的定義域?yàn)閒(x1)的定義域與不等式x10的解集的交集解析要使函數(shù)f(x1)有意義，則有1x12 015，解得0x2 014，故函數(shù)f(x1)的定義域?yàn)?,2 014所以使函數(shù)g(x) 有意義的條件是解得0x1或1x2 014.故函數(shù)g(x)的定義域?yàn)?,1)(1,2 014，故選B.答案B點(diǎn)評函數(shù)的定義域是函數(shù)解析式中自變量的取值范圍，即f(x)與f(g(x)的定義域都是自變量x的取值范圍，常見有如下兩種類型：(1)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，則函數(shù)f(g(x)的定義域就是不等式g(x)D的解集；(2)已知函數(shù)f(g(x)的定義域?yàn)镈，則函數(shù)f(x)的定義域就是函數(shù)yg(x)(xD)的值域思想方法1在判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)時(shí)，要緊扣兩點(diǎn)：一是定義域是否相同；二是對應(yīng)關(guān)系是否相同2函數(shù)的定義域是函數(shù)的靈魂，它決定了函數(shù)的值域，并且它是研究函數(shù)性質(zhì)和圖象的基礎(chǔ)因此，我們一定要樹立函數(shù)定義域優(yōu)先意識3函數(shù)解析式的幾種常用求法：待定系數(shù)法、換元法、配湊法、方程法易錯(cuò)防范1求函數(shù)的解析式時(shí)要充分根據(jù)題目的類型選取相應(yīng)的方法，同時(shí)要注意函數(shù)的定義域，如已知f()x1，求函數(shù)f(x)的解析式時(shí)，通過換元的方法可得f(x)x21，這個(gè)函數(shù)的定義域是0，)，而不是(，)2求分段函數(shù)應(yīng)注意的問題：在求分段函數(shù)的值f(x0)時(shí)，首先要判斷x0屬于定義域的哪個(gè)子集，然后再代入相應(yīng)的關(guān)系式；分段函數(shù)的值域應(yīng)是其定義域內(nèi)不同子集上各關(guān)系式的取值范圍的并集.基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1(xx·廣州調(diào)研)若函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)镸x|2x2，值域?yàn)镹y|0y2，則函數(shù)yf(x)的圖象可能是()解析可以根據(jù)函數(shù)的概念進(jìn)行排除，使用篩選法得到答案答案B2(xx·鄭州模擬)函數(shù)f(x)lg(3x1)的定義域是()A.BC.D解析由得所以定義域?yàn)?答案A3設(shè)函數(shù)f(x)2x3，g(x2)f(x)，則g(x)的表達(dá)式是()A2x1B2x1 C2x3D2x7解析g(x2)f(x)2x32(x2)1，g(x)2x1.答案B4(xx·合肥檢測)已知函數(shù)f(x)則f(2 014)()A2 014B C2 015D解析f(2 014)f(2 013)1f(0)2 014f(1)2 015212 015.答案D5某學(xué)校要召開學(xué)生代表大會，規(guī)定各班每10人推選一名代表，當(dāng)各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于6時(shí)再增選一名代表那么，各班可推選代表人數(shù)y與該班人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系用取整函數(shù)yx(x表示不大于x的最大整數(shù))可以表示為()AyByCyDy解析法一取特殊值法，若x56，則y5，排除C，D；若x57，則y6，排除A，選B.法二設(shè)x10m(09，m，N)，當(dāng)06時(shí)，m，當(dāng)6<9時(shí)，m11，所以選B.答案B二、填空題6下列集合A到集合B的對應(yīng)f中：A1,0,1，B1,0,1，f：A中的數(shù)平方；A0,1，B1,0,1，f：A中的數(shù)開方；AZ，BQ，f：A中的數(shù)取倒數(shù)；AR，B正實(shí)數(shù)，f：A中的數(shù)取絕對值，是從集合A到集合B的函數(shù)的為_解析其中，由于1的開方數(shù)不唯一，因此f不是A到B的函數(shù)；其中，A中的元素0在B中沒有對應(yīng)元素；其中，A中的元素0在B中沒有對應(yīng)元素答案7已知f，則f(x)的解析式為_解析令t，由此得x(t1)，所以f(t)，從而f(x)的解析式為f(x)(x1)答案f(x)(x1)8(xx·武漢一模)若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，則a的取值范圍是_解析由題意知2x22axa10恒成立x22axa0恒成立，4a24a0，1a0.答案1,0三、解答題9已知f(x)是二次函數(shù)，若f(0)0，且f(x1)f(x)x1.求函數(shù)f(x)的解析式解設(shè)f(x)ax2bxc(a0)，又f(0)0，c0，即f(x)ax2bx.又f(x1)f(x)x1.a(x1)2b(x1)ax2(b1)x1.(2ab)xab(b1)x1，解得f(x)x2x.10.根據(jù)如圖所示的函數(shù)yf(x)的圖象，寫出函數(shù)的解析式解當(dāng)3x1時(shí)，函數(shù)yf(x)的圖象是一條線段(右端點(diǎn)除外)，設(shè)f(x)axb(a0)，將點(diǎn)(3,1)，(1，2)代入，可得f(x)x；當(dāng)1x1時(shí)，同理可設(shè)f(x)cxd(c0)，將點(diǎn)(1，2)，(1,1)代入，可得f(x)x；當(dāng)1x2時(shí)，f(x)1.所以f(x)能力提升題組(建議用時(shí)：25分鐘)11設(shè)f(x)lg，則ff的定義域?yàn)?)A(4,0)(0,4)B(4，1)(1,4)C(2，1)(1,2)D(4，2)(2,4)解析0，2x2，22且22，取x1，則2不合題意(舍去)，故排除A，取x2，滿足題意，排除C，D，故選B.答案B12(xx·包頭測試與評估)設(shè)函數(shù)f(x)則滿足f(x)3的x的取值范圍是()A0，)B1,3C0,3D1，)解析依題意，不等式f(x)3等價(jià)于或解得0x1，解得x1.因此，滿足f(x)3的x的取值范圍是0,1(1，)0，)答案A13(xx·杭州質(zhì)檢)函數(shù)f(x)ln的值域是_解析依題意，因?yàn)?|x|11，則01，lnln 10，即函數(shù)的值域是(，0答案(，014某人開汽車沿一條直線以60 km/h的速度從A地到150 km遠(yuǎn)處的B地在B地停留1 h后，再以50 km/h的速度返回A地，把汽車與A地的距離x(km)表示為時(shí)間t(h)(從A地出發(fā)開始)的函數(shù)，并畫出函數(shù)的圖象解x其圖象如圖所示